小学六年级数学上册“数的整除”单元整体教学设计与导学案

小学六年级数学上册“数的整除”单元整体教学设计与导学案

  一、单元整体解读与设计理念

  （一）单元内容本质与知识结构分析

  “数的整除”是小学阶段“数与代数”领域承上启下的核心知识模块，其本质是对整数关系的一种精细化刻画与结构化认识。从知识发展的纵向脉络看，它建立在学生已熟练掌握整数四则运算、理解了乘除法意义的基础之上，是对乘除法算理中“因子”与“积”关系的逆向深化与系统化研究。同时，它又是后续学习分数、比例、正反比例关系等概念的基石，特别是分数的约分与通分、比的基本性质，其算理内核均依赖于对数的整除特性的深刻理解。从横向知识网络看，本单元概念密集且逻辑关联性强，构成了一个以“整除”为起点，“因数与倍数”为核心，“奇数与偶数”、“素数（质数）与合数”、“分解素（质）因数”、“公因数与最大公因数”、“公倍数与最小公倍数”为分支的严密概念体系。这些概念并非孤立存在，而是通过“整除”关系相互联结，形成一个层次分明、逻辑递进的知识网络。教学设计的核心任务在于帮助学生构建这一网络，理解概念间的从属与并列关系，实现从零散事实性知识向结构化概念体系的跨越。

  （二）学情分析与认知起点研判

  六年级学生处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。其认知特点是：具备较强的整数计算能力和初步的归纳、类比能力，能够基于具体实例发现规律；但对抽象概念的定义、辨析以及概念之间的逻辑关系理解尚存困难，容易混淆相近概念（如因数与倍数、质数与合数、奇数与偶数）。生活经验中，学生对“平分”、“分组”、“拼摆图形”等蕴含整除思想的情境已有感受，但未能将其抽象为数学概念。常见的学习障碍点包括：1.因数和倍数的相互依存关系理解不深，常将二者割裂；2.对“1”既不是素数也不是合数的规定性感到困惑；3.在寻找公因数、公倍数时思维无序，方法单一；4.对分解素因数的唯一性定理及其价值缺乏体会。因此，教学设计需充分激活学生已有的乘除法认知和经验，通过大量操作、观察、比较、分类等数学活动，搭建从具体到抽象的认知桥梁，并在概念辨析和综合应用中深化理解，克服思维定势。

  （三）核心素养培育目标定位

  基于本单元的数学本质与育人价值，设定以下多维度的核心素养培育目标：

  1.数学抽象与概念形成：经历从具体除法算式中抽象出“整除”关系的过程，理解整除的定义；能准确抽象概括出因数、倍数、素数、合数等概念的本质属性，形成清晰的数学概念。

  2.逻辑推理与思维严谨：在探究素数特征、分解素因数唯一性、求最大公因数和最小公倍数的过程中，发展合情推理和初步的演绎推理能力。学会用数学语言（如：因为a能被b整除，所以a是b的倍数，b是a的因数）有条理地表达思考过程，增强思维的逻辑性和严谨性。

  3.数学建模与问题解决：能将现实世界中涉及“均分”、“分组”、“周期”、“拼图”等问题（如：排队形、铺地砖、公交发车时间匹配）抽象为关于数的整除性问题，并运用公因数、公倍数等知识建立数学模型予以解决，体会数学的实用性。

  4.数学运算与算法优化：掌握寻找一个数的因数、倍数，以及求两数最大公因数、最小公倍数的基本方法（列举法、筛选法、短除法）。在对比不同方法的过程中，体会算法优化的重要性，提升运算策略选择能力。

  5.数据观念与规律探索：通过制作“百数表”并标记素数、合数，观察素数的分布，感受数据中蕴含的规律与无序，激发对数学奥秘的好奇心。通过探索“哥德巴赫猜想”等趣味命题，领略数学的探索性与开放性。

