第2部分-预习-第12讲 实际问题与二次函数（教师版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

第12讲实际问题与二次函数（2个知识点+7个考点）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题；2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型；3.培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．知识点一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题.(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．要点归纳：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.知识点二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．要点归纳：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.考点一：利用二次函数解决体育中的最值问题【例1】某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x＝1时函数y的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A(0，)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝－(x－4)2＋4.将点C的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C在抛物线上，所以此球一定能投中．(2)将x＝1代入解析式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．【变式1-1】一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？【解析】如图建立直角坐标系.∵点(2.5，3.5)是这段抛物线的顶点∴设解析式为：(a≠0)（0≤x≤4），带入点（4,3.05），可求得：a=-0.2∴（0≤x≤4），即,当x=0时，y=2.25，∴距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.2米.【变式1-2】．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．(1)小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）．(2)若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度．(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)小明的说法不正确，理由见解析【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；（2）把，代入求解即可；（3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判断.【详解】（1）解：，∴当时，h最大，故答案为：；（2）解：根据题意，得当时，，∴，∴（负值舍去）；（3）解：小明的说法不正确．

理由如下：由（2），得，当时，，解方程，得，，∴两次间隔的时间为，∴小明的说法不正确．【变式1-3】．（2024·浙江杭州·二模）小静和小林玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，小林在距离地而的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，运动轨迹抛物线的一部分．(1)抛物线的最高点坐标为______；(2)求a，c的值；(3)小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为______．【答案】(1)(2)，(3)4或5【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．（1）依据题意，由抛物线可得最高点坐标，进而可以得解；（2）依据题意，可得，将代入抛物线，从而得解析式，再令，可得的值；（3）依据题意，根据点的取值范围代入解析式可求解．【详解】（1）由题意，抛物线，抛物线的最高点坐标为的．故答案为：．（2）由题得，．将代入抛物线，．抛物线．当时，．（3）小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，此时，点的坐标范围是，，，当经过时，，解得：．当经过时，，解得：，，为整数，符合条件的的整数值为4和5．故答案为：4或5．考点二：利用二次函数解决面积中的最值问题【例2】小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x，则另一边长为，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S＝·x＝－x2＋30x.自变量x的取值范围是0＜x＜30.(2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，∵a＝－1＜0，∴S有最大值，即当x＝15(米)时，S最大值＝225平方米．方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【变式2-1】一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD．(1)当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；(2)已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．①求隧道截面的面积S(m)2关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r的取值范围)；②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．(π取3.14，结果精确到0.1米)【思路点拨】①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式；②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值．【答案与解析】(1)(米)；(2)①∵AD＝2r，AD+CD＝8，∴CD＝8-AD＝8-2r，∴．②由①知，CD＝8-2r，又∵1.2米≤CD≤3米，∴2≤8-2r≤3，∴2.5≤r≤3．由①知，．∵-2.43＜0，∴函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴，又2.5≤r≤3，由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，故当r＝3时，S有最大值．(米)．【总结升华】解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．