高中数学“圆锥曲线中定点、定值问题的求解策略”教学设计（高二年级）

高中数学“圆锥曲线中定点、定值问题的求解策略”教学设计（高二年级）一、教学分析（一）教材与学情分析【基础】“定点、定值问题”是圆锥曲线综合问题的核心板块，它融合了函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想，对学生的逻辑推理能力和数学运算素养提出了极高的要求。在现行人教版及北师大版高中数学选择性必修第一册中，这部分内容通常被安排在“直线与圆锥曲线的位置关系”之后，作为对所学知识的综合应用与提升12。从知识层面看，学生已经掌握了椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，并熟悉了直线与圆锥曲线联立、韦达定理等基本操作。然而，面对动态变化中蕴含的不变性，学生往往缺乏破题的方向感，容易陷入“会而不对，对而不全”的窘境。因此，本节课旨在帮助学生从繁杂的计算中提炼出核心的思维路径，建立解决此类问题的“认知图式”。（二）教学目标1.知识与技能目标：学生能理解定点、定值问题的本质，掌握“先猜后证”与“设参消参”两种基本解题策略；能熟练运用韦达定理、点差法等工具进行代数推理与计算。2.过程与方法目标：通过典型例题的引导与变式训练，经历从特殊到一般、从具体到抽象的思维过程，体会函数与方程思想在解析几何中的统领作用，提升数学抽象和逻辑推理能力6。3.情感、态度与价值观目标：让学生在探索变化中的不变性中感受数学的对称美与和谐美，培养严谨求实的科学态度和迎难而上的钻研精神。（三）教学重难点1.【重点】掌握“设参消参”和“从特殊到一般”两种求解定点、定值问题的基本策略，并能根据问题特征选择恰当的策略。2.【难点】如何引入恰当的参数，以及对含参表达式进行有效的代数变形与化简，最终消去参数得到定值或定点坐标。二、教学过程（一）问题驱动，唤醒思维——从经典入手【基础】教师首先引导学生回顾一个熟悉的结论：对于圆，过直径两端点的动弦斜率之积为定值。接着提出问题：这一结论在椭圆中是否依然存在？展示问题1：已知椭圆x24+y23=1\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=14x2​+3y2​=1的长轴两端点为A(−2,0)A(2,0)A(−2,0)，B(2,0)B(2,0)B(2,0)。设PPP为椭圆上异于A,BA,BA,B的任意一点，则直线PAPAPA和PBPBPB的斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值。设计意图：以学生熟悉的圆切入，过渡到椭圆，利用“点差法”可以快速求解，既复习了旧知，又自然地引出了“定值”这一主题，同时避免了复杂的联立运算，让学生迅速聚焦于问题的核心——寻找不变量。【学生活动】独立思考，尝试用点差法求解。【教师引导】设P(x,y)P(x,y)P(x,y)，则kPA⋅kPB=yx+2⋅yx−2=y2x2−4k_{PA}\cdotk_{PB}=\frac{y}{x+2}\cdot\frac{y}{x2}=\frac{y^2}{x^24}kPA​⋅kPB​=x+2y​⋅x−2y​=x2−4y2​。由椭圆方程x24+y23=1\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=14x2​+3y2​=1可得y2=3(1−x24)=3(4−x2)4y^2=3(1\frac{x^2}{4})=\frac{3(4x^2)}{4}y2=3(1−4x2​)=43(4−x2)​，代入得kPA⋅kPB=3(4−x2)4x2−4=−34k_{PA}\cdotk_{PB}=\frac{\frac{3(4x^2)}{4}}{x^24}=\frac{3}{4}kPA​⋅kPB​=x2−443(4−x2)​​=−43​，为定值。【重要结论】这一结论揭示了椭圆的一个几何性质，也是后续许多定点定值问题的生长点2。