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文档简介

最速下降法最速下降法，也称为梯度下降法，是由法国著名数学家Cauchy在1847年提出的。

最速下降法是求解无约束优化问题最简单和最古老的方法之一，虽然现在已经不具有实用性，但是许多有效算法都是以它为基础进行改进和修正而得到的。

最速下降法是用负梯度方向为搜索方向，算法非常简单，并且通常对凸解析函数也有良好的收敛性。.最速下降法的基本思想从任意一点xk出发，沿该点负梯度方向pk=-▽f(xk)进行一维搜索，设f(xk+λkpk)=minf(xk+λpk)(λ>0)，令xk+1=xk+

λkpk为f(x)新的近似最优解。

再从新点xk+1出发，沿该点的负梯度方向pk+1=-▽f(xk+1)进行一维搜索，进一步求出新的近似最优解xk+2。

如此迭代，直到某点的梯度为零向量或梯度的范数小于事先给定的精度为止。.给定x0，ε>0，k=0计算pk=-▽f(xk)||▽f(xk)||<εf(xk+λkpk)=minf(xk+λpk)(λ>0)xk+1=xk+

λkpk，k=k+1停止，打印xkYN算法.例.用最速下降法求函数f(x1,x2)＝2x12+x22的极小点,取x0=[1,1]T,ε=0.1。解由题意得由于故进行第一次迭代从x0=(1,1)T出发进行一维搜索，即构造.得从而得故进行第二次迭代运算:令从x1=(-1/9,4/9)T出发进行一维搜索，即构造.得从而得令故进行第三次迭代运算:从x2=(2/27,2/27)T出发进行一维搜索，即构造.得从而得令停止迭代故最优解为..最速下降法的搜索路径呈直角锯齿形设xk=(xk1,

xk2…..xkn),pk=(pk1,

pk2…..pkn),则令θ(λ)=f(xk+λpk)=f(xk1+λpk1,xk2+λpk2

,….,xkn+λpkn)是一元函数f(xk+λpk)的极值点，

▽f(xk

+λkpk)Tpk=0，即(pk+1)Tpk=0。也就是说，有目标函数在一维搜索产生的新点xk+1=xk+

λkpk处的梯度与产生该点时所用的搜索方向是正交的。.改进后的算法精度ε>0，自然数N>=2,k=0Step1:计算Step2：Step3：如果，则转Step5；否则进行一维搜索，令若k>=N,且k/3-[k/3]=0.则转Step4，否则

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