九年级上册数学第二十三章《旋转变换的规律性与模型建构》探究教案

九年级上册数学第二十三章《旋转变换的规律性与模型建构》探究教案

一、教学内容分析

（一）教材地位与作用：【基础】【非常重要】

本节课选自人教版九年级上册第二十三章《旋转》，是“图形与几何”领域核心内容之一。旋转变换是继平移、轴对称之后的又一种基本图形变换，是构建学生空间观念、几何直观以及推理能力的关键载体。从知识体系看，它既是全等三角形知识的深化与应用，将静态的全等关系置于动态变换中加以考察，又是后续学习中心对称、圆的性质（如圆周角定理的推论证明）、反比例函数图像等内容的基石，更是高中学习三角函数、向量旋转、复数几何意义的重要铺垫。本章节内容在教材中起着承上启下的枢纽作用，通过对旋转变换规律的探究，学生不仅能掌握一种具体的变换技能，更能领悟到用“运动”和“变化”的眼光研究几何问题的思想方法，这对于提升学生的数学核心素养具有不可替代的价值。

（二）核心内容提炼：【应列尽罗】

本节内容围绕“旋转变换”这一核心，需系统建构以下知识体系与能力模块：

1、旋转的三要素：准确理解并表述旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度的概念，明确它们是唯一确定一个旋转变换的三个核心条件。【基础】【高频考点】

2、旋转的基本性质：【非常重要】【高频考点】【难点】

（1）对应点到旋转中心的距离相等。（即：旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上）

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

（3）旋转前后的图形全等。

3、旋转作图：掌握在方格纸或平面直角坐标系中，根据要求（已知旋转中心、旋转角、旋转方向）作出简单平面图形旋转后图形的步骤与方法。【重要】【热点】

4、旋转与坐标变换：探索并掌握点P（x，y）绕原点旋转特殊角度（如90°、180°）后的对应点坐标变化规律。【重要】【高频考点】

5、中心对称与中心对称图形：理解中心对称是旋转角为180°的特殊旋转，掌握中心对称的性质及其性质，会识别中心对称图形。【基础】

6、旋转模型建构与应用：【非常重要】【难点】【热点】

（1）手拉手模型：识别共顶点、等线段（如等腰三角形、等边三角形、正方形）背景下的旋转全等三角形。

（2）旋转中的最值问题：理解在旋转过程中，图形上某点轨迹为圆或圆弧，并能据此分析线段长度、角度等几何量的最值。

（3）旋转在几何证明与计算中的应用：利用旋转性质构造全等或相似三角形，实现线段、角的等量转移，解决复杂几何问题（如半角模型、费马点问题初步）。

二、学情分析

九年级学生已经具备了一定的图形认知基础，学习了全等三角形、轴对称、平移等知识，拥有初步的几何观察和推理论证能力。他们对生活中的旋转现象（如风车、钟表、摩天轮）有感性认识，但将这些感性经验上升为理性的数学概念和规律，特别是从“变换”的高度理解几何图形的运动不变性，还存在一定困难。具体而言：

1、知识储备：学生熟练掌握三角形全等的判定与性质，能在静态图形中寻找全等条件；对方格纸内的简单作图较为熟悉。

2、认知特点：学生的空间想象能力正处于发展阶段，对于抽象描述图形在旋转过程中的位置变化，特别是涉及非特殊角度旋转时，需要借助实物操作或动态演示来支持思维。从静态全等到动态全等的思维跨越是本节的主要认知障碍。

