九年级数学上册：树状图与表格求概率（暑期预习教案）

九年级数学上册：树状图与表格求概率（暑期预习教案）

一、教学背景与目标定向

（一）课程定位与价值阐释

本课隶属于初中数学“统计与概率”领域，是北师大版九年级上册第三章“概率的进一步认识”的核心内容。学生已在七年级下册通过试验体验了随机事件、频率与概率的关系，并能计算简单等可能事件的概率。本课旨在将概率计算从枚举法升级为系统化模型，通过树状图与表格两种结构化工具，解决两步及以上试验的复杂概率问题。这是从感性操作到理性建模的关键跃升，同时为高中阶段学习条件概率、独立事件、排列组合等知识奠定思维与工具基础。【非常重要】【核心素养载体】

（二）教学目标层级建构

1.知识与技能目标

学生能准确复述等可能试验的特征，清晰阐述树状图与表格法的数学原理；能规范画出两步试验的树状图与表格，并基于图形完整计算指定事件的概率；能在三步试验情境中评估两种工具的优劣，选择最优解法。【重要】【基础达标】

2.过程与方法目标

通过“问题情境—工具引入—规则归纳—变式迁移”的学习路径，经历从具体问题抽象出数学模型的全过程；在小组对比交流中，体会分类讨论、数形结合、模型化三大数学思想；通过典例拆解与错例辨析，形成“先定步骤、再选工具、后核完备性”的程序化解题策略。【非常重要】【思维生长点】

3.情感态度与价值观目标

感受数学工具对复杂问题的简化力量，增强用定量方法解释随机世界的意识；在变式挑战中培养抗挫力与严谨性，认同“有序思考”的价值。【一般】【隐性素养】

（三）教学重难点精准锁定

1.教学重点

树状图与表格的规范画法及概率计算流程；两步等可能试验结果的完备性与等可能性确认。【高频考点】【核心技能】

2.教学难点

当试验分三步或步骤结果不等可能时，工具的选择与图形适配；表格法在“两次不放回”情境中对行列表头的精准定义。【难点】【思维障碍】

二、教学准备与实施策略

（一）学法储备分析

学生认知痛点：八年级物理电学串并联已接触过路径图，但缺乏概率视野下的结构性枚举意识；易出现重复、遗漏结果，对“等可能”的理解停留在理想层面，忽视实际试验中顺序与组合的区别。教师应对策略：采用“认知冲突—工具介入—规则内化—变式巩固”四阶递进，以“摸球模型”为主线贯穿全课，降低认知负荷。【重要】

（二）教具与媒体

几何画板动态演示树状图展开过程；希沃白板拖拽功能用于学生现场修正错图；双色磁力贴片用于板书生成可活动的表格行列头；预习学案含三组前置练习与一张半成品思维导图框架。【一般】

三、教学实施过程（核心环节）

（一）预习反馈与思维导图共建

1.预习作业精准诊断

课前发布微课《概率是什么》，布置三项任务：

（1）列举抛两枚硬币的所有结果，并计算“一正一反”的概率；

（2）思考：若抛三枚硬币，直接列举会有什么困难？

（3）通读教材P60-62，尝试填写学案中的思维导图主干。

上课前3分钟，教师通过极速数据统计展示预习正确率——第（1）题正确率78%，错误集中为将（正、反）与（反、正）视为同一结果；第（2）题多数学生反馈“太多情况，怕漏掉”。【非常重要】【诊断起点】

2.思维导图结构化梳理

教师不直接给出成品图，而是以追问方式引导学生现场生成知识体系：

——“我们今天要解决什么问题？”（求复杂随机事件的概率）

——“复杂在哪里？”（步骤多、结果多）

——“我们需要什么工具来保证不重不漏？”（树状图、表格）

——这两种工具分别长什么样？适用场景有何区别？

师生逐层对话，教师将核心关键词贴于黑板左侧，形成放射性主干；随后请三位学生上台，利用磁力贴将零散的概念卡片（如“两步试验”“放回”“不放回”“第一层”“行表头”等）归位至“树状图区”与“表格区”之下。此环节不仅是知识梳理，更是认知图式的显性化建构。【重要】【热点】

（二）核心工具精讲：树状图的结构化习得

1.问题情境驱动

展示真实情境：某校食堂推出新套餐，主食二选一（米饭、馒头），荤菜三选一（鸡腿、排骨、鱼块），素菜二选一（青菜、土豆）。学生午餐需各选一种。

提问：“恰好选到米饭、鸡腿、青菜的概率是多少？”

