初三数学下册 讲义 第06讲 位似及其性质 教案讲义及练习（教师版）

第第6讲讲位似概述概述适用学科初中数学适用年级初三适用区域新人教版课时时长（分钟）120知识点1、位似图形2、画位似图形3、位似图形的坐标变化规律教学目标了解位似的概念，会画位似图形，掌握位似图形的性质和位似图形的坐标变化规律，了解平移、轴对称、旋转和位似之间的联系与区别经历探索位似图形的概念及画法的过程，培养学生的动手操作能力和发现、探索规律的能力体验学习数学的乐趣教学重点1、位似图形2、画位似图形教学难点位似图形的坐标变化规律【教学建议】《相似》是初中数学“空间与图形”的重要内容，在生活中有着广泛的应用.《位似图形》作为本章的最后一节，是在学生已经掌握了相似的相关知识，积累了一定的图形研究方法的基础上进行探究的.本节课可以通过对位似图形定义、性质的探究，培养学生观察、分析、类比、归纳等能力.【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入在日常生活中,我们经常见到这样一类相似的图形,例如,放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上（如图显示了它工作的原理）这样的放大缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图形，与原图形时相似的，因此，我们可以得到真实的图片和满意的照片。问题探究：经过放大或缩小的图形与原图形是相似的，那么如何利用相似的性质画出将一个图形放大或缩小的图形呢？二、复习预习二、复习预习性质：(1)相似三角形的对应角相等.(2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比.(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.判定：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似（AA）判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似（SAS）判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似（SSS）判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似.判定定理5：两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似.上节课我们学习了相似图形及相似三角形的概念及性质和判定，今天我们共同探讨位似图形特性？三、知识讲解三、知识讲解考点1考点1位似图形两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图像叫做位似图形，这个点叫做位似中心.例如：如图所示：都是位似图形，其中是以为位似中心的位似图形，四边形ABCD与四边形为位似中心的位似图形.知识拓展：（1）位似是一种具有特殊位置关系.的相似.两个图形是位似图形，必定是相似图形，而两个图形是相似图形，不一定是位似图形；（2）位似中心可以在两图形内部，两图形之间，两图形的同一侧，也可以在一个图形的一条边上或某一个点上.（3）利用位似，可以将一个图形放大或缩小.（4）平行于三角形一边的直线与其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形位似.考点2考点2作位似图形作位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心.画位似图形时，位似中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以在图形的边上.（2）找出图形的关键点（多边形通常取顶点），连接位似中心与关键点.（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺此链接所得的关键点，得到新的图形（4）写出作图的结论.知识拓展：（1）作位似图形时，要弄清相似比，即分清是已知图形与新图形的相似比，还是新图形与已知图形的相似比.（2）一般情况下，作已知图形的位似图形的结果不唯一.新课导读：利用位似，可以将一个图形放大或缩小.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点（x,y）对应的位似图形上的点坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）.将原图形中各个顶点的横坐标纵坐标都乘k,则变化后的图形与原图形关于原点成位似图形，并且相似比为>1时，变化后的图形比原图形大；当<1时，变化后的图形比原图形小.知识拓展：（1）以原点为位似中心的位似变换，其对应点的坐标关系可表示为（新图形与原图形的位似比为k）：P(x,y)(kx，ky)；P(x，y)（-kx，-ky）（2）当k>1时，图形扩大为原来的k倍；当0<k<1时，图形缩小为原来的k倍.（3）在直角坐标系中，把一个图形进行平移、轴对称、旋转和位似变换，对应点的坐标都有各自的变化规律：=1\*GB3①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离；=2\*GB3②轴对称变换，以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；=3\*GB3③在旋转变换中，一个图形绕着原点旋转，旋转前后两个图形上的对应点的横纵坐标都互为相反数；=4\*GB3④位似变换中，当原点为位似中心时，变换前后两个图形上的对应点的横(或纵)坐标之比等于相似比四、例题四、例题精析类型一位似图形例题1例题1下列说法中正确的是（）A.位似图形一定是相似图形B.相似图形一定是位似图形C.两个位似图形一定在位似中心的同侧D.位似图形中每对对应点所在的直线必互相平行【解析】解：A位似图形一定是相似图形，故A选项正确；B相似图形不一定是位似图形，故B选项错误；C两个位似图形可以在位似中心的同侧或异侧，故C选项错误；D位似图形中每对对应点所在的直线必交于一点，故D选项错误．故选A．【总结与反思】根据位似图形的定义即可进行判断.类型二作位似图形例题2例题2如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼．（1）在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点O旋转180°后得到的图案；（2）在同一方格纸中，并在轴的右侧，将原小金鱼图案原点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画出放大后小金鱼的图案．【解析】解：（1）如图所示：（2）如图所示：【总结与反思】（1）直接根据旋转作图的方法作图即可；（2）根据位似作图的方法作图，，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大的图形．类型三位似图形的坐标变化规律例题3例题3如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（2，1），C（0，1），以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的2倍，记所得矩形为OA1B1C1，B为对应点为B1，且B1在OB的延长线上，则B1的坐标为．【解析】解：∵B点坐标为（2，1），而B为对应点为B1，且B1在OB的延长线上，∴B1的坐标为（2×2，1×2），即B1（4，2）．故答案为（4，2）．【总结与反思】利用以原点为位似中心的位似图形的坐标之间的关系求解．本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．五、课堂运用五、课堂运用基础基础1.在下列图形中，不是位似图形的是（）A． B． C． D．2.如图，△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是（）A．1:6B．1:5C．1:4D．1:23.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是．4.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是个平方单位．答案与解析1.【答案】D．【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．故选：D．2.【答案】C.【解析】∵△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，∴AC∥DF，∴△OAC∽△ODF，∴AC：DF=OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积比是1：4．3.【答案】（4，2）或（﹣4，﹣2）．【解析】如图所示：△A1B1C1和△A′B′C′与△ABC的相似比为2，点B的对应点B1的坐标是：（4，2）或（﹣4，﹣2）．4.【答案】同解析．【解析】解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求；（2）如图所示，线段A2B1即为所求；（3）由图可得，四边形AA1B1A2为正方形，∴四边形AA1B1A2的面积是（）2=（）2=20．巩固巩固1.在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A．（5，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（1，5）2.如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是．3.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是．答案与解析1.【答案】C．【解析】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，又∵A（6，8），∴端点C的坐标为（3，4）．故选：C．2.【答案】12．【解析】解：∵△ABC与△A1B1C1为位似图形，∴△ABC∽△A1B1C1，∵位似比是1：2，∴相似比是1：2，∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：4，∵△ABC的面积为3，∴△A1B1C1的面积是：3×4=12．故答案为：12．3.【答案】（1）（2，﹣2））；（2）（1，0）．【解析】解：（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0），故答案为：（1）（2，﹣2）；（2）（1，0）拔高拔高1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为．2.如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比．3.如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．（1）以O点为位似中心在y轴左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；（2）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出B、C、M对应点B′，C′，M′坐标．答案与解析1.【答案】解：设直线AC的解析式为：y=kx+b，∵△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4），∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y=2x﹣8，同理可得：直线AB的解析式为：y=x﹣2，直线BC的解析式为：y=﹣x+10，∵△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），∴过这两点的直线为：y=2x+1，∴过这两点的直线与直线AC平行，①若A的对应点为A1（1，3），C的对应点为C1（2，5），则B1C1∥BC，B1A1∥BA，设直线B1C1的解析式为y=﹣x+a，直线B1A1的解析式为y=x+b，∴﹣2+a=5，+b=3，解得：a=7，b=，∴直线B1C1的解析式为y=﹣x+7，直线B1A1的解析式为y=x+，则直线B1C1与直线B1A1的交点为：（3，4）；②若C的对应点为A1（1，3），A的对应点为C1（2，5），则B1A1∥BC，B1C1∥BA，设直线B1C1的解析式为y=x+c，直线B1A1的解析式为y=﹣x+d，∴×2+c=5，﹣1+d=3，解得：c=4，d=4，∴直线B1C1的解析式为y=x+4，直线B1A1的解析式为y=﹣x+4，则直线B1C1与直线B1A1的交点为：（0，4）．∴△A1B1C1的第三个顶点的坐标为（3，4）或（0，4）．故答案为：（3，4）或（0，4）．【解析】首先由题意可求得直线AC、AB、BC的解析式与过点（1，3），（2，5）的直线的解析式，即可知过这两点的直线与直线AC平行，则可分别从①若A的对应点为A1（1，3），C的对应点为C1（2，5）与②若C的对应点为A1（1，3），A的对应点为C1（2，5）去分析求解，即可求得答案．2.【答案】．