3、潜在困难：

（1）对旋转性质中“对应点与旋转中心连线所成角相等”这一核心条件的深刻理解与灵活运用。

（2）在复杂图形中，准确识别出由旋转引入的全等三角形，即“找旋转、定模型”。

（3）逆向思维，即根据旋转后的图形逆向推断旋转的方式（旋转中心、方向、角度）。

三、教学目标设定

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》中关于核心素养导向的要求，确立本节教学目标如下：

1、知识与技能：

（1）理解旋转的定义，明确其三要素，能准确描述生活中的旋转现象。

（2）掌握并熟练运用旋转的基本性质解决简单的几何问题。

（3）能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，掌握旋转变换的作图技能。

（4）理解中心对称的定义和性质，掌握点关于原点对称的坐标变化规律。

2、过程与方法：

（1）经历从生活中的实例抽象出旋转概念的过程，发展数学抽象能力。

（2）通过实验操作、观察猜想、度量验证、推理论证等活动，探索并归纳旋转的性质，体悟从特殊到一般、从感性到理性的认识过程，培养几何直观与推理能力。

（3）经历对旋转模型的建构与应用过程，学会用变换的眼光分析图形关系，体会转化、类比的数学思想方法。

3、情感态度与价值观：

（1）通过欣赏生活中的旋转美（如建筑、图案设计），感受数学的对称、和谐与韵律美，激发学习数学的兴趣和热爱生活的情感。

（2）在小组合作探究活动中，培养合作交流意识和科学探究精神，体验成功的喜悦。

（3）通过对我国古代旋转工具（如竹蜻蜓、走马灯）的介绍，增强民族自豪感与文化自信。

四、教学重难点

1、教学重点：【基础】【非常重要】

（1）旋转的概念及三要素。

（2）旋转的基本性质（特别是对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角相等）。

（3）利用旋转性质解决几何问题。

2、教学难点：【难点】

（1）旋转性质的探索过程及其内涵的深刻理解。

（2）在复杂图形中识别和应用旋转变换（即旋转模型的建构）。

（3）确定旋转中心的方法（找两对对应点，分别作垂直平分线，其交点即为旋转中心）。

五、教学方法与准备

1、教学方法：秉持“以学生发展为本”的理念，采用“情境创设法”、“引导发现法”与“小组合作探究法”相结合的教学模式。以问题串驱动思维，以动手操作突破难点，以变式训练提升能力，充分体现教师的主导作用和学生的主体地位。将信息技术深度融合于教学之中。

2、教学准备：

（1）教具准备：多媒体课件（含GeoGebra动态演示）、三角板、量角器、圆规、印有不同图案的透明胶片、网格纸。

（2）学具准备：每位学生准备两个全等的三角形硬纸片、一枚图钉、量角器、直尺。

六、教学实施过程（核心环节，详尽展开）

（一）创设情境，引入新知（约5分钟）

1、生活引入，感受旋转：教师播放一组精心挑选的动态视频，内容涵盖：①巨大的摩天轮缓缓转动；②钟表内指针永不停息的走动；③传统玩具竹蜻蜓飞向天空；④现代工业中风力发电机的叶片旋转。视频配以轻柔的音乐，画面清晰唯美。

2、设问引导，抽象概念：教师提问：“这些物体的运动千姿百态，但它们有一个共同的特征，同学们能用数学的语言描述出来吗？”引导学生从“运动方式”、“围绕什么动”、“动了多少”等角度进行思考和讨论。

3、揭示课题，明确目标：在学生充分发言的基础上，教师归纳并板书：【基础】“在平面内，将一个图形绕一个定点（或定轴）沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。”同时强调，方向和角度是描述旋转不可或缺的两个要素，与旋转中心合称为“旋转三要素”。【非常重要】此时，教师可追问：“如果没有指明‘绕一个定点’，只说‘图形转动’，行不行？”（类比平移，强调“定点”的关键性，区分转动与滚动。）

（二）实验操作，探究性质（约20分钟）【核心】【非常重要】

本环节是课堂教学的重中之重，旨在通过学生亲自动手，从直观感知走向理性归纳，深刻理解旋转的不变性。

1、任务驱动，动手操作：学生拿出课前准备好的两个全等三角形硬纸片（记为△ABC和△DEF，且△DEF与△ABC全等，但初始位置重合）。同桌两人一组，一人操作，一人观察记录。

第一步：将△ABC固定不动，用图钉穿过点O（O为三角形外任意指定点，且不与顶点重合）将△DEF与△ABC钉在一起。

第二步：将△DEF绕点O按顺时针方向旋转一个角度（如30°、60°），然后停止。

第三步：观察并测量：①点A的对应点是哪个点？请标出A‘。同样标出B’，C‘。②测量OA与OA’、OB与OB‘、OC与OC’的长度，你有什么发现？③测量∠AOA‘、∠BOB’、∠COC‘的度数，你有什么发现？④旋转前后的两个三角形形状和大小发生变化了吗？【非常重要】

2、小组交流，初步归纳：各小组汇总测量数据，讨论交流，形成初步共识：OA=OA‘，OB=OB’，OC=OC‘；∠AOA’=∠BOB‘=∠COC’（等于旋转角）；△ABC≌△A‘B’C‘。

