九年级数学上册北师大版 第一章《特殊平行四边形》单元测试卷（含答案）

第一章《特殊平行四边形》单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，菱形的边长为，，则的长度为（

）A． B． C． D．2．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为（

）A．4 B．6 C．8 D．103．要使如图所示的成为菱形，需增加的一个条件是（

）A． B．C．平分 D．4．如图，四边形的对角线互相平分，添加的条件（

）使它变为矩形．A． B． C． D．5．如图，在正方形中，对角线、交于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（

）A． B． C． D．6．如图，菱形的周长为，，则该菱形的面积是（

）A． B． C． D．7．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则的长为（

）A． B． C． D．8．定义：将顺次连接四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．如果中点四边形是正方形，那么原四边形的两条对角线一定满足（

）A．两条对角线互相平分且相等 B．两条对角线互相垂直且相等C．两条对角线互相平分且垂直 D．两条对角线互相垂直且不等9．如图，在中，点E、D、F分别在边、、上，且，，下列四个判断中，正确的个数有（

）①如果点E，F分别是，的中点，那么四边形是菱形②如果，那么四边形是矩形③如果平分，那么四边形是菱形④如果，且，那么四边形是正方形A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，四边形是菱形，点A，B，C，D均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（

）A．3 B．6 C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若，，则______．12．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________．13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在坐标轴上，则点的坐标是__________．14．如图，在矩形中，E、F分别为、上的动点，且，O为的中点，于点Q，于点P，连接．若，，则的最小值为______．15．如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则矩形纸片的周长为______________．16．已知：如图，在正方形外取一点E，连接，过点A作的垂线交于点P，若，下列结论中正确的是_________．①；②；③；④；⑤．

三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）如图，菱形对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与相交于点E．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求四边形的面积．18．（8分）如图，矩形的对角线、交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接、、．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，则菱形的面积为________．19．（8分）已知：四边形是正方形，、分别是和的延长线上的点，且，连接、、．(1)求证：；(2)证明：．20．（10分）如图，矩形中，，把矩形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处，交于点，连接．(1)求证：；(2)求证：是等腰三角形；(3)若，，求的长．21．（10分）如图，在矩形中，，点E在边上，，点P从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，设点P运动的路程为，连接，当点P运动到点B时，．(1)求的长；(2)当四边形是平行四边形时，求x的值；(3)连接，当的面积为6时，求x的值；(4)作点A关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出x的值．22．（10分）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，与相交于点G．(1)判断，的关系；(2)若，，求的长．23．（9分）【问题背景】已知正方形，点分别是边上的点．【问题解决】(1)如图1，已知，垂足为．求证：；(2)如图2，已知点，分别在，边上，连接，，且，垂足为，，交于点I，若，求的长度；【深入探究】(3)如图3，若将正方形折叠，使得点恰好落在边上的点F处，点的对应点为点，折痕分别交，于点，．若正方形的边长为10，，求的长度．24．（9分）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点为轴正半轴上一动点，点的横坐标记作，过点作交的延长线于，交轴于点．(1)判断四边形的形状为______________，并说明理由；(2)若四边形是菱形时，求的值；(3)连接，若的面积是面积的倍，求的值．参考答案一、选择题1．B解：∵菱形的边长为，，∴，，∴是等边三角形，∴．故选B2．C解：∵四边形是矩形，∴，，∵，∴是等边三角形，∴，∴．故选C3．C解：、由，则是矩形，故不符合题意；、由，不能判定是菱形，故不符合题意；、由平分，则，因为，所以，所以，所以，则是菱形，故符合题意；、由，不能判定是菱形，故不符合题意；故选C．4．D解：四边形的对角线互相平分，则这是一个平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形．故选D．5．A解：∵四边形是正方形，∴，，，，∴，，∴，∴，∴．故选A．6．B解：如图，连接交于点，∵菱形的周长为，∴，，，，，∴是等边三角形，，∴，∴，∴，，∴菱形的面积为．故选B．7．A解：设,则由折叠性质知，由矩形的性质知，在中，由勾股定理得，即，解得，故的长为．故选A．8．B解：根据题意画出图形如下：∵E、F、G、H分别是四边形各边、、、的中点，∴，，∴，，∵四边形是正方形，，，∴，，即两条对角线互相垂直且相等．故选B．9．B解：，，四边形是平行四边形．对于①，若，分别是，的中点，则，，无法得出，故错误；对于②，，四边形是平行四边形，四边形是矩形，故②正确；对于③，平分，，又，，，，四边形是菱形，故③正确；对于④，，，平分，由③知四边形是菱形，但无法得出，故④错误．综上所述，正确的有2个．故选：B．10．B解：菱形，，，，∴关于直线对称，∴，∴，连接，∵，∴三点共线时，取得最小值，且最小值为，菱形，，∴，，，∴都是等边三角形，点是的中点，∴，点，，，，，的最小值为6，故的最小值为6；故选B二、填空题11．解：∵四边形为平行四边形，∴，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴四边形是菱形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．12．3解：如图，作于M，交于N；则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，∴，，∴，∴，∴，故答案为：3．13．解：如图，过点C作轴，垂足为E．∵四边形是正方形，点，∴，，∴，∴，∴，∴，∴点．14．解：如图，连接、、，矩形，，，，，，，，，在中，O为的中点，，，，，四边形是矩形，，，，即当点在上时，有最小值为．15.解：由于翻折，得，，在中，设长为，则在中，即解得即16．①②③④解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，又∵，∴，在和中，∵，，，∴，故①正确；∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故②正确；∵，∴，∴，∵，∴，故③正确，如图，过点B作，交的延长线于点F，