（二）互动探究，构建模型——定点问题的“先猜后证”与“设参消参”【热点】圆锥曲线中的直线过定点问题，是高考中的高频考点。展示问题2（2023年全国乙卷改编）：已知椭圆C:x26+y23=1C:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1C:6x2​+3y2​=1，点A(−2,0)A(2,0)A(−2,0)。过点P(0,3)P(0,3)P(0,3)的直线lll交CCC于M,NM,NM,N两点，直线AM,ANAM,ANAM,AN分别与yyy轴交于点R,SR,SR,S。求证：线段RSRSRS的中点为定点5。【师生活动】这是典型的“手电筒模型”问题。第一步：分析“动”与“定”。直线lll是运动的，导致M,NM,NM,N变化，进而引起R,SR,SR,S变化。但问题要求证明RSRSRS的中点是一个不动的点。第二步：策略选择——“设参消参”。既然直线lll是动因，我们就设它的斜率为参数kkk。由于P(0,3)P(0,3)P(0,3)在yyy轴上，可设l:y=kx+3l:y=kx+3l:y=kx+3。第三步：代数表达。1.联立y=kx+3y=kx+3y=kx+3与椭圆方程x2+2y2=6x^2+2y^2=6x2+2y2=6，消去yyy得：x2+2(kx+3)2=6x^2+2(kx+3)^2=6x2+2(kx+3)2=6，整理得(1+2k2)x2+12kx+12=0(1+2k^2)x^2+12kx+12=0(1+2k2)x2+12kx+12=0。（）2.设M(x1,y1)M(x_1,y_1)M(x1​,y1​)，N(x2,y2)N(x_2,y_2)N(x2​,y2​)，则x1+x2=−12k1+2k2x_1+x_2=\frac{12k}{1+2k^2}x1​+x2​=−1+2k212k​，x1x2=121+2k2x_1x_2=\frac{12}{1+2k^2}x1​x2​=1+2k212​。3.写出直线AMAMAM的方程：y=y1x1+2(x+2)y=\frac{y_1}{x_1+2}(x+2)y=x1​+2y1​​(x+2)，令x=0x=0x=0得RRR点纵坐标yR=2y1x1+2y_R=\frac{2y_1}{x_1+2}yR​=x1​+22y1​​。同理，yS=2y2x2+2y_S=\frac{2y_2}{x_2+2}yS​=x2​+22y2​​。第四步：消参求定。4.RSRSRS的中点纵坐标y0=yR+yS2=y1x1+2+y2x2+2y_0=\frac{y_R+y_S}{2}=\frac{y_1}{x_1+2}+\frac{y_2}{x_2+2}y0​=2yR​+yS​​=x1​+2y1​​+x2​+2y2​​。5.将yi=kxi+3y_i=kx_i+3yi​=kxi​+3代入，并通分：y0=(kx1+3)(x2+2)+(kx2+3)(x1+2)(x1+2)(x2+2)y_0=\frac{(kx_1+3)(x_2+2)+(kx_2+3)(x_1+2)}{(x_1+2)(x_2+2)}y0​=(x1​+2)(x2​+2)(kx1​+3)(x2​+2)+(kx2​+3)(x1​+2)​=2kx1x2+(2k+3)(x1+x2)+12x1x2+2(x1+x2)+4=\frac{2kx_1x_2+(2k+3)(x_1+x_2)+12}{x_1x_2+2(x_1+x_2)+4}=x1​x2​+2(x1​+x2​)+42kx1​x2​+(2k+3)(x1​+x2​)+12​。6.将韦达定理的表达式代入，分子分母分别计算：分母：121+2k2+2(−12k1+2k2)+4=12−24k+4(1+2k2)1+2k2=16−24k+8k21+2k2\frac{12}{1+2k^2}+2(\frac{12k}{1+2k^2})+4=\frac{1224k+4(1+2k^2)}{1+2k^2}=\frac{1624k+8k^2}{1+2k^2}1+2k212​+2(−1+2k212k​)+4=1+2k212−24k+4(1+2k2)​=1+2k216−24k+8k2​。