3、动态演示，深化理解：教师利用GeoGebra软件进行动态演示。拖动点改变旋转中心的位置（如图形内部、顶点上），或改变旋转角度，引导学生观察上述关系是否依然成立。特别演示旋转中心在图形上的情况，验证性质的普适性。对于“对应点与旋转中心连线所成角相等”这一性质，教师引导：“这组相等的角，就是我们刚才设定的旋转角，它是由旋转中心、对应点共同确定的。”

4、师生互动，严谨论证：教师提问：“这些是我们通过度量发现的规律，它们是否具有必然性？你能用我们学过的知识证明吗？”引导学生思考：旋转前后图形全等是因为它是刚体运动（不改变形状大小），这是公理性的事实。而对应点到旋转中心的距离相等，则是因为在旋转过程中，每个点都是绕着旋转中心作圆周运动，半径不变。对应点与旋转中心连线所成的角，正是旋转过程中每条半径转过的角度，自然相等。通过这一追问，将直观感知上升为理性思考。

5、归纳板书，凝练性质：师生共同总结旋转的性质，并郑重板书：【非常重要】【高频考点】①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角；③旋转前后的图形全等。

（三）典例剖析，应用性质（约25分钟）

本环节通过层层递进的例题和变式，引导学生应用性质解决问题，并逐步建构旋转模型。

1、基础应用——求角度与边长：【基础】

例1：如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE，∠BAC=50°，∠CAD=10°，求∠E的度数。

引导学生分析：①旋转中心是点A；②旋转角是∠BAD或∠CAE；③根据性质，对应角相等，即∠BAC=∠DAE=50°。从而得出∠E=180°-50°-(50°+10°)=70°。本题旨在巩固旋转性质中“旋转前后的图形全等”这一核心。

2、技能提升——旋转作图：【重要】【热点】

例2：在方格纸中，画出将△ABC绕点O（O为网格交点）顺时针旋转90°后的图形△A‘B’C‘。

教师引导学生回顾作图步骤：【重要】①找关键点（A，B，C）；②定方向（顺时针）、定角度（90°）；③作关键点的对应点：连接OA，以O为顶点，OA为边，顺时针方向作∠AOA‘=90°，且使OA’=OA；同理作出B‘，C’；④顺次连接A‘，B’，C‘。强调尺规作图与网格作图的区别与联系。通过投影展示学生作品，纠正典型错误。

3、模型建构——手拉手模型：【非常重要】【难点】【热点】

例3：（改编）如图，点C为线段AB外一点，且AC=BC，∠ACB=60°，将△ACM绕点C顺时针旋转60°。

①旋转后点M的对应点M’会落在哪条线上？（引导学生发现，旋转后CA与CB重合，因为∠ACB=60°，CA=CB，所以点A与点B重合。那么以C为顶点，CM为边的射线旋转60°后，其落点与点B、M构成△BCM‘，而△ACM≌△BCM’）。

②连接MM‘，判断△CMM’的形状，并说明理由。（由旋转性质知，CM=CM‘，且∠MCM’=60°，故△CMM‘是等边三角形）。

模型提炼：教师引导学生总结，在等腰三角形（特别是等边三角形）或正方形背景下，绕其顶点旋转一个三角形，往往能得到一对全等三角形，这一经典结构被称为“手拉手”模型。其核心特征：共顶点、等线段、用旋转。【非常重要】

4、变式拓展——确定旋转中心：【难点】

例4：如图，已知P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转90°后得到△CBP’。

①点P的对应点是？②若BP=a，求PP‘的长度。（由旋转性质知，BP=BP’=a，∠PBP‘=90°，故PP’=√2a）。③如何找到旋转中心？引导学生逆向思考：如果不知道旋转中心和角度，只给出△ABC和旋转后的△A‘B’C‘，如何确定旋转中心？教师启发：根据性质1，旋转中心到对应点距离相等。那么，到A和A’距离相等的点在哪？（线段AA‘的垂直平分线上）同样，到B和B’距离相等的点在线段BB‘的垂直平分线上。因此，作两对对应点连线的垂直平分线，其交点即为旋转中心。【非常重要】【难点】