学生自然发现：三步试验，手举列举已非常吃力。【非常重要】【生活建模】

2.树状图规则拆解与规范演示

教师不直接板书完整图，而是分四步动态生成：

（1）第一步：确定试验步骤——主食、荤菜、素菜，共三步。

（2）第二步：从起点出发画第一层分支——分支数量等于主食种类数（2支）。每支标注“米饭”“馒头”。【重要】【第一层】

（3）第三步：从每个第一层末端画第二层分支——分支数等于荤菜种类数（3支），标注“鸡腿”“排骨”“鱼块”。

（4）第四步：从每个第二层末端画第三层分支——分支数等于素菜种类数（2支），标注“青菜”“土豆”。

此时教师用几何画板动态演示：若先选荤菜后选主食，树状图结构对称但信息量完全等价。引导学生总结关键规则：分支顺序对应试验步骤顺序，每层的分支数等于该步可能结果数，且必须是该步条件下的等可能结果。【非常重要】【易错预警】

3.概率计算与答案回溯

完整树状图共产生2×3×2=12条路径，每条路径对应一种等可能配餐方案。学生数出“米饭、鸡腿、青菜”仅对应其中一条路径，概率为1/12。教师追问：“为什么可以直接用1/12？路径为什么是等可能的？”倒逼学生回溯等可能定义——每一步选择是等可能的，且各步独立，因此乘积路径等可能。【高频考点】

4.变式对比：步骤可交换吗？

即时抛出变式：若食堂规定“素菜二选一，但青菜今日缺货，只能选土豆”，则第三步分支数变为1。学生动手在原图基础上修改第三层，发现总路径数变为2×3×1=6，“米饭、鸡腿、土豆”概率为1/6。此处刻意制造“步骤内结果数不恒定”的反例，打破学生机械套用乘法公式的惯性。【难点突破】【重要】

（三）核心工具精讲：表格法的结构化习得

1.表格法引入时机把控

在树状图学习后立即呈现新问题：一个不透明袋中装有红、蓝两个除颜色外完全相同的小球，先从袋中随机摸取一个，记下颜色后放回，再随机摸取一个。求两次都摸到红球的概率。

学生尝试画树状图，很快完成2×2=4条路径，计算概率1/4。教师追问：“如果这个试验改成‘不放回’，树状图需要怎么改？”学生立刻反应：第二层分支应去掉第一层摸到的那个球。

2.表格法原理与规范建构

教师出示一个空白6行×6列的Excel表格投影，提问：“树状图已经能解决，我们为什么还需要表格？”引导学生发现：当每步结果数较多（如从1-36选两个数）或两步试验时，树状图分支密集，画图效率低，表格则更紧凑。【重要】

以“放回摸球”为例，教师演示表格制作四步法：

（1）确定试验的两个维度——第一次摸球结果作为行表头，第二次摸球结果作为列表头。

（2）在行、列表头位置分别写入所有可能结果（红、蓝）。

（3）表格内部每个单元格对应一个有序结果对（第一次结果，第二次结果）。

（4）数出目标事件（红、红）占据的单元格数，除以总单元格数。

学生立即发现：表格天然适合两步试验，尤其是两步结果集相同或有关联时。【高频考点】

1.放回与不放回的表头玄机

立即进入深度辨析：若将上题改为“不放回”，表格应如何调整？

小组讨论3分钟后，请两组代表上台修改表格。关键生成：

——表头内容不变，但必须删除对角线上的单元格，因为两次摸到同一球在物理上不可能。

——总结果数不再是2×2=4，而是2×1=2（或通过表格直接数出2个有效单元格）。

教师顺势提炼：表格的本质是“二维列联”，行表头与列表头定义的是该步骤的可能结果，而单元格是否存在取决于试验规则（放回/不放回/依次/同时）。【非常重要】【思维跃升】

（四）典例精讲：工具对比与优化决策

1.精讲例题设计（层次一：基础巩固）

题目：一个盒子中有三张卡片，分别写着数字1、2、3，从中随机抽取一张记下数字后放回，再随机抽取一张。求两次抽取的数字之和为偶数的概率。

教学行为：学生独立画树状图与表格，限时4分钟。教师巡视，收集典型错例。

错例1：树状图中第二层分支只画了两条（误以为不能抽到相同数字）；

错例2：表格中将(1,2)与(2,1)合并为一个单元格。

集中评讲时，教师将错例投屏，邀请学生当“小医生”诊断病因，最终归因于没有严格遵循试验步骤的有序性。【重要】

2.精讲例题设计（层次二：工具对比）

题目：同时掷两枚质地均匀的正四面体骰子（四个面分别标1-4），求掷出的点数之积为奇数的概率。

教学行为：全班左半区强制用树状图，右半区强制用表格，完成后交换检查。

课堂生成数据：树状图组用时平均1分50秒，正确率92%；表格组用时平均55秒，正确率96%。

学生自发得出工具选择原则：

——当试验步骤超过3步或某步结果数极多时，树状图暴增，表格无法容纳多维，应考虑其他方法（初中阶段暂不展开）；

——恰好两步试验时，表格通常比树状图更快捷，且不易漏写结果对。【非常重要】【策略形成】

3.精讲例题设计（层次三：思维陷阱）

题目：口袋中有3个红球、2个白球，除颜色外完全相同。先从袋中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从剩余球中随机摸出一个。求两次都摸到红球的概率。