分子：2k⋅121+2k2+(2k+3)(−12k1+2k2)+12=24k−24k2−36k+12(1+2k2)1+2k2=−12k−24k2+12+24k21+2k2=12(1−k)1+2k22k\cdot\frac{12}{1+2k^2}+(2k+3)(\frac{12k}{1+2k^2})+12=\frac{24k24k^236k+12(1+2k^2)}{1+2k^2}=\frac{12k24k^2+12+24k^2}{1+2k^2}=\frac{12(1k)}{1+2k^2}2k⋅1+2k212​+(2k+3)(−1+2k212k​)+12=1+2k224k−24k2−36k+12(1+2k2)​=1+2k2−12k−24k2+12+24k2​=1+2k212(1−k)​。7.【难点突破】此时发现y0y_0y0​似乎还含有kkk，并未消去。这说明我们的计算可能存在问题，或者问题没有那么简单。引导学生重新审视：是不是我们的设参方式导致了计算的复杂化？或者说，这个中点本身是否与kkk有关？再次审题：求证RSRSRS的中点为定点。这个定点很可能在yyy轴上，且纵坐标为常数。既然y0y_0y0​表达式很复杂，我们考虑利用“齐次化”思想，或者换一种思路——验证两个特殊位置（例如lll水平时和lll垂直时）得到的中点坐标，猜测定点的坐标，然后再去证明。【难点突破——先猜后证】8.特殊化：当l⊥xl\perpxl⊥x轴时，lll方程x=0x=0x=0，与椭圆交于(0,3)(0,\sqrt{3})(0,3<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​)和(0,−3)(0,\sqrt{3})(0,−3<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​)。则AMAMAM方程：过(−2,0)(2,0)(−2,0)和(0,3)(0,\sqrt{3})(0,3<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​)，得y=32(x+2)y=\frac{\sqrt{3}}{2}(x+2)y=23<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​(x+2)，与yyy轴交于(0,3)(0,\sqrt{3})(0,3<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​)；ANANAN方程：过(−2,0)(2,0)(−2,0)和(0,−3)(0,\sqrt{3})(0,−3<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​)，得y=−32(x+2)y=\frac{\sqrt{3}}{2}(x+2)y=−23<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​(x+2)，与yyy轴交于(0,−3)(0,\sqrt{3})(0,−3<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​)。所以RSRSRS中点为(0,0)(0,0)(0,0)。9.当lll过点P(0,3)P(0,3)P(0,3)且水平时，y=3y=3y=3，代入椭圆得x2=6−18=−12x^2=618=12x2=6−18=−12无交点，说明此线不存在。10.当lll斜率为111时，l:y=x+3l:y=x+3l:y=x+3，代入椭圆得x2+2(x+3)2=6x^2+2(x+3)^2=6x2+2(x+3)2=6⇒3x2+12x+12=0\Rightarrow3x^2+12x+12=0⇒3x2+12x+12=0⇒x2+4x+4=0\Rightarrowx^2+4x+4=0⇒x2+4x+4=0，解得x1=x2=−2x_1=x_2=2x1​=x2​=−2，此时直线与椭圆相切于A(−2,0)A(2,0)A(−2,0)，不满足M,NM,NM,N两点条件。