  （四）跨学科视野与真实情境融合

  为拓宽学生视野，体现数学的广泛联系，本设计将有机融入跨学科元素与真实世界情境：

  1.历史与人文视角：介绍《几何原本》中欧几里得对素数无限性的经典证明，讲述埃拉托斯特尼（Eratosthenes）筛法的历史故事，让学生感受数学悠久的历史文化与人类智慧。

  2.信息技术初步：引导学生体验或设计简单的算法（如流程图）来描述判断素数、寻找公因数的方法，为计算思维奠基。可简单探讨大素数在现代密码学（如RSA加密）中的核心作用，感知抽象数学理论的巨大现实威力。

  3.艺术与美学：探究利用最大公因数知识设计具有周期性的图案（如伊斯兰几何纹样、编织图案），或在音乐中寻找节拍与最小公倍数的联系（不同节奏型的对齐），体会数学的秩序之美。

  4.真实问题情境：贯穿单元始终，设计如“用指定大小的正方形地砖铺满长方形房间且不切割”、“为两个年级的学生分组使每组人数相同且无剩余”、“两路公交车同时发车后再次同时发车的时刻”等系列真实任务，驱动知识的学以致用。

  二、单元教学总体规划

  （一）单元学习目标

  1.理解整除的意义，能根据整除关系说出因数与倍数。

  2.掌握求一个数的因数和倍数的方法，知道一个数的因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的。

  3.认识奇数与偶数、素数（质数）与合数，能判断一个给定的数是奇数还是偶数，是素数还是合数（在100以内）。

  4.掌握分解素因数的方法（短除法），理解算术基本定理（分解素因数的唯一性）。

  5.理解公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数的意义，掌握求两个数的最大公因数和最小公倍数的常用方法，并能解决简单的实际问题。

  6.感受数学知识之间的内在联系，提高观察、比较、抽象、概括和推理的能力。

  （二）教学重点与难点

  教学重点：

  1.因数、倍数、素数、合数、公因数、公倍数等概念的理解与辨析。

  2.求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法。

  教学难点：

  1.理解因数与倍数的相互依存关系。

  2.素数、合数概念的本质把握，特别是“1”的特殊性。

  3.根据具体问题情境，灵活选择运用最大公因数或最小公倍数知识解决问题。

  （三）课时安排建议（总计约8-9课时）

  第1课时：整除的意义与因数、倍数

  第2课时：求一个数的因数与倍数，奇数与偶数

  第3课时：素数（质数）与合数

  第4课时：分解素因数

  第5课时：公因数与最大公因数（一）

  第6课时：公因数与最大公因数（二）——解决问题

  第7课时：公倍数与最小公倍数（一）

  第8课时：公倍数与最小公倍数（二）——解决问题

  第9课时：单元整理与拓展（探究活动课）

  （四）教学资源与环境准备

  1.教具与学具：百数表挂图/电子表格、方格纸、不同边长的正方形纸片（模拟地砖）、数字卡片、学习任务单。

  2.信息技术支持：互动课件（用于动态演示“筛法”、拼图过程）、编程工具（如Scratch）简单演示判断素数的流程、相关数学史微视频。

  3.学习环境：支持小组合作探究的教室布局，便于展示交流的白板或多媒体设备。

  三、分课时教学实施过程详案

  第1课时：整除的意义与因数、倍数

  （一）学习目标

  1.通过观察、比较除法算式，理解整除的意义，能判断一个除法算式是否属于整除。

  2.在明确整除关系的基础上，能正确表述“谁是谁的因数”、“谁是谁的倍数”，理解因数与倍数的相互依存关系。

  3.初步感受整数之间存在的特定关系，培养抽象概括能力。

  （二）教学过程

  环节一：情境引入，感知“正好分完”

  教师活动：呈现情境：“学校组织六年级同学植树，要将12棵树苗平均分给若干小组，要求全部分完，每组树苗一样多。可以怎么分？”引导学生列出所有可能的分配方案对应的除法算式：12÷1=12，12÷2=6，12÷3=4，12÷4=3，12÷6=2，12÷12=1。