【变式2-2】用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．(1)求y关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y的最大值，与70比较大小，即可作出判断．解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；(2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，解得x1＝10，x2＝6.所以当x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理得：x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：y＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64，当x＝8时，y有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．【变式2-3】施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示)．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．解：(1)M(12，0)，P(6，6)．(2)设这条抛物线的函数关系式为y＝a(x－6)2＋6，因为抛物线过O(0，0)，所以a(0－6)2＋6＝0，解得，a＝－，所以这条抛物线的函数关系式为：y＝－(x－6)2＋6，即y＝－x2＋2x.(3)设OB＝m米，则点A的坐标为(m，－m2＋2m)，所以AB＝DC＝－m2＋2m.根据抛物线的轴对称，可得OB＝CM＝m，所以BC＝12－2m，即AD＝12－2m，所以l＝AB＋AD＋DC＝－m2＋2m＋12－2m－m2＋2m＝－m2＋2m＋12＝－(m－3)2＋15.所以当m＝3，即OB＝3米时，三根木杆长度之和l的最大值为15米．考点三：利用二次函数解决最大利润问题【例3】为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x档的产品一天的总利润为y元，则有y＝[10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝－8x2＋128x＋640＝－8(x－8)2＋1152.当x＝8时，y最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)【变式3-1】某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示．(1)求y2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴解得∴y2的解析式为y2＝x2－x＋(1≤x≤12)．(2)设y1＝kx＋b，∵函数y1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴解得∴y1的解析式为y1＝－x＋12(1≤x≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w元．则w＝y1－y2＝(－x＋12)－(x2－x＋)＝－x2＋x＋，∴w＝－(x－3)2＋(1≤x≤12)，∴当x＝3时，w取最大值，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是元/千克．【变式3-2】某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1(元)与销售月份x(月)满足关系式，而其每千克成本(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．(1)试确定b，c的值；(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；(不要求指出x的取值范围)(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?【答案与解析】（1）把(3，25)，(4，24)代入中，得解方程组得(2)根据题意，得．所以y与x的函数关系式为．(3)由(2)得，，因为，所以当x＜6时，y随x的增大而增大，所以“五一”之前，四月份出售这种水产品每千克的利润最大，最大利润为10.5元．【总结升华】在用二次函数知识解决实际问题时，有的同学易忽略自变量的取值范围，有的题目结果中的值看上去有意义，但不一定符合题意，有的题目本身就隐含着对自变量的限制，常常考虑不周而造成错解．【变式3-3】（2023·内蒙古）随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第（为整数）个月每台的销售价格为（单位：元），与的函数关系如图所示（图中为一折线）．

(1)当时，求每台的销售价格与之间的函数关系式；(2)设该产品2022年第个月的销售数量为（单位：万台），m与的关系可以用来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量）【答案】(1)(2)第5个月的销售收入最多，最多为3375万元【详解】（1）解：当时，设每台的销售价格与之间的函数关系式为．∵图象过两点，，解得∴当时，每台的销售价格与之间的函数关系式为．（2）设销售收入为万元，①当时，，，当时，（万元）．

②当时，，，∴随的增大而增大，∴当时，（万元）．

，∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元．考点四：利用二次函数解决方案问题【例4】（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务．设计跳长绳方案素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：（1）每班需报名跳绳同学9人，摇绳同学2人；（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．素材2：某班进行赛前训练，发现：（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线．已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2；（2）9名跳绳同学身高如右表．身高人数素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：（1）跳绳时，人的起跳高度在及以下较为舒适；（2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．问题解决任务1：确定长绳形状，请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．任务3：方案优化改进，据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整．班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至．