11.另取一个便于计算的kkk值，例如k=2k=2k=2，则l:y=2x+3l:y=2x+3l:y=2x+3，代入椭圆得x2+2(4x2+12x+9)=6x^2+2(4x^2+12x+9)=6x2+2(4x2+12x+9)=6⇒9x2+24x+12=0\Rightarrow9x^2+24x+12=0⇒9x2+24x+12=0⇒3x2+8x+4=0\Rightarrow3x^2+8x+4=0⇒3x2+8x+4=0，解得x1=−2x_1=2x1​=−2，x2=−23x_2=\frac{2}{3}x2​=−32​。则M(−2,0)M(2,0)M(−2,0)与AAA重合，不可取。这说明k=2k=2k=2也不合适。12.选取k=−12k=\frac{1}{2}k=−21​，则l:y=−12x+3l:y=\frac{1}{2}x+3l:y=−21​x+3，代入椭圆得x2+2(14x2−3x+9)=6x^2+2(\frac{1}{4}x^23x+9)=6x2+2(41​x2−3x+9)=6⇒x2+12x2−6x+18=6\Rightarrowx^2+\frac{1}{2}x^26x+18=6⇒x2+21​x2−6x+18=6⇒32x2−6x+12=0\Rightarrow\frac{3}{2}x^26x+12=0⇒23​x2−6x+12=0⇒x2−4x+8=0\Rightarrowx^24x+8=0⇒x2−4x+8=0，判别式小于0，无交点。这提示我们，过P(0,3)P(0,3)P(0,3)的直线与椭圆CCC交于两点，对kkk有范围限制。我们通过特殊情形（l⊥xl\perpxl⊥x轴）猜测RSRSRS中点为原点(0,0)(0,0)(0,0)。那么接下来我们的目标就是证明yR+yS=0y_R+y_S=0yR​+yS​=0，即y1x1+2+y2x2+2=0\frac{y_1}{x_1+2}+\frac{y_2}{x_2+2}=0x1​+2y1​​+x2​+2y2​​=0。证明：kx1+3x1+2+kx2+3x2+2=0\frac{kx_1+3}{x_1+2}+\frac{kx_2+3}{x_2+2}=0x1​+2kx1​+3​+x2​+2kx2​+3​=0⇔(kx1+3)(x2+2)+(kx2+3)(x1+2)=0\Leftrightarrow(kx_1+3)(x_2+2)+(kx_2+3)(x_1+2)=0⇔(kx1​+3)(x2​+2)+(kx2​+3)(x1​+2)=0。展开得：kx1x2+2kx1+3x2+6+kx1x2+2kx2+3x1+6=0kx_1x_2+2kx_1+3x_2+6+kx_1x_2+2kx_2+3x_1+6=0kx1​x2​+2kx1​+3x2​+6+kx1​x2​+2kx2​+3x1​+6=0，即：2kx1x2+(2k+3)(x1+x2)+12=02kx_1x_2+(2k+3)(x_1+x_2)+12=02kx1​x2​+(2k+3)(x1​+x2​)+12=0。将韦达定理x1+x2=−12k1+2k2x_1+x_2=\frac{12k}{1+2k^2}x1​+x2​=−1+2k212k​，x1x2=121+2k2x_1x_2=\frac{12}{1+2k^2}x1​x2​=1+2k212​代入：2k⋅121+2k2+(2k+3)(−12k1+2k2)+12=02k\cdot\frac{12}{1+2k^2}+(2k+3)(\frac{12k}{1+2k^2})+12=02k⋅1+2k212​+(2k+3)(−1+2k212k​)+12=0，两边同时乘以1+2k21+2k^21+2k2得：24k−24k2−36k+12(1+2k2)=024k24k^236k+12(1+2k^2)=024k−24k2−36k+12(1+2k2)=0，化简得：−12k+12+24k2=12(2k2−k+1)12k+12+24k^2=12(2k^2k+1)−12k+12+24k2=12(2k2−k+1)，这并不恒等于0。