  学生活动：思考并列出算式，关注算式中被除数、除数和商的特点（都是整数，没有余数）。

  设计意图：从学生熟悉的“平均分”情境出发，引出“没有剩余”的除法，为“整除”概念的建立提供丰富的感性材料。

  环节二：比较归纳，抽象“整除”概念

  教师活动：将上述算式与类似“13÷2=6……1”的算式进行对比。提问：观察这两类算式，在结果上有什么本质不同？引导学生关注“商是整数且没有余数”这一关键特征。然后给出更多算式（如：24÷8=3，15÷4=3.75，30÷6=5，7÷2=3.5），让学生进行分类。最后，引导学生用自己的语言描述“整除”的特征，并阅读教材进行规范定义：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

  学生活动：观察、比较、分类，尝试用自己的话概括特征，并与规范定义进行对照、修正。

  设计意图：通过对比、分类的数学活动，让学生主动发现整除算式的共性，经历从具体实例到抽象定义的数学化过程，深刻理解整除概念的数学内涵。

  环节三：关系表述，理解“因数”与“倍数”

  教师活动：聚焦整除算式“12÷3=4”。提问：在12能被3整除这个关系中，12、3、4分别有了新的“身份”。谁能根据它们的关系来介绍一下？引出：因为12能被3整除，所以12是3的倍数，3是12的因数。同时，12也能被4整除，所以12也是4的倍数，4也是12的因数。强调表述的完整性和相互性：“12是3的倍数”和“3是12的因数”是成对出现的，表达的是同一个整除关系。组织练习：根据“20÷4=5”，让学生互相说一说因数与倍数关系。

  学生活动：听讲、模仿、相互表述，理解因数和倍数是基于整除关系的一对相互依存的概念。

  设计意图：将抽象的整除关系具体化为“因数”和“倍数”这两个更具象的概念，并通过语言表述的练习，固化这种关系认知，突破“相互依存”的理解难点。

  环节四：辨析巩固，深化概念理解

  教师活动：

  1.判断练习：出示判断题，如“因为15÷5=3，所以15是倍数，5是因数。”（错误，需指明关系）“因为2.4÷0.6=4，所以2.4是0.6的倍数。”（错误，整除限定在整数范围内）

  2.关系构建：给出算式“36÷9=4”，引导学生构建一个包含多个关系的陈述网络：36是9的倍数，9是36的因数；36是4的倍数，4是36的因数；9和4都是36的因数，36是9和4的倍数。

  3.开放思考：提问“8是因数，12是倍数”这个说法成立吗？为什么？强调必须在具体的整除关系中谈论因数与倍数。

  学生活动：独立判断、陈述理由，参与关系构建的讨论，深化对概念确定性与相对性的理解。

  设计意图：通过辨析、反例和开放性问题，扫清概念理解中的常见误区，深化对因数、倍数概念本质及其存在前提（整除）的认识。

  环节五：课堂小结与延伸

  教师活动：引导学生回顾本课核心：什么是整除？如何根据整除关系表述因数与倍数？因数与倍数的关系有什么特点？布置课后探究任务：找一找你自己的学号数，看它能被哪些数整除？写出这些因数和倍数关系。

  学生活动：总结收获，记录探究任务。

  设计意图：梳理要点，强化认知结构；将探究延伸到课后，与个人学号关联，增加趣味性和个性化。

  （三）典型例题与变式练习设计（导学案片段）

  例题1：根据算式15÷5=3，我们可以说：（）能被（）整除，（）是（）的因数，（）是（）的倍数。

  变式1-1：判断：在算式26÷13=2中，13是因数，26是倍数。（）

  变式1-2：选择：下面各组数中，有整除关系的是（）。A.10和2.5B.18和6C.1.2和0.4D.7和21

  例题2：如果a÷b=c（a,b,c均为非零自然数），那么a是b和c的（），b和c是a的（）。

  变式2-1：已知m能整除n（m,n为非零自然数），那么n是m的（），m是n的（）。

  变式2-2：联系生活：老师把一包糖果平均分给小组里的几位同学，正好分完。这里糖果的总数、小组人数和每人分到的颗数之间，存在着什么数学关系？请用“因数”、“倍数”的语言来描述。