此处是公认难点，错误率长期超过40%。教学实施分四阶突破：

（1）独立尝试，暴露常见错误：大量学生写出3/5×3/5=9/25，忽略不放回导致第二次概率变化。

（2）强制画图矫正：要求学生必须画出树状图或表格，在图中标出第二次各分支对应的剩余球数。

（3）对比辨析：将正确解法3/5×2/4=6/20=3/10与错误解法并置，追问“错在哪里”，让学生自己说出“第二次摸球时总球数不同，且红球数也不同”。

（4）口诀提炼：教师与学生共建“放回独立乘原率，不放回后步要调”的易记口诀。【难点】【高频易错】

（五）变式训练链：认知弹性淬火

1.变式一：规则干扰（放回与不放回嵌套）

题目：一个不透明盒子中装有四个完全相同的小球，分别标号1、2、3、4。第一次随机摸出一个球，记下号码后放回；第二次随机摸出一个球，记下号码后不放回；第三次摸出剩余三球中的一个。求三次摸到的号码依次为1、2、3的概率。

此变式故意将放回与不放回混合，学生必须分步调整分支结构。教学处理：小组合作绘制树状图，重点关注第二次与第三次的关联性。总路径数4×4×3=48，目标事件概率1/48。此环节重在检验学生是否真正理解“每步分支数的决定因素”。【非常重要】【高阶思维】

2.变式二：信息不完备（隐含条件挖掘）

题目：某路口交通信号灯，红灯30秒，绿灯25秒，黄灯5秒，循环交替。一个人随机到达路口，只观察一次信号灯的颜色，求他看到的不是红灯的概率。

学生易机械套用树状图，却发觉无法分支。教师引导重新审题：这是一个单步试验，结果集为{红、绿、黄}，但三种结果并非等可能！必须用时间占比计算概率。此变式旨在破除“概率题必用树状图/表格”的思维定势，强化等可能条件是工具使用的前提。【热点】【批判性思维】

3.变式三：表格法拓展至非等可能？

题目：某餐厅午饭套餐，主食米饭概率0.7、馒头概率0.3；荤菜鸡腿0.5、排骨0.3、鱼块0.2。假设主荤选择独立，求选中“米饭+鸡腿”的概率。

学生尝试表格，发现表头无法体现概率权重。教师引出“加权表格”概念，在每个单元格内标注概率乘积，但明确告知此部分属高中内容，初中阶段只需能用树状图标注概率值计算。【一般】【前瞻衔接】

（六）高频精炼：限时微测与即时反馈

1.题组一（2分钟，口答）

（1）抛两枚硬币，用表格法求一正一反概率。

（2）抛两枚硬币，用树状图法求至少一个正面概率。

【高频考点】【基础保分】

2.题组二（5分钟，纸笔）

（1）从2名男生、3名女生中随机选两人作为升旗手，求恰好一男一女的概率。（要求：树状图与表格任选其一）

（2）同时掷两个质地均匀的正方体骰子，求点数之和大于9的概率。

【热点】【能力达标】

3.题组三（3分钟，合作互批）

交换答案，依据教师展示的标准评分细则互评。评分细则包括：图形完整性（分支/行列全）、等可能性说明、概率约分结果。互评后每组推荐一份典型优秀作业投影展示。【重要】【评价嵌入】

（七）课堂结课与课后延伸

1.知识网络再建构

请学生独立在课堂最后3分钟，在预习思维导图框架基础上，用红笔补充本节课新增的具体操作细节、易错点、工具选择策略。教师随机抽取三份展示，形成全班共识的“本课黄金法则”。【非常重要】【元认知】

2.分层作业设计

（1）基础必做：教材P64练习第2、3题，规范画出树状图或表格。

（2）提升选做：设计一个可以用表格法求解、但同时用树状图会很繁琐的实际问题，并附解答。

（3）拓展探究（跨学科融合）：生物遗传学中，双眼皮由显性基因A控制，单眼皮由隐性基因a控制，父母基因型均为Aa。请用树状图画出子代基因型的所有可能，并计算孩子是双眼皮的概率。这是对概率模型在生物学中应用的直接迁移，呼应科学思维核心素养。【一般】【跨学科】

四、板书结构化设计

板书分为三大板块，全程以生成式呈现：

（一）左侧“工具区”：动态贴片式树状图规范示例（摸球放回），下方红粉笔标注关键句“分支数=该步可能结果数”。

（二）中间“工具区”：动态贴片式表格规范示例（摸球放回），行表头与列表头用不同颜色磁条，单元格内写出(红,红)等结果对，下方标注“总单元格数=行数×列数，有效单元格视放回与否”。

（三）右侧“策略区”：师生共建工具选择口诀——两步优先用表格，三步必用树状图；放回独立总积乘，不放回时步步调。此区域同时粘贴典型错例便利贴，以作警示。【非常重要】