此时中段长绳将贴地形成一条线段（线段），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4．请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．【答案】任务1：；任务2：当绳子在最高点时，长绳不会触碰到位于最边侧的同学；任务3：方案可行【分析】本题考查了二次函数的应用，任务1：建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式，即可求解；任务2，得出最右侧同学的横坐标为代入解析式，结合按照排列方式可知最右（左）侧同学屈膝后身高即可求解；任务3，求得平移后的抛物线解析式，进而将代入，结合题意，即可求解．【详解】解：任务1：以两个摇绳人的中点所在直线与地面的交点为原点，地面所在直线为轴，建立直角坐标系，如图：由已知可得，在抛物线上，且抛物线顶点的坐标为，设抛物线解析式为，∴，解得：，∴抛物线的函数解析式为：任务2：∵抛物线的对称轴为直线，名同学，以轴为对称轴，分布在对称轴两侧，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，则最右边侧的同学的坐标为即，当时，按照排列方式可知最右（左）侧同学屈膝后身高：∴当绳子在最高点时，长绳不会触碰到位于最边侧的同学；任务3：∵当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线．设开口向上的抛物线解析式为，对称轴为直线，则的顶点坐标为，∵，的开口大小不变，开口方向相反，∴当绳子摇至最低处时，抛物线的解析式为：∵将出手高度降低至．∴抛物线向下平移∴改变方案后的抛物线解析式为将，代入因此，方案可行【变式4-1】．（2024·陕西咸阳·模拟预测）人勤春来早，奋进正当时．眼下正是温室大棚育苗的好时节，大棚种植户开始了新一年的辛勤劳作，在新的一年播下希望的种子．如图是小颖爸爸在屋侧的菜地上搭建的一抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离水平地面高3米的墙体A处（墙高大于4米），另一端固定在地面上的C点处，现分别以地面和墙体为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知大棚的高度y（米）与大棚离墙体的水平距离x（米）之间的关系式用表示，抛物线的顶点B的横坐标为2．请根据以上信息，解答下列问题：(1)求抛物线的函数表达式；(2)小颖的爸爸准备在抛物线上取一点P（不与A，C重合），安装一直角形钢架对大棚进行加固（点D、E分别在y轴，x轴上，且轴，轴），小颖为爸爸设计了两种方案：方案一：如图1，将点P设在抛物线的顶点B处，安装直角形钢架对大棚进行加固；方案二：如图2，将点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上，安装直角形钢架对大棚进行加固．方案一、二中钢架DPE所需钢材长度分别记为、，请通过计算说明哪种方案更省钢材？（忽略接口处的材料损耗）【答案】(1)(2)方案一更省钢材，见解析【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．（1）由题意可得，将其代入表达式结合抛物线对称轴联立方程组即可（2）分别将点p在顶点上时和横坐标为5时，代入解析式，求出纵坐标，根据轴，轴，即可得出答案．【详解】（1）由题知，将代入，得，抛物线的顶点B的横坐标为2．，即，解得，抛物线的函数表达式为．（2）方案一：抛物线的顶点B的横坐标为2．，将点P设在抛物线的顶点B处，轴，轴，，（米）．方案二：点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上，即当时，，，轴，轴，，（米）．．综上可知，方案一更省钢材．【变式4-2】综合和实践：设计保底利润的销售方案【背景素材】某公司需处理100件成本为20元，售价为80元的库存产品，计划全部销售给两个经销商，以获得4400元的保底利润．经协商，公司给经销商的优惠条件是∶当购买量超过30件时，每多购买1件，每件产品售价下降1元，并规定售价不能低于40元．公司给经销商的优惠条件是：当购买量达到30件及以上时，每件产品售价降低20元．【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究．思考1(特值分析)∶若公司将产品平均出售给两个经销商，则可以获利多少钱？思考2(逐步求解)∶当公司出售给经销商A的数量超过70件时，能否实现保底利润？思考3(方案探究)：若公司要实现保底利润，请设计所有可能的销售方案．【答案】思考1：4000元；思考2：不能实现保底利润；思考3：经销商A购买件（包括20件，40件），经销商B购买件（包括80件，60件），能实现保底利润．【分析】本体考查二次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，列出函数关系，利用函数的性质求解．思考1：公司将产品平均出售给两个经销商，每个经销商购买件，再按优惠条件计算即可；思考2：设公司出售给经销商A的数量件，其中，则出售给经销商B的数量件，列出函数关系，根据函数的性质即可求解；思考3：设公司出售给经销商A的数量件，则出售给经销商B的数量件，分三种情况，当，则，当，即时，当时，分别讨论求解即可．【详解】解：思考1：公司将产品平均出售给两个经销商，每个经销商购买件，则元，即：公司将产品平均出售给两个经销商，可以获利4000元；思考2：设公司出售给经销商A的数量件，其中，则出售给经销商B的数量件，则公司可获利，当时，，∵，∴，则随增大而减小，即获利小于3200元，∴不能实现保底利润；思考3：设公司出售给经销商A的数量件，则出售给经销商B的数量件，①当，则，由题意可得：公司可获利当时，，∵，则随增大而增大，∴当时，能实现保底利润；②当，即时，由题意可得：公司可获利当时，（不符题意，舍去），∵，则当时，随增大而减小，∴当时，能实现保底利润；③当时，由思考2可知，不能实现保底利润；综上，经销商A购买件（包括20件，40件），经销商B购买件（包括80件，60件），能实现保底利润．考点五：利用二次函数解决拱桥通车问题【例5】．（2024·陕西咸阳·三模）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为12米时，拱桥顶点O距离水面的高度为6米．以拱桥的顶点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式；(2)汛期水位上涨，一艘宽为4米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：（1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为，把点A的坐标代入求出a的值即可；（2）把代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再把代入计算即可求解．【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为，由题知，，∴，解得：，∴该抛物线的函数表达式为；（2）解：当时，．∴，∴水面所在直线为．在中，令得：，解得：或，∵，∴此时水面的宽度为．【变式5-1】．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离为，跨度．