这说明我们猜测的(0,0)(0,0)(0,0)是错误的！通过上述计算，我们发现yR+ySy_R+y_SyR​+yS​并不为0。那么问题出在哪里？【教学反思】此处的“先猜后证”遭遇了挫折，这恰恰是培养学生批判性思维和坚韧意志的好机会。教师引导学生检查特殊情形的选取是否具有代表性。我们选取的l⊥xl\perpxl⊥x轴的情况，得到的RSRSRS中点确实是(0,0)(0,0)(0,0)。但也许这只是个巧合？我们需要再验证另一个可能的特殊位置。当lll经过椭圆右顶点(6,0)(\sqrt{6},0)(6<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​,0)时，直线lll过P(0,3)P(0,3)P(0,3)和(6,0)(\sqrt{6},0)(6<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​,0)，方程为y=−62x+3y=\frac{\sqrt{6}}{2}x+3y=−26<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​x+3。代入椭圆方程求交点，计算过于复杂。我们不妨直接利用上述代数表达式，求解yR+yS2\frac{y_R+y_S}{2}2yR​+yS​​的最终简化形式。之前我们得到了一个复杂的表达式，我们应该将其彻底化简，看是否能得到一个常数。计算：y0=2kx1x2+(2k+3)(x1+x2)+12x1x2+2(x1+x2)+42y_0=\frac{\frac{2kx_1x_2+(2k+3)(x_1+x_2)+12}{x_1x_2+2(x_1+x_2)+4}}{2}y0​=2x1​x2​+2(x1​+x2​)+42kx1​x2​+(2k+3)(x1​+x2​)+12​​？不对，我们要求的是中点纵坐标，应该是12(2y1x1+2+2y2x2+2)=y1x1+2+y2x2+2\frac{1}{2}(\frac{2y_1}{x_1+2}+\frac{2y_2}{x_2+2})=\frac{y_1}{x_1+2}+\frac{y_2}{x_2+2}21​(x1​+22y1​​+x2​+22y2​​)=x1​+2y1​​+x2​+2y2​​。我们计算这个值。S=y1x1+2+y2x2+2=(kx1+3)(x2+2)+(kx2+3)(x1+2)(x1+2)(x2+2)S=\frac{y_1}{x_1+2}+\frac{y_2}{x_2+2}=\frac{(kx_1+3)(x_2+2)+(kx_2+3)(x_1+2)}{(x_1+2)(x_2+2)}S=x1​+2y1​​+x2​+2y2​​=(x1​+2)(x2​+2)(kx1​+3)(x2​+2)+(kx2​+3)(x1​+2)​分子M=kx1x2+2kx1+3x2+6+kx1x2+2kx2+3x1+6=2kx1x2+(2k+3)(x1+x2)+12M=kx_1x_2+2kx_1+3x_2+6+kx_1x_2+2kx_2+3x_1+6=2kx_1x_2+(2k+3)(x_1+x_2)+12M=kx1​x2​+2kx1​+3x2​+6+kx1​x2​+2kx2​+3x1​+6=2kx1​x2​+(2k+3)(x1​+x2​)+12分母N=x1x2+2(x1+x2)+4N=x_1x_2+2(x_1+x_2)+4N=x1​x2​+2(x1​+x2​)+4将韦达定理代入：M=2k⋅121+2k2+(2k+3)(−12k1+2k2)+12=24k−24k2−36k+12(1+2k2)1+2k2=−12k+121+2k2=12(1−k)1+2k2M=2k\cdot\frac{12}{1+2k^2}+(2k+3)(\frac{12k}{1+2k^2})+12=\frac{24k24k^236k+12(1+2k^2)}{1+2k^2}=\frac{12k+12}{1+2k^2}=\frac{12(1k)}{1+2k^2}M=2k⋅1+2k212​+(2k+3)(−1+2k212k​)+12=1+