  第2课时：求一个数的因数与倍数，奇数与偶数

  （一）学习目标

  1.掌握有序地求一个数的因数和倍数的方法。

  2.通过观察一个数的因数、倍数的特点，发现因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。

  3.认识奇数和偶数，能判断一个非零自然数是奇数还是偶数。

  （二）教学过程

  环节一：探究如何“有序”地找一个数的因数

  教师活动：承接上节课的课后探究，请学生汇报如何找自己学号（如18）的因数。学生会呈现不同方法，可能无序。教师引导：怎样才能不重复、不遗漏地找出所有因数？启发学生从1开始试除，成对记录。例如：18÷1=18→1和18；18÷2=9→2和9；18÷3=6→3和6；18÷4不能整除……当试到除数开始重复或接近时停止。师生共同总结有序寻找因数的方法：从1开始，一对一对地找，写的时候按从小到大排列。

  学生活动：分享自己的方法，在教师引导下优化方法，用有序的方法重新寻找18的所有因数，并记录为：1,2,3,6,9,18。

  设计意图：让学生在尝试与交流中体会无序寻找的弊端，自主建构“有序”思考的策略，培养思维的条理性。

  环节二：观察归纳一个数因数的特点

  教师活动：让学生分别找出6、9、16、1等数的所有因数。引导学生观察、比较这些数的因数，小组讨论：一个数的因数有什么共同特点？教师汇总学生发现：一个数的因数的个数是有限的；最小的因数是1；最大的因数是它本身；1只有一个因数（它本身）。

  学生活动：动手操作，观察记录，交流讨论，归纳特点。

  设计意图：通过多个实例的探究，引导学生从具体数据中发现、归纳一般规律，发展合情推理能力和抽象概括能力。

  环节三：探究如何找一个数的倍数，归纳其特点

  教师活动：提问：怎么找出2的倍数？学生可能回答：用2去乘1、2、3……教师板书：2，4，6，8……提问：能找得完吗？为什么？引导学生理解：因为自然数有无数个，所以一个数的倍数也有无数个。如何表示？引出用省略号。练习找3、5的倍数。然后观察2、3、5的倍数列表，归纳倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的；最小的倍数是它本身；没有最大的倍数。

  学生活动：尝试寻找倍数，理解“无限”的含义，学习用集合或列举加省略号的方式表示一个数的倍数，并归纳特点。

  设计意图：通过与找因数的对比，理解找倍数方法的本质（乘法），并理解“无限”与“有限”的差异，完善认知结构。

  环节四：认识奇数与偶数

  教师活动：观察2的倍数：2,4,6,8,10……这些数有什么共同特征？（个位是0,2,4,6,8）引出偶数的定义：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）。不是2的倍数的数叫做奇数。让学生举例奇数和偶数。组织快速判断练习。可简单介绍奇数、偶数在运算中的性质（奇偶性分析），作为拓展。

  学生活动：观察特征，记忆定义，举例和判断。

  设计意图：将奇数偶数的认识自然融入2的倍数的学习中，建立知识联系。奇偶性分析为后续解决复杂问题提供了一种简洁的推理工具。

  环节五：综合应用与游戏

  教师活动：设计“猜数”游戏或解决问题。如：“我的最大因数和最小倍数都是16，我是谁？”“我是一个两位数，是5的倍数，各个数位上的数字和是奇数，我可能是多少？”