(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；(2)一艘小船上平放着一些长，宽且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？【答案】(1)；(2)这些木板最高可堆放米【分析】本题考查了二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．（1）可令O为坐标原点，平行于的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关系式为，由题意可得B点的坐标为，由此可求出抛物线的函数关系式．（2）当时，求得的值，据此求解即可．【详解】（1）解：以O点为坐标原点，过O且平行于线段的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为，由题意可得B点坐标为，∴，解得，∴抛物线的函数关系式为；（2）解：当时，，∵，∴木板最高可堆放(米)．【变式5-2】．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）河南第一长隧道，栾川至西峡高速公路的老界岭隧道，右线全长9183米，创造河南隧道新记录．我们知道，隧道的横截面近似抛物线形，它的底部宽约8米、高约6米．车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道的中心线右侧、距离路边缘1米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的空隙不少于0.5米．(1)以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，在此基础上，求该隧道横截面的抛物线的函数关系式；(2)请判断通过此隧道的车辆高度不能超过多少米；(3)请判断通过此隧道的车辆宽与高的和的最大值．【答案】(1)(2)米(3)通过此隧道的车辆宽与高的和的最大值为【分析】本题考查二次函数的实际应用．建立直角坐标系，求出函数解析式，利用二次函数的性质，进行求解，是解题的关键．（1）根据题意，建立直角坐标系，设出函数关系式，待定系数法求出函数关系式即可；（2）根据题意，求出时的函数值，再减去0.5米，即可得出结果；（3）设车辆的宽为，最大高为，和为，列出二次函数关系式，求出时的最大值即可．【详解】（1）解：由题意，建立如图所示的直角坐标系，设函数的解析式为，由题意题意，得：函数图象经过，即：，∴，∴，∴；（2）由题意，当时，，∵车辆顶部与隧道的空隙不少于0.5米，∴车辆高度不能超过米；（3）设车辆的宽为时，最大高为，和为，由题意，得：，∴，∴当时，有最大值为；即：通过此隧道的车辆宽与高的和的最大值为．【变式5-3】．（23-24九年级上·山东泰安·期末）《综合与实践》拱桥形状设计．拱桥是桥梁家族中的重要一员。拱桥跨度大，造型优美灵活，可雄伟壮观，可小巧玲珑。拱桥按桥拱的形状可分为圆弧拱挢、抛物线拱桥和悬链线拱桥，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升3m时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系，

(1)求此抛物线的函数表达式；(2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？【答案】(1)(2)能安全通过【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，有理数大小的比较的运用，解答时求出函数的解析式是关键．（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为，由待定系数法求出其解即可；（2）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间按计算水位上升的高度，根据水位上升的高度计算水面距离拱桥最高点的距离，之后与2的大小就可以求出结论．【详解】（1）解：由题意得，，，设抛物线解析式为，∴，∴，∴抛物线解析式为；（2）解：船行驶到桥下的时间为：小时，水位上升的高度为：，∵抛物线解析式为，∴抛物线顶点坐标为，∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为，∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥．考点六：利用图象构建函数模型解决问题【例6】．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离背景现代社会汽车大量增加，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车．驾驶员从发现前方道路有异常情况到立即操纵制动器需要一段时间，这段时间叫反应时间，在这段时间里汽车通过的距离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离．素材《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格：车速（千米/时）反应距离（米）注意：千米/时米/秒（1）已知反应时间，则驾驶员正常的反应时间为秒．素材制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关．下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表：刹车时车速x（千米/时）刹车距离y（米）素材相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里．任务（2）请根据素材回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图），以所测得数据刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式；任务（3）请根据素材和相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为米，请推测汽车是否超速行驶；2任务3（4）请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的点时与轿车的距离米（见图）．测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线前停车（见图），汽车刹车前的最大速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离）【答案】（1）；（2）图象见解析，函数表达式为（3）该车已超速行驶；（4）车刹车前的最大速度不能超过千米/小时【分析】（1）根据反应时间=列式，注意转换单位；（2）秒点连线，用待定系数法求解析式即可；（3）把带入解析式求解，与比较即可；（4）根据停车距离反应距离制动距离列不等式求解，舍去负值．【详解】（1）反应时间所以驾驶员正常的反应时间为秒（2）解：图像如下：由图像大致可知函数图象为二次函数，因为图象经过原点，设二次函数解析式为：，把，代入：函数表达式为．（3）把代入，解得（舍）．车速大于限速，所以该车已超速行驶．（4）设汽车刹车前的速度为千米/小时．则根据停车距离反应距离制动距离，可列：整理得：，取最大距离，则解得（舍）汽车刹车前的最大速度不能超过千米/小时．