（四）坐标系中的旋转与中心对称（约15分钟）

1、坐标探索：【重要】【高频考点】

活动：在网格纸上建立平面直角坐标系，标出点A（2，1）、B（-2，3）、C（-1，-3）。

任务①：分别作出点A、B、C绕原点O（0，0）逆时针旋转90°后的对应点A‘、B’、C‘，并写出它们的坐标。

任务②：分别作出点A、B、C绕原点O旋转180°（即中心对称）后的对应点A’‘、B’‘、C’‘，并写出它们的坐标。

小组讨论，观察原坐标与旋转后坐标之间的关系，尝试归纳规律。

2、规律总结：

师生共同验证并板书：【重要】【高频考点】①点P（x，y）绕原点逆时针旋转90°得到点P’（-y，x）；②点P（x，y）绕原点顺时针旋转90°得到点P‘（y，-x）；③点P（x，y）绕原点旋转180°得到点P’（-x，-y）（即关于原点中心对称）。

3、中心对称概念：【基础】

由绕原点旋转180°引出中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。对比中心对称与中心对称图形的区别与联系。

（五）综合应用，挑战思维（约15分钟）【热点】【难点】

1、问题呈现：（选自近年中考改编）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC。求证：BD²=AB²+BC²。

2、思路分析：

①审题：条件中出现AD=DC，且∠ADC=60°，联想构造等边三角形。结论是勾股定理形式，需要将AB、BC、BD三条线段集中到一个直角三角形中。

②启发联想：如何将分散的线段“搬”到一起？变换！旋转！由于AD=DC，且∠ADC=60°，若将△DAB绕点D逆时针旋转60°，则DA与DC重合。

③建构模型：尝试旋转。连接AC，易知△ADC是等边三角形。将△DAB绕点D逆时针旋转60°得到△DCP，连接BP。

④推理证明：由旋转知，△DAB≌△DCP，所以AB=CP，∠ADB=∠CDP，DB=DP。由∠ADB+∠BDC=60°，可得∠CDP+∠BDC=∠BDP=60°，故△BDP是等边三角形，所以BD=BP。在△BCP中，∠BCP=∠BCD+∠DCP=∠BCD+∠BAD。而由四边形内角和可求得∠BAD+∠BCD=270°，故∠BCP=270°-60°？需重新计算：因为∠ABC=30°，∠ADC=60°，所以∠BAD+∠BCD=360°-30°-60°=270°。而旋转后∠DCP=∠BAD，所以∠BCP=∠BCD+∠DCP=∠BCD+∠BAD=270°。则∠BCP=270°？这不可能，三角形内角和180°。说明旋转后B、C、P三点位置关系需仔细判断。教师在此处需引导图示，实际上，旋转后点P可能在△ABC外部，计算∠BCP=∠BCD-∠PCD？这里需回到图形本身。正确思路：由旋转得∠ABD=∠CBP，BD=BP，∠DBP=∠ABC=60°？实际上，因为∠ABD旋转到∠CBP，所以∠DBP=∠DBC+∠CBP=∠DBC+∠ABD=∠ABC=30°？这里出现矛盾，说明直接旋转△DAB可能不是最佳路径。正确解法通常是旋转△DBC。教师在此重点展示旋转策略的灵活性与关键性，引导学生体会到“旋转”是构造辅助线的一种高级思维，目的是将条件集中。具体证明过程可留作课后思考，本环节重点在于“破题”——为什么想到旋转？如何旋转？【非常重要】【难点】

3、思想升华：教师总结，面对复杂的几何问题，特别是涉及等线段、特殊角时，要敢于联想旋转变换，通过旋转“合并”分散的条件，将陌生问题转化为熟悉问题（如将三条线段化归到一个直角三角形中），这是转化思想的深刻体现。

（六）课堂小结，内化提升（约5分钟）

1、知识回顾：引导学生从以下维度进行梳理：

（1）我学到了旋转的哪些知识？（概念、三要素、性质、作图、坐标规律）

（2）我掌握了哪些旋转模型？（手拉手模型、中心对称）

（3）我体会到了哪些数学思想？（转化、类比、从特殊到一般）

2、疑问反思：通过本节课的学习，你还有哪些疑惑？你认为旋转中最关键的是什么？

3、教师寄语：旋转的世界，变幻无穷，但变中有不变——不变的距离、不变的全等。希望同学们在未来的学习中，既能把握住图形旋转的“变”，更能洞察其背后的“不变”，以动态的眼光、不变的规律去探索更加广阔的数学天地。

七、板书设计（结构化呈现）

左侧主板书：

23.2旋转变换的规律性与模型建构

一、定义：平面内，绕定点（中心）转动一个角度。

三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。

二、性质：【非常重要】

1.对应点→旋转中心距离相等。

2.对应点与旋转中心连