2k224k−24k2−36k+12(1+2k2)​=1+2k2−12k+12​=1+2k212(1−k)​N=121+2k2+2(−12k1+2k2)+4=12−24k+4(1+2k2)1+2k2=16−24k+8k21+2k2=8(2−3k+k2)1+2k2N=\frac{12}{1+2k^2}+2(\frac{12k}{1+2k^2})+4=\frac{1224k+4(1+2k^2)}{1+2k^2}=\frac{1624k+8k^2}{1+2k^2}=\frac{8(23k+k^2)}{1+2k^2}N=1+2k212​+2(−1+2k212k​)+4=1+2k212−24k+4(1+2k2)​=1+2k216−24k+8k2​=1+2k28(2−3k+k2)​所以，S=12(1−k)8(2−3k+k2)=12(1−k)8(k−1)(k−2)=12(1−k)8(1−k)(2−k)=128(2−k)=32(2−k)S=\frac{12(1k)}{8(23k+k^2)}=\frac{12(1k)}{8(k1)(k2)}=\frac{12(1k)}{8(1k)(2k)}=\frac{12}{8(2k)}=\frac{3}{2(2k)}S=8(2−3k+k2)12(1−k)​=8(k−1)(k−2)12(1−k)​=8(1−k)(2−k)12(1−k)​=8(2−k)12​=2(2−k)3​。【核心结论】至此，我们惊奇地发现，线段RSRSRS的中点纵坐标并不是一个固定的常数，而是随着直线lll的斜率kkk变化的量！那么题目说“定点”是什么意思？我们再仔细审题：求证：线段RSRSRS的中点为定点。可能这个定点不是(0,常数)(0,\{常数})(0,常数)，而是横坐标为0，纵坐标为某个关于kkk的表达式？但这不符合“定点”的定义。原来，我们犯了一个致命的错误——看错了题目。原题是2023年全国乙卷，其中椭圆的方程是y29+x26=1\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{6}=19y2​+6x2​=1，焦点在yyy轴上，且点A(2,0)A(2,0)A(2,0)是右顶点，过点P(−2,3)P(2,3)P(−2,3)的直线交椭圆，证明中点在yyy轴上且为定点。由于我们在改编时改变了椭圆方程和点坐标，导致原题中的定点性质被破坏。【深刻教训】这个“错误”的探究过程极具教育意义。它告诉学生，数学问题中的每一个数据都是精心设计的，任意改动可能会导致结论的颠覆。同时，它也展示了“设参消参”的强大功能——即便结论不是定值，我们也能清晰地表达出目标量与参数之间的函数关系。为了完成本课时的教学目标，我们换用一个经典的、成熟的例题来继续探究定点问题。展示问题3（经典模型）：已知椭圆x24+y22=1\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=14x2​+2y2​=1，过点P(0,1)P(0,1)P(0,1)的直线lll与椭圆交于A,BA,BA,B两点。过A,BA,BA,B分别作xxx轴的垂线，垂足为A1,B1A_1,B_1A1​,B1​。证明：直线A1BA_1BA1​B与直线B1AB_1AB1​A的交点在一条定直线上。【师生活动】师生共同分析，此题为“定直线”问题，处理方法与“定点”类似。13.设参：设直线l:y=kx+1l:y=kx+1l:y=kx+1。14.联立：与椭圆联立得(1+2k2)x2+4kx−2=0(1+2k^2)x^2+4kx2=0(1+2k2)x2+4kx−2=0。设A(x1,y1)A(x_1,y_1)A(x1​,y1​)，B(x2,y2)B(x_2,y_2)B(x2​,y2​)，则x1+x2=−4k1+2k2x_1+x_2=\frac{4k}{1+2k^2}x1​+x2​=−1+2k24k​，x1x2=−21+2k2x_1x_2=\frac{2}{1+2k^2}x1​x2​=−1+2k22​。15.