【点睛】本题考查实际问题与二次函数，描点作图、待定系数法求二次函数解析式、二次不等式，掌握相关知识点是解题的关键．【变式6-1】．（23-24九年级上·广西南宁·期中）综合与实践．某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察，刹车距离．【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：刹车后行驶的时间0123刹车后行驶的距离y0274863发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：(1)求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)若汽车刹车后，行驶了多长距离；(3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．【答案】(1)y关于t的函数解析式为(2)汽车刹车后，行驶了(3)不会，理由见解析【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤是解题的关键．（1）设，将代入，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式；（2）求出当时的函数值，即可解答；（3）将二次函数解析式化为顶点式，求出最大值，再与80进行比较即可．【详解】（1）解：设，将代入得：，解得：，∴y关于t的函数解析式为；（2）解：当时，，答：汽车刹车后，行驶了；（3）解：不会．理由如下：∵，∴当时，汽车停下，行驶了，∵，∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车【变式6-2】．（2023·湖北武汉·模拟预测）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能进行测试，开始刹车后的行驶速度（单位：）、行驶距离（单位：）随刹车时间（单位：）变化的数据，整理得下表．刹车时间行驶速度行驶距离行驶速度与刹车时间之间成一次函数关系，行驶距离与刹车时间之间成二次函数关系．(1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．(2)当汽车刹车后行驶距离为时，求它此时的行驶速度．(3)若汽车发现正前方米有一辆卡车一直以的速度匀速行驶，汽车立即刹车，问汽车在刹车过程中会不会追尾卡车？请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)不会追尾，见解析【分析】（1）用待定系数法可得；；（2）在中，令得或，当时，，当时，（舍去），即可知当汽车刹车后行驶距离为时，它此时的行驶速度是；（3）在中，令得，可得：，因，故汽车在刹车过程中不会追尾卡车．【详解】（1）解：设，，解得，；设，，解得，；（2）在中，令得，解得或，当时，，当时，（舍去），当汽车刹车后行驶距离为时，它此时的行驶速度是；（3）在中，令得，把代入得：，，汽车在刹车过程中不会追尾卡车．【点睛】本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出解析式．【变式6-3】．（2023·安徽·模拟预测）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了了解制造车间某型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，得出汽车A刹车后刹车距离y（单位：m）与刹车时的速度x（单位：）满足二次函数．测得部分数据如下表：刹车时车速（）0510152025刹车距离（m）06.51731.55072.5(1)求刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；(2)有一辆该型号汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请问司机是否因为超速行驶导致了交通事故？请说明理由；(3)制造车间生产另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：）满足：，若刹车时车速满足在范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求β的取值范围．【答案】(1)(2)该司机是因为超速行驶导致了交通事故，理由见解析(3)【分析】（1）把，代入可得刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为；（2）结合（1）令得：或（舍去），根据，即可得到答案；（3）由题意得，可解得答案．【详解】（1）把，代入得：，解得，∴刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为；（2）该司机是因为超速行驶导致了交通事故，理由如下：在中，令得：，解得：或（舍去），∵，∴该司机是因为超速行驶导致了交通事故；（3）∵，汽车B刹车距离的函数图象更靠近y轴，由题意得，解得：．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出函数解析式．考点七：利用二次函数解决动点问题【例7】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图1，过点P作PE⊥y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值；(3)如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△PAE面积S的最大值是；（3）点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）．【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，∴，得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m，，得，∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6，∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），∴设点P的坐标为（p，2p+6），∴S△PAE＝＝﹣（p+）2+，∵﹣3＜p＜﹣1，∴当p＝﹣时，S△PAE取得最大值，此时S△PAE＝，即△PAE面积S的最大值是；（3）抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形，∵四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上，∴OA＝PQ，∵点A（﹣3，0），∴OA＝3，∴PQ＝3，∵直线AD为y＝2x+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，∴设点P的坐标为（p，2p+6），点Q（q，﹣q2﹣2q+3），∴，解得，或（舍去），当q＝﹣2+时，﹣q2﹣2q+3＝2﹣4，即点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）．