陕西省西安市第七十中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（含解析）

陕西省西安市第七十中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知，则（

）A．11 B． C．45 D．32．已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则（

）A． B． C．2 D．3．若直线经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数的值为A． B． C． D．4．若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（

）A． B． C． D．05．已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（

）A． B． C． D．6．设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（

）A． B． C． D．7．在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知空间向量，则（

）A． B．可以为空间的一组基底C． D．10．已知，，若直线恒过点且与线段相交，则直线的斜率取值可能是（

）A． B． C． D．11．在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱AB，BC的中点，则（

）A．B．三棱锥的体积为C．异面直线与所成角的余弦值为D．点E到直线的距离为三、填空题12．在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____.13．已知直线经过点和点，直线经过点和点，若与没有公共点，则实数a的值为______．14．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为__．四、解答题15．（1）已知平面直角坐标系中，，，，，若直线与直线平行，求的值；（2）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，求的最小值.16．已知平行六面体，，，，，设，，；（1）试用、、表示；（2）求的长度.17．已知空间中三点，，.(1)若向量与平行，且，求的坐标；(2)求向量在向量上的投影向量的坐标；(3)求以，为邻边的平行四边形的面积.18．如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点.

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离.19．在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的大小；(3)在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.1．A【详解】因为，所以，所以.故选：2．C【详解】因为，故与垂直，故，解得.故选：C3．A【详解】由题意得，直线的斜率：，解得：本题正确选项：4．A【详解】由题意，是空间的一个基底，设，，所以，不共线，因为，，不能构成空间的一个基底，则，，共面，所以存在x，使得，即，所以，解得，，.故选：A.5．C【详解】设的倾斜角为，则，且，如图，由正切函数的性质知.故选：C.6．D【详解】因为空间两个单位向量与向量的夹角等于，所以，所以，结合得则向量夹角的余弦值为.故选：D.7．C【详解】由点在直线上运动，故可设，，则，，所以，故当时，取得最小值.故选：C．8．A【详解】因为两两互相垂直，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：由可设，则，因此，显然，，设平面的一个法向量为，则，令，则；所以，设直线与平面所成的角为，所以.故选：A9．AC【详解】对于A，，故A项正确；对于B，设，即，解得，，即，所以，，共面，不能作为空间的一组基底，B错误；对于C，，所以，故C项正确；对于D，，故D错误.故选：AC.10．AC【详解】设,则，如图，由图可知，当时，直线与线段相交，故选：AC11．ABD【详解】解：对于A，因为E，F分别是棱AB，BC的中点，所以因为，所以，故A正确；对于B，易知平面，所以，故B正确；对于C，如图建立空间直角坐标系，则，所以，所以，故C错误；对于D，，则，所以，所以点E到直线的距离为，故D正确.故选：ABD12．【详解】在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，，所以，又因为，所以.故答案为：.13．【详解】解：由题意得，所以，因为，，所以，所以．故答案为：.14．【详解】因为，且的夹角为钝角，所以且与不共线（反向），由，则，解得，当与共线时，，则，解得，综上可得实数的取值范围为.故答案为：15．（1）；（2）最小值是【详解】（1）由题知，，即，解得；（2）为正数，根据方向向量的定义，则的斜率必存在，由可知斜率存在，于是，由可知，整理可得，即，则，当，即取得等号，即最小值是.16．（1）；（2）．【详解】解：（1）（2），，所以．的长度为．17．(1)或(2)(3)【详解】（1）由题知，又向量与平行，设，，解得，于是或（2）由（1），又，根据投影向量公式，（3）由题知，，设，的夹角为，则，显然，根据夹角公式，，则，根据三角形的面积公式，则以，为邻边的平行四边形的面积是18．(1)因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面；(2)(3)【详解】（1）略（2）因为，，，平面，所以平面，又底面为正方形，及，所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：

则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，所以，即，令，则，，故，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；（3）因为，平面的法向量为，所以点到平面的距离.19．(1)因为在中，，，且，所以，，则折叠后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面内，所以平面；(2)(3)存在，或【详解】（1）略（2）由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.因为，故，由几何关系可知，，，，故，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，不妨令，则，，.设与平面所成角的大小为，则有，设为与平面所成角，故，即与平面所成角的大小为；（3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.