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故④正确，如图，连接，过点P作，交于M，交于N，

∵，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴，∴，同理，∴，故⑤错误，故答案为：①②③④三、解答题17．(1)证明：由题意得：，即；∵，，∴四边形是平行四边形；∵；∴四边形是矩形；（2）解：由题意得：，∵，，∴，∴四边形的面积；18．(1)证明：∵，，∴四边形是平行四边形：∵四边形是矩形，∴，即，∴四边形是菱形；（2）解：∵四边形是矩形，∴；∵四边形是菱形，且，∴，，∴，由勾股定理得：，即，．19．(1)证明：∵四边形是正方形，∴，，∴，在和中，，∴；(2)证明：∵∴，∴．20．(1)证明：∵把矩形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处，∴，，在和中，，∴．(2)证明：由（1）可知，，∴，∴，∴是等腰三角形．（3）解：∵把矩形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处，，，∴，，，由（2）可知，设，则，在中，，∴，解得：，∴的长为．21．（1）解：当点P运动到点B时，如图，∵四边形是矩形，，；（2）解：∵矩形，∴，，∴∴当点P在时，且，四边形是平行四边形，如图，由（1）知：，；（3）解：当点P在上时，如图，，，，，；当点P在上时，如图，，∴，，，综上所述，当的面积为6时，x的值为或7；（4）解：①如图，当点落在边上且靠近点B时，∵点A关于对称点为，，，过E作于点F，则，∴四边形是矩形，∴，，在中，，，，，在中，，即，解得；②如图，当点恰好落在边上且靠近点C时，同理，，，，，在中，，即，解得；综上，的值为或7．22．（1）解：在正方形中，，，∵，∴，在和中，，∴，∴，，，∵，∴，∴，即．（2）解：∵，，∴，，在中，，∵，∴，∴，∴．23．(1)证明：∵四边形为正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵四边形为正方形，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，根据解析（1），同理可得：；（3）解：连接，交于点H，过点M作于点G，如图所示：则，∵四边形为正方形，∴，，∴四边形为矩形，∴，∴，根据折叠可得：，∴，∵，∴，∴，∴，