【变式7-1】（23-24九年级上·广东中山·期中）如图所示，在中．，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积为．(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的长度等于．(3)请用含t的代数式表示并求出取值范围．【答案】(1)1秒后的面积为(2)2秒后的长度等于(3)【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，勾股定理；（1）设x秒后，的面积为，表示出，，根据三角形面积公式表示出的面积，令其等于即可求解；（2）由勾股定理得：，即可求解；（3）根据表示出，求出x的取值范围，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：设x秒后，的面积为，此时，，则，则，令，即，整理得：，解得：或，当时，，说明此时点Q越过点C，不合要求，舍去，答：1秒后的面积为；（2）解：由（1）得：，，由勾股定理得：，得，整理得，解方程得：（舍去），，所以2秒后的长度等于；（3）解：由（1）得：，，∵，∴∵∴

∴当时，有最小值20，

当时，有最大值

∴取值范围：【变式7-2】．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，在中，，点D为边的中点.动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点Q从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点B运动，当点P与点D、C不重合时，以为邻边作，设点P的运动时间为t秒.(1)用含t的代数式表示线段的长；(2)当线段被边平分时，求t的值；(3)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出时t的值.【答案】(1)当时，，当时，；(2)(3)【分析】（1）分和两种情况进行求解即可；（2）设与相交于点F，求出，由平行四边形的性质得到，又有，则，解方程即可得到答案；（3）过点Q作于点H，分和两种情况求解，再分两种情况代入进一步求解即可.此题考查了列函数关系式、等腰直角三角形的性质、二次根式运算等知识，数形结合和分类讨论是是解题的关键.【详解】（1）解：∵点D为边的中点，∴，当时，，当时，；（2）如图1，设与相交于点F，在中，，∴，∵以为邻边作，∴，又∵，∴，解得；（3）如图，过点Q作于点H，∵，∴，在中，，∴，当时，，∴，当时，；∴，∴，当时，若，解得（不合题意，舍去），当时，若，方程无解，∴【变式7-3】（22-23九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，直线与x轴相交于点B，与y轴相交于C，抛物线经过两点B，C，与x轴另一交点为A．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点C作轴，交抛物线于另一点D，点E以每秒1个单位长度的速度在线段上由点O向点B运动（点E不与点O和点B重合），设运动时间为t秒，过点E作轴交于点F，作于点H，交y轴右侧的抛物线于点G，连接，当时，求t的值；(3)如图2，正方形，边在x轴上，点Q与点B重合，边长为1个单位长度，将正方形沿射线方向，以每秒个单位长度的速度平移，时间为t秒，在平移过程中，请写出正方形的边恰好与抛物线有两个交点时t的取值范围．【答案】(1)(2)当时，t的值为秒(3)或时正方形的边恰好与抛物线有两个交点【分析】（1）求出，，代入抛物线解析式即可；（2）过点作于，点的坐标为，由点在抛物线上，得到，则当时，的值为秒；（3）由题意可知当正方形运动时，正方形上各点的横坐标向左平移个单位，纵坐标向上平移个单位，平移后，，，，①当点移动后在抛物线上时，时正方形的边恰好与抛物线有两个交点；②当点在抛物线上时，，，当点在抛物线上时，，，所以时正方形的边恰好与抛物线有两个交点．【详解】（1）直线与轴交于点，与轴交于点，，，抛物线经过，两点∴，解得：抛物线的解析式为；（2）过点作于，，，，，轴，，，轴，轴，，，，点从点运动，时间为，，点，的横坐标都为，点的横坐标都为，点的坐标为，点在抛物线上，，解得：（舍去），当时，的值为秒；（3），，，正方形沿射线方向，以每秒个单位长度的速度平移，时间为秒，当正方形运动时，正方形上各点的横坐标向左平移个单位，纵坐标向上平移个单位，，，，，平移后，，，，①当点移动后在抛物线上时，解得或，此时点在对称轴的右侧，，时正方形的边恰好与抛物线有两个交点；②当点在抛物线上时，，解得或，此时点在对称轴的左侧，，当点在抛物线上时，，解得或，此时点在对称轴的左侧，，时正方形的边恰好与抛物线有两个交点；综上所述：或时正方形的边恰好与抛物线有两个交点．【点睛】本题考查二次函数的综合，待定系数法求二次函数解析式，三角形面积问题，正方形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解平移的坐标特点是解题的关键．1．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：x012m4567…y068n…(1)①______，______；②小球的落点是A，求点A的坐标．(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系．①小球飞行的最大高度为______米；②求v的值．【答案】(1)①3，6；②；(2)①8，②【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据，（1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标；（2）①根据第一问可知最大高度为8米；②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值．【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为，∴，解得：，∴二次函数解析式为，当时，，解得：或（舍去），∴，当时，，故答案为：3，6．②联立得：，解得：或，∴点A的坐标是，（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，故答案为：8；②，则，解得（负值舍去）．2．（23-24九年级上·山东烟台·期末）某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示．信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系．根据以上信息，解答下列问题；(1)求二次函数的表达式；(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？【答案】(1)(2)购进A产品6吨，B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润为6.6万元【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际情况构建二次函数的解析式是解题的关键．（1）将代入，解方程组求出a、b的值即可得二次函数解析式．（2）建立销售A、B两种产品获得的利润之和与购进A产品数量之间的函数关系式，应用二次函数的最值求解即可．【详解】（1）解：