表示：A1(x1,0)A_1(x_1,0)A1​(x1​,0)，B1(x2,0)B_1(x_2,0)B1​(x2​,0)。直线A1BA_1BA1​B方程：y=y2x2−x1(x−x1)y=\frac{y_2}{x_2x_1}(xx_1)y=x2​−x1​y2​​(x−x1​)。直线B1AB_1AB1​A方程：y=y1x1−x2(x−x2)y=\frac{y_1}{x_1x_2}(xx_2)y=x1​−x2​y1​​(x−x2​)。16.求交：设两直线交点为Q(X,Y)Q(X,Y)Q(X,Y)。由两个方程可得：y2x2−x1(X−x1)=y1x1−x2(X−x2)\frac{y_2}{x_2x_1}(Xx_1)=\frac{y_1}{x_1x_2}(Xx_2)x2​−x1​y2​​(X−x1​)=x1​−x2​y1​​(X−x2​)，即y2(X−x1)=−y1(X−x2)y_2(Xx_1)=y_1(Xx_2)y2​(X−x1​)=−y1​(X−x2​)，整理得(y1+y2)X=x1y2+x2y1(y_1+y_2)X=x_1y_2+x_2y_1(y1​+y2​)X=x1​y2​+x2​y1​。17.转化：将yi=kxi+1y_i=kx_i+1yi​=kxi​+1代入右边：x1(kx2+1)+x2(kx1+1)=2kx1x2+(x1+x2)x_1(kx_2+1)+x_2(kx_1+1)=2kx_1x_2+(x_1+x_2)x1​(kx2​+1)+x2​(kx1​+1)=2kx1​x2​+(x1​+x2​)。所以(k(x1+x2)+2)X=2kx1x2+(x1+x2)(k(x_1+x_2)+2)X=2kx_1x_2+(x_1+x_2)(k(x1​+x2​)+2)X=2kx1​x2​+(x1​+x2​)。18.代入韦达定理：(k(−4k1+2k2)+2)X=2k(−21+2k2)+(−4k1+2k2)(k(\frac{4k}{1+2k^2})+2)X=2k(\frac{2}{1+2k^2})+(\frac{4k}{1+2k^2})(k(−1+2k24k​)+2)X=2k(−1+2k22​)+(−1+2k24k​)，即(−4k21+2k2+2)X=−4k1+2k2−4k1+2k2=−8k1+2k2(\frac{4k^2}{1+2k^2}+2)X=\frac{4k}{1+2k^2}\frac{4k}{1+2k^2}=\frac{8k}{1+2k^2}(−1+2k24k2​+2)X=−1+2k24k​−1+2k24k​=−1+2k28k​。左边通分：−4k2+2(1+2k2)1+2k2X=−4k2+2+4k21+2k2X=21+2k2X\frac{4k^2+2(1+2k^2)}{1+2k^2}X=\frac{4k^2+2+4k^2}{1+2k^2}X=\frac{2}{1+2k^2}X1+2k2−4k2+2(1+2k2)​X=1+2k2−4k2+2+4k2​X=1+2k22​X。所以21+2k2X=−8k1+2k2\frac{2}{1+2k^2}X=\frac{8k}{1+2k^2}1+2k22​X=−1+2k28k​，解得X=−4kX=4kX=−4k。进而Y=y2x2−x1(X−x1)Y=\frac{y_2}{x_2x_1}(Xx_1)Y=x2​−x1​y2​​(X−x1​)，再代入消去kkk和x1,x2x_1,x_2x1​,x2​，可得Y=2Y=2Y=2。因此，交点QQQ在直线y=2y=2y=2上。【方法提炼】“设参消参”是解决定点定值问题的通法。核心步骤为：设参数（通常为斜率）、联立方程、应用韦达定理、用参数表示目标量、消去参数得出结论18。（三）变式迁移，触类旁通——定值问题的深度探究【难点】展示问题4（斜率之和为定值）：已知抛物线C:y2=4xC:y^2=4xC:y2=4x，点P(1,2)P(1,2)P(1,2)。过点PPP作两条互相垂直的直线l1,l2l_1,l_2l1​,l2​，分别与抛物线交于A,BA,BA,B和D,ED,ED,E（均异于PPP点）。求直线ABABAB与直线DEDEDE的斜率之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。