  学生活动：运用本课所学知识进行推理和解答。

  设计意图：在趣味性和挑战性的任务中，综合运用因数、倍数的特点以及奇偶数知识，提升思维灵活性和深刻性。

  （三）典型例题与变式练习设计（导学案片段）

  例题3：写出24的所有因数。

  变式3-1：一个数既是18的因数，又是24的因数，这个数可能是哪些？这些数有什么共同特点？（为公因数铺垫）

  变式3-2：一个长方形面积是24平方厘米，且长和宽都是整厘米数，这样的长方形有多少种？长和宽分别是多少？（建立因数与几何度量的联系）

  例题4：写出50以内7的所有倍数。

  变式4-1：在1-100的自然数中，13的倍数最大是几？最小是几？

  变式4-2：小明的座位号是两位数，是3的倍数，且十位数字比个位数字大2。他的座位号可能是多少？（综合应用）

  第3课时：素数（质数）与合数

  （一）学习目标

  1.理解素数（质数）和合数的意义，掌握判断一个数（100以内）是素数还是合数的方法。

  2.知道1既不是素数也不是合数。

  3.经历探究素数特征的过程，感受数学分类思想。

  （二）教学过程

  环节一：分类活动，引发认知冲突

  教师活动：出示一组数：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。要求：请根据这些数因数的个数，将它们分成三类。引导学生先找出每个数的所有因数，再按因数个数的不同分类。学生可能会得到：只有一个因数的：1；有两个因数的：2,3,5,7,11；有两个以上因数的：4,6,8,9,10,12。

  学生活动：动手操作，分类，汇报结果。

  设计意图：以分类任务驱动学生聚焦“因数个数”这一本质属性，为引出素数和合数概念做好铺垫。

  环节二：概念建构，理解本质

  教师活动：结合学生的分类结果，揭示概念：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做素数（或质数），如2,3,5,7,11。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数，如4,6,8,9,10,12。特别强调：1只有1个因数，所以1既不是素数，也不是合数。让学生复述定义并举出新的例子。

  学生活动：理解记忆定义，举例验证。

  设计意图：基于学生自己的分类结果生成概念，理解更深刻。突出1的特殊性，解决认知难点。

  环节三：探索“筛法”，制作百数表

  教师活动：介绍数学史：古希腊数学家埃拉托斯特尼如何找出一定范围内的素数。演示“筛法”：在一张1-100的百数表中，先划掉1（它不是素数）；圈出最小的素数2，然后划掉所有2的倍数（除了2本身）；接着圈出下一个没被划掉的数3，划掉所有3的倍数……依此类推，直到筛完。最后剩下的就是100以内的所有素数。组织学生小组合作，完成百数表的筛选。

  学生活动：倾听历史故事，小组合作动手“筛”出100以内的素数。观察素数分布，交流感受（看似无规律，但有“筛法”这样的规律可循）。

  设计意图：融入数学史，增强文化底蕴。“筛法”不仅是找素数的有效方法，更是一个经典的算法启蒙，培养学生的有序思维和耐心细致的学习品质。

  环节四：辨析与应用

  教师活动：

  1.判断练习：快速判断一些数是素数还是合数（如17,21,29,51,91）。对于51和91，引导学生发现它们分别是3和7的倍数，感受判断技巧。

  2.讨论：所有的偶数都是合数吗？（否，2是素数）所有的奇数都是素数吗？（否，如9,15）最小的素数是？最小的合数是？

  3.拓展思考：哥德巴赫猜想简介（任何一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和），如4=2+2，6=3+3，8=3+5。让学生尝试验证几个例子，感受数学猜想的美妙。