【解析】解：∵点B的坐标是（4，0），点D的坐标是（6，0），∴OB=4，OD=6，∴==，∵△OAB与△OCD关于点O位似，∴△OAB与△OCD的相似比．3.【答案】同解析．【解析】解：（1）如图所示：△B′C′O即为所求；（2）如图所示：∵B、C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1），新图与原图的相似比为2，∴B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2），∵△OBC内部一点M的坐标为（x，y），∴对应点M′（﹣2x，﹣2y）．六、课堂小结六、课堂小结知识结构及要点小结解题方法及技巧小结位似图形是增加了条件的相似图形求两个位似图形的相似比，首先要确定好相似的顺序，然后确定相似比画一个图形的位似图形的方法不唯一，在具体的问题中，可以根据画图的需要选择适当的画图方法七、课后作业七、课后作业基础基础1.在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.已知在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）、B（﹣2，﹣4）、C（﹣6，﹣5），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，则点B的对应点的坐标为．3.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AB：DE=．4.如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是．答案与解析1.【答案】C．【解析】解：如图，根据位似图形的定义可知第1、2、4个图形是位似图形，而第3个图形对应点的连线不能交于一点，故位似图形有3个．故选：C．2.【答案】∵点B的坐标为（﹣2，﹣4），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，∴点B的对应点的坐标为（1，2）或（﹣1，﹣2），故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）．【解析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．3.【答案】2：3．【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∽△DEF，∴△ABC的面积：△DEF面积=（）2=，∴AB：DE=2：3，故答案为：2：3．4.【答案】解：∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm，∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2．故答案为：1：2．【解析】由五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，可得五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，又由OA=10cm，OA′=20cm，即可求得其相似比，根据相似多边形的周长的比等于其相似比，即可求得答案．巩固巩固1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A的坐标是（）A．（2，） B．（1，2） C．（4，8）或（﹣4，﹣8） D．（1，2）或（﹣1，﹣2）2.在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（2，﹣1）、（3，0），以原点O为位似中心，把线段AB放大，点B的对应点B′的坐标为（6，0），则点A的对应点A′的坐标为．3.如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn+1BnCn，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3，…，Cn在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0）．（1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn+1BnCn的位似中心坐标；（2）正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标．答案与解析1.【答案】D．【解析】解：以O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A′的坐标为（2×，4×）或[2×（﹣），4×（﹣）]，即（1，2）或（﹣1，﹣2），故选：D．2.【答案】（4，﹣2）．【解析】解：∵以原点O为位似中心，B（3，0）的对应点B′的坐标为（6，0），∴相似比为2，∵A（2，﹣1），∴点A′的对应点坐标为：（4，﹣2），故答案为：（4，﹣2）．3.【答案】（1）（0，0）；（2）A4（8，0），A5（16，0），B4（16，8），C4（8，8）．【解析】解：（1）如图所示：正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn+1BnCn的位似中心坐标为：（0，0）；（2）∵点C1，C2，C3，…，Cn在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0），∴OA1=A1C1=1，OA2=A2C2=2，则A3O=A3C3=4，∴可得：OA4=A4C4=8，则OA5=16，故A4（8，0），A5（16，0），B4（16，8），C4（8，8）．拔高拔高1．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是．2.已