考研数学一专项训练全套-2015（含答案详解）

考研数学一专项训练全套_2015（含答案详解）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设函数f(x)在x=0处具有二阶连续导数，且f(0)=0，f'(0)=1，f''(0)=-2，则极限lim_{x→0}（xf(x)-x^2e^{-x}）的值为（）A.-1B.0C.1D.2解析：本题考查函数的极限与泰勒展开。首先将f(x)在x=0处展开为泰勒公式：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)•x^2/2+o(x^2)=x-x^2+o(x^2)于是有：xf(x)-x^2e^{-x}=x(x-x^2+o(x^2))-x^2(1-x+o(x))=x^2-x^3+xo(x^2)-x^2+x^3+xo(x)=-x^2+xo(x^2)当x→0时，xo(x^2)→0，所以极限为-1。因此选A。2.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=0，f(1)=1，则对于任意实数λ，必存在x0∈(0,1)，使得f(x0)=x0^λ成立，这是由于（）A.中值定理的推论B.拉格朗日中值定理C.柯西中值定理D.泰勒公式解析：本题考查中值定理的应用。构造辅助函数F(x)=f(x)-x^λ，则F(0)=f(0)-0=0，F(1)=f(1)-1=0。根据罗尔定理，存在x0∈(0,1)使得F'(x0)=0，即f'(x0)-λx0^(λ-1)=0，从而f(x0)=λx0^(λ-1)。由于λ为任意实数，当λ=1时即得f(x0)=x0。因此选A。3.设函数f(x)在区间(0,1)内可导，且满足f'(x)>0，则f(x)在(0,1)内（）A.必有极值点B.必无极值点C.可能有间断点D.必为单调递增解析：本题考查导数与单调性的关系。由于f'(x)>0，根据导数的定义，对于任意x1,x2∈(0,1)且x1<x2，有f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)>0（其中ξ∈(x1,x2)）。因此f(x)在(0,1)内严格单调递增，无极值点。因此选D。4.已知函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，f'(0)=1，则当x→0时，函数g(x)=x^2f(x)-f(x)与x^3是等价无穷小的是（）A.当且仅当f(x)为x的一次函数B.当且仅当f(x)为x的二次函数C.总是成立D.不可能成立解析：本题考查无穷小的比较。g(x)/x^3=(x^2f(x)-f(x))/x^3=f(x)/x-f(x)/x^3。由于f(x)在x=0处可导，f(x)/x→f'(0)=1，f(x)/x^3→0。因此g(x)/x^3→1，即g(x)与x^3是等价无穷小。因此选C。5.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则对于任意实数λ，必存在x0∈(0,1)，使得f(x0)=x0^λ成立，这是由于（）A.中值定理的推论B.拉格朗日中值定理C.柯西中值定理D.泰勒公式解析：本题考查中值定理的应用。构造辅助函数F(x)=f(x)-x^λ，则F(0)=f(0)-0=0，F(1)=f(1)-1=0。根据罗尔定理，存在x0∈(0,1)使得F'(x0)=0，即f'(x0)-λx0^(λ-1)=0，从而f(x0)=λx0^(λ-1)。由于λ为任意实数，当λ=1时即得f(x0)=x0。因此选A。6.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=0，f(1)=1，则对于任意实数λ，必存在x0∈(0,1)，使得f(x0)=x0^λ成立，这是由于（）A.中值定理的推论B.拉格朗日中值定理C.柯西中值定理D.泰勒公式解析：本题考查中值定理的应用。构造辅助函数F(x)=f(x)-x^λ，则F(0)=f(0)-0=0，F(1)=f(1)-1=0。根据罗尔定理，存在x0∈(0,1)使得F'(x0)=0，即f'(x0)-λx0^(λ-1)=0，从而f(x0)=λx0^(λ-1)。由于λ为任意实数，当λ=1时即得f(x0)=x0。因此选A。7.设函数f(x)在区间(0,1)内可导，且满足f'(x)>0，则f(x)在(0,1)内（）A.必有极值点B.必无极值点C.可能有间断点D.必为单调递增解析：本题考查导数与单调性的关系。由于f'(x)>0，根据导数的定义，对于任意x1,x2∈(0,1)且x1<x2，有f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)>0（其中ξ∈(x1,x2)）。因此f(x)在(0,1)内严格单调递增，无极值点。因此选D。8.已知函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，f'(0)=1，则当x→0时，函数g(x)=x^2f(x)-f(x)与x^3是等价无穷小的是（）A.当且仅当f(x)为x的一次函数B.当且仅当f(x)为x的二次函数C.总是成立D.不可能成立解析：本题考查无穷小的比较。g(x)/x^3=(x^2f(x)-f(x))/x^3=f(x)/x-f(x)/x^3。由于f(x)在x=0处可导，f(x)/x→f'(0)=1，f(x)/x^3→0。因此g(x)/x^3→1，即g(x)与x^3是等价无穷小。因此选C。9.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则对于任意实数λ，必存在x0∈(0,1)，使得f(x0)=x0^λ成立，这是由于（）A.中值定理的推论B.拉格朗日中值定理C.柯西中值定理D.泰勒公式解析：本题考查中值定理的应用。构造辅助函数F(x)=f(x)-x^λ，则F(0)=f(0)-0=0，