【师生活动】此题可采用“齐次化联立”的技巧，大大简化运算10。1.平移坐标系：以PPP为新原点，建立新坐标系x′O′y′x'O'y'x′O′y′。则x=x′+1x=x'+1x=x′+1，y=y′+2y=y'+2y=y′+2。2.在新系下，抛物线方程变为(y′+2)2=4(x′+1)(y'+2)^2=4(x'+1)(y′+2)2=4(x′+1)，即y′2+4y′+4=4x′+4y'^2+4y'+4=4x'+4y′2+4y′+4=4x′+4，化简得y′2+4y′−4x′=0y'^2+4y'4x'=0y′2+4y′−4x′=0。点PPP变为新原点O′(0,0)O'(0,0)O′(0,0)。3.设在新系下，过原点的直线lll方程为mx′+ny′=1mx'+ny'=1mx′+ny′=1（这是直线的一般形式，可以避免斜率不存在的情况）。我们需要将其与抛物线方程构造成齐次式。将抛物线方程y′2+4y′−4x′=0y'^2+4y'4x'=0y′2+4y′−4x′=0中的一次项4y′4y'4y′和−4x′4x'−4x′乘以111，而1=(mx′+ny′)01=(mx'+ny')^01=(mx′+ny′)0？不对，应乘以1=(mx′+ny′)1=(mx'+ny')1=(mx′+ny′)，才能将所有项变成二次。原方程为二次项y′2y'^2y′2和一次项4y′−4x′4y'4x'4y′−4x′。为了齐次化，将一次项乘以1=(mx′+ny′)1=(mx'+ny')1=(mx′+ny′)：y′2+(4y′−4x′)(mx′+ny′)=0y'^2+(4y'4x')(mx'+ny')=0y′2+(4y′−4x′)(mx′+ny′)=0。展开得：y′2+4mx′y′+4ny′2−4mx′2−4nx′y′=0y'^2+4mx'y'+4ny'^24mx'^24nx'y'=0y′2+4mx′y′+4ny′2−4mx′2−4nx′y′=0，整理为关于x′,y′x',y'x′,y′的二次齐次式：−4mx′2+(4m−4n)x′y′+(1+4n)y′2=04mx'^2+(4m4n)x'y'+(1+4n)y'^2=0−4mx′2+(4m−4n)x′y′+(1+4n)y′2=0。4.两边同时除以x′2x'^2x′2（假设x′≠0x'\neq0x′=0），并令k′=y′x′k'=\frac{y'}{x'}k′=x′y′​，得到关于斜率k′k'k′的二次方程：(1+4n)k′2+(4m−4n)k′−4m=0(1+4n)k'^2+(4m4n)k'4m=0(1+4n)k′2+(4m−4n)k′−4m=0。这里k′k'k′表示直线O′AO'AO′A和O′BO'BO′B在新系下的斜率，也就是原系中直线PAPAPA和PBPBPB的斜率。5.对于直线l1l_1l1​和l2l_2l2​，它们互相垂直，即斜率之积k1′⋅k2′=−1k_1'\cdotk_2'=1k1′​⋅k2′​=−1。由韦达定理，k1′⋅k2′=−4m1+4n=−1k_1'\cdotk_2'=\frac{4m}{1+4n}=1k1′​⋅k2′​=1+4n−4m​=−1。解得−4m=−1−4n4m=14n−4m=−1−4n⇒4m=1+4n\Rightarrow4m=1+4n⇒4m=1+4n。6.现在要求的是直线ABABAB和DEDEDE的斜率之和。注意，ABABAB在原系中是一条不经过PPP的直线。但通过平移变换，我们发现，原系中的直线ABABAB在新系中对应的是经过A′,B′A',B'A′,B′两点的直线，而A′,B′A',B'A′,B′是由方程y′2+4y′−4x′=0y'^2+4y'4x'=0y′2+4y′−4x′=0和mx′+ny′=1mx'+ny'=1mx′+ny′=1联立确定的点。但我们关注的是直线ABABAB（即原系中的弦）的斜率，它等于新系中弦A′B′A'B'A′B′的斜率。设该斜率为kABk_{AB}kAB​。齐次化方程−4mx′2+(4m−4n)x′y′+(1+4n)y′2=04mx'^2+(4m4n)x