  学生活动：判断、讨论、尝试验证猜想，激发兴趣。

  设计意图：通过辨析巩固概念，破除常见误解。引入著名猜想，开阔视野，埋下探究的种子。

  （三）典型例题与变式练习设计（导学案片段）

  例题5：在1-10中，素数有（），合数有（），既不是素数也不是合数的是（）。

  变式5-1：两个素数的和是20，积是91，这两个素数分别是（）和（）。

  变式5-2：猜猜我是谁：我是一个两位数的素数，个位数字与十位数字都是素数，且这两个数字不同。我可能是（）。

  例题6：判断：一个自然数，如果不是素数，就一定是合数。（）

  变式6-1：选择：下列说法正确的是（）。A.所有的奇数都是素数B.所有的偶数都是合数C.在自然数中，除了素数就是合数D.两个素数的积一定是合数

  变式6-2：探究：试着用“筛法”找出150以内的所有素数。观察这些素数，它们的个位数字有什么特点？为什么？

  第4课时：分解素因数

  （一）学习目标

  1.理解素因数的意义。

  2.掌握分解素因数的方法（短除法），并能将一个合数分解素因数。

  3.体会分解素因数的唯一性（算术基本定理），感受数学的确定性之美。

  （二）教学过程

  环节一：理解“素因数”概念

  教师活动：提问：30是合数吗？它的因数有哪些？在这些因数中，哪些是素数？引出：30的因数中，2、3、5这几个因数是素数，我们就把2、3、5叫做30的素因数。强调：素因数必须同时满足两个条件：一是这个数的因数，二是它本身是素数。练习：找出18、45的素因数。

  学生活动：回顾因数、素数概念，理解“素因数”这一复合概念。

  设计意图：将新知“素因数”与学生已熟知的“因数”、“素数”概念联系起来，降低理解难度。

  环节二：探究如何“分解素因数”

  教师活动：提出任务：如何把60写成几个素因数相乘的形式？让学生尝试不同的拆分方法。学生可能出现：60=6×10=(2×3)×(2×5)=2×3×2×5。教师引导：无论从哪种乘式开始拆分，最终得到的结果都是2×2×3×5（不考虑顺序）。引出分解素因数的定义：把一个合数用几个素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。介绍“树枝分解法”和“短除法”，重点教学短除法的步骤、书写格式和注意事项（从最小的素因数开始除，直到商是素数为止）。

  学生活动：尝试不同拆分路径，体会结果的确定性。学习短除法的规范步骤，并用短除法分解60。

  设计意图：让学生通过尝试，初步感知分解结果的唯一性。短除法是工具性技能，需通过规范教学和练习掌握。

  环节三：体验“算术基本定理”

  教师活动：让学生用短除法分解不同的合数（如48、105）。然后提问：观察我们分解得到的结果，你有什么发现？引导学生得出：每个合数分解素因数的形式是唯一的（如果不考虑素因数的排列顺序）。教师介绍：这就是著名的“算术基本定理”。任何大于1的合数，都可以唯一地分解成若干个素因数的乘积。这种“唯一性”体现了数学的严谨和秩序。

  学生活动：动手分解，观察比较，感悟“唯一性”。

  设计意图：将操作活动提升到理性认识，体会数学定理的深刻内涵，欣赏数学的理性美。

  环节四：应用与拓展

  教师活动：

  1.基本练习：用短除法分解指定合数的素因数。

  2.逆向应用：已知a=2×3×5，b=2×2×3×7，不用计算，说出a和b的最大因数（除了本身）可能是哪些数的乘积？为后续求公因数做铺垫。

  3.生活联系：分解一个大数的素因数，与密码的复杂性产生联想（点到为止，激发兴趣）。

  学生活动：练习、思考、联想。

  设计意图：巩固技能，初步体会分解素因数在分析数的构成、寻找公因数方面的工具价值。

  （三）典型例题与变式练习设计（导学案片段）

  例题7：把42分解素因数。

  变式7-1：判断题：把24分解素因数可以写成：24=2×2×2×3，也可以写成24=3×2×2×2，所以分解素因数的结果不唯一。（）（辨析“形式唯一”的含义）

  变式7-2：一个两位数，分解素因数后是2×3×a，这个两位数最大是（）。

  例题8：已知A=2×3×m，B=2×5×m，如果A和B的最大公因数是14，那么m=（）。

  变式8-1：三个连续偶数的积是1920，求这三个数。（提示：先分解1920的素因数，再组合）

  变式8-2：利用分解素因数的方法，快速找出126和90的所有公因数。

  第5-6课时：公因数与最大公因数

  （一）学习目标

  1.理解公因数和最大公因数的意义。

  2.掌握求两个数的公因数和最大公因数的常用方法（列举法、筛选法、短除法、分解素因数法），并能根据数据特点灵活选择。

  3.能运用最大公因数的知识解决简单的实际问题（如“铺砖”、“裁纸”、“分组”问题）。

  （二）教学过程（第5课时侧重概念与方法，第6课时侧重问题解决）

  第5课时核心环节：

  1.概念生成：创设“为12名男生和18名女生分组，每组男、女生人数分别相等”的情境。引导学生分别找出12和18的因数，再找出它们公有的因数1,2,3,6。揭示公因数与最大公因数的概念。

  2.方法探究：

  *列举法：分别列出两个数的所有因数，再找公有、最大的。直观但数据大时繁琐。

  *筛选法：先列出较小数的所有因数，再从这些因数中筛选出能整除较大数的。

  *短除法（重点教学）：用两个数公有的素因数连续去除，除到商只有公因数1为止，所有除数的乘积就是最大公因数。与分解素因数法在本质上是相通的。

  3.特殊情况：探究互质数（公因数只有1的两个数）和倍数关系（较小数是这两个数的最大公因数）的特殊情况。

  第6课时核心环节：

  1.模型建立：呈现经典“铺地砖”问题：“储藏室长16分米，宽12分米。如果用边长是整分米数的正方形地砖铺满（使用整块砖），可以选择边长是几分米的地砖？最大是几分米？”引导学生分析：要使正方形地砖正好铺满，地砖边长必须能整除16，也能整除12，即必须是16和12的公因数。最大边长就是最大公因数。将生活问题抽象为求公因数和最大公因数的数学模型。

  2.变式应用：

  *裁纸问题：“把一张长30cm、宽12cm的长方形纸裁成同样大小的正方形，纸无剩余，正方形边长最大是多少？”（同铺砖模型）

  *分组问题：“三根铁丝分别长18米、24米、30米，要把它们截成同样长的小段，不能有剩余，每段最长几米？”（扩展到三个数的最大公因数）

  *分配问题：“有32个苹果和40个梨，平均分给若干小朋友，正好分完。最多可以分给几个小朋友？”（本质是求最大公因数）

  3.策略对比：引导学生对比不同问题的表述，识别其本质都是求“最大公因数”，培养模型识别和应用能力。

  （三）典型例题与变式练习设计（导学案片段）

  例题9：求24和36的最大公因数。

  变式9-1：求下列每组数的最大公因数，你发现了什么？(5,13)；(8,9)；(14,15)（互质数）

  变式9-2：求下列每组数的最大公因数，你发现了什么？(4,12)；(7,21)；(18,54)（倍数关系）

  例题10（解决问题）：把45块水果糖和30块巧克力平均分给一个组的同学，正好分完。这个组最多有几位同学？每人分到水果糖和巧克力各多少块？

  变式10-1（逆向思维）：一个数，用它去除18、27、36都正好整除，这个数最大是多少？

  变式10-2（综合）：学校操场一边种着若干棵树，小明从第一棵树走到第12棵树用了11分钟，照这样计算，他从第一棵树走到第20棵树要用多少分钟？（先求“间隔数”与公因数的联系）

  第7-8课时：公倍数与最小公倍数

  （一）学习目标

  1.理解公倍数和最小公倍数的意义。

  2.掌握求两个数的公倍数和最小公倍数的常用方法（列举法、筛选法、短除法），并能根据数据特点灵活选择。

  3.能运用最小公倍数的知识解决简单的实际问题（如“相遇”、“周期”问题）。

  （二）教学过程（第7课时侧重概念与方法，第8课时侧重问题解决）

  第7课时核心环节：

  1.概念生成：创设“一种长3厘米、宽2厘米的长方形纸片，拼成一个正方形，正方形的边长可以是多少厘米？最小是多少厘米？”引导学生列出2和3的倍数，找出公有的倍数6,12,18……最小的是6。揭示公倍数与最小公倍数的概念。

  2.方法探究：

  *列举法：分别列出两个数的部分倍数，再找公有的、最小的。

  *筛选法：先列出较大数的倍数，再从这些倍数中筛选出是较小数倍数的。

  *短除法（重点教学）：用两个数公有的素因数去除，还要用两个数独有的素因数去除，直到两商互质。所有除数和最后两商的乘积就是最小公倍数。与分解素因数法结合理解。

  3.特殊情况：探究互质数（最小公倍数是两数乘积）和倍数关系（较大数是这两个数的最小公倍数）的特殊情况。

  第8课时核心环节：

  1.模型建立：呈现经典“公交发车”问题：“1路公交车每6分钟发一班，2路公交车每8分钟发一班。早晨6:00它们同时发车，下一次同时发车是几点几分？”引导学生分析：从第一次同时发车到下一次同时发车，经过的时间必须是6的倍数，也是8的倍数，即6和8的公倍数。最早下一次是求最小公倍数。将周期对齐问题抽象为求最小公倍数的数学模型。

  2.变式应用：

  *相遇问题：“甲每4天去一次图书馆，乙每5天去一次。3月1日他们同时去了，下一次同时去是几月几日？”（同发车模型）

  *铺砖问题变式：“用长4分米、宽3分米的地砖铺一个正方形图案（用的都是整块），拼成的正方形边长最小是多少分米？”（与公倍数问题的区别：求边长，是求倍数；与公因数铺砖问题对比）

  *分组问题变式：“一盒糖果，平均分给4人或5人都多1颗，这盒糖果至少有多少颗？”（转化为求最小公倍数再加1）

  3.对比辨析：引导学生对比“最大公因数”和“最小公倍数”两类问题在情境中的关键区别：前者关注“分割”、“均分”、“最大”的限制；后者关注“重合”、“相遇”、“最小”的周期。

  （三）典型例题与变式练习设计（导学案片段）

  例题11：求9和12的最小公倍数。

  变式11-1：求下列每组数的最小公倍数，你发现了什么？(4,5)；(7,8)；（互质数）

  变式11-2：求下列每组数的最小公倍数，你发现了什么？(6,18)；(10,30)；（倍数关系）

  例题12（解决问题）：一筐苹果，3个3个地数，最后多1个；5个5个地数，最后也多1个。这筐苹果至少有多少个？

  变式12-1：一些小朋友排队，如果每排4人，则多2人；如果每排5人，则多3人。这些小朋友至少有多少人？（需转化为同余问题，初步接触）

  变式12-2：小羊、小鹿和小熊共同修建一个小水池。小羊每2天休息一次，小鹿每3天休息一次，小熊每4天休息一次。从某天开始它们同时休息，至少再过多少天它们又同时休息？从开始到第60天，它们有几天同时休息？（综合应用）

  第9课时：单元整理与拓展（探究活动课）

  （一）活动目标

  1.通过思维导图等形式，自主梳理单元知识网络，建立概念间的联系。

  2.在综合性、探究性活动中，深化对整除相关知识的理解，提升综合运用能力。

  3.感受数学的趣味性和挑战性，拓展数学视野。

  （二）活动流程

  1.知识网络构建：小组合作，绘制“数的整除”单元概念图或思维导图，要求体现概念间的从属、并列、衍生关系，并附上关键例子或方法。进行展示交流与互评。

  2.数学探秘之旅：

  *任务一：“完美数”寻踪：介绍“完美数”（一个数等于除了它本身以外的所有因数之和，如6=1+2+3），让学生寻找20以内的另一个完美数（28），感受数字的神秘。

  *任务二：“孪生素数”猜想：介绍“孪生素数”（相差2的素数对，如3