九年级上册数学 讲义 第11讲 圆的认识及垂径定理讲义+练习（教师版）

第11讲第11讲讲圆的认识及垂径定理概述概述适用学科初中数学适用年级初三适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点1、弦、弧（优弧、劣弧、等弧）的定义2、圆的垂径定理教学目标1、掌握圆弧的概念以及优弧、劣弧、等弧、弦的定义．2、理解并掌握垂径定理的内容并能利用垂径定理解决数学问题．教学重点掌握垂径定理的内容并能利用垂径定理解决数学问题．教学难点利用垂径定理解决数学问题.【教学建议】圆是在学习了直线图形的有关性质的基础上来研究的一种特殊的曲线图形。它是常见的几何图形之一，在初中数学中占有重要地位，中考中分值占有一定比例，与其它知识的综合性较强。本节课的内容是对已学过的旋转及轴对称等知识的巩固，也为本章即将要探究的圆的性质、圆与其它图形的位置关系、数量关系等知识打下坚实基础。【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。导入的方法很多，仅举两种方法：情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。提供一个教学设计供讲师参考：1、观察引入观察上面的纪念章及纪念币图片很显然它们的轮廓都是圆形，本节课我们将进一步的研究这类图形.二、复习预习二、复习预习1、已知圆的半径为r，则圆的周长：2πr2、求圆的面积时题中给出的已知条件有几种情况？怎样求出圆面积？已知半径r求面积S=πr2已知直径d求面积S=π（）2已知周长c求面积S=π（）23、环形面积：

S=π（R2-r2）三、知识讲解三、知识讲解考点1考点1圆的认识（弦、弧）1、什么叫弦？直径与弦的关系？弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径.什么叫弧？什么叫优弧？什么叫劣弧？什么是等弧？弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，大于半圆的叫优弧，小于半圆的叫劣弧，能够完全重合的两条弧叫等弧.圆的对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？圆即是轴对称图形也是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.考点2考点2垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M求证：，eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BC))，eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD)).分析：要证，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可．证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在和中∴∴∴点A和点B关于CD对称∵⊙O关于直径CD对称∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))与eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BC))重合，eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))与eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))重合．∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BC))，eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理推论：1、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论扩展 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。2、垂径定理及其推论可概括为 四、例题四、例题精析类型一圆的认识（弦、弧）例题1例题1下列五个命题：

（1）平分弦的直径必垂直于弦

（2）圆是轴对称图形，对称轴是直径

（3）圆中两点之间的部分叫做弧

（4）长度相等的两条弧叫等弧

（5）直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径

其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】（1）平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，故原命题是假命题，

（2）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题是假命题，

（3）圆上两点之间的部分叫做弧，故原命题是假命题，

（4）能够完全重合的两条弧叫等弧，故原命题是假命题，

（5）直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，原命题是真命题，

其中真命题有1个．

故选；A．【总结与反思】本题考查圆的相关概念及垂径定理，理解概念及定理即可解决，要求学生掌握圆的相关概念及垂径定理内容。例题2例题2下列说法：

①半圆是弧；

②弧是半圆；

③圆中的弧分为优弧和劣弧．

其中正确的个数有（）A．0B．1C．2D．3【解析】解：①半圆是弧，正确；

②弧是半圆，错误；

③圆中的弧分为优弧和劣弧还有半圆，故错误．

所以正确的有一个，故选B．【总结与反思】考查对圆中弧的认识。类型二垂径定理例题1例题1如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=12，OP=6，则劣弧AB的长为． 【解析】解：连接OA、OB， ∵AB为小⊙O的切线， ∴OP⊥AB， ∴AP=BP=， ∵=， ∴∠AOP=60°， ∴∠AOB=120°，∠OAP=30°， ∴OA=2OP=12， ∴劣弧AB的长为：==8π． 【总结与反思】本题主要考查了切线的性质，垂径定理和弧长公式，利用三角函数求得∠AOP=60°是解答此题的关键．例题2例题2已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.

【解析】解：(1)如图，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.又∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm

=8+6=14(cm)

(2)如图所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时同理可证：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行线AB、CD间的距离是14cm或2cm.【总结与反思】解这类问题时，要依平行线与圆心间的位置关系及垂径定理的知识，分类讨论，千万别丢解.在解圆的有关问题时经常会出现多解的情况，要特别注意。四、课堂运用四、课堂运用基础基础1.下列说法中，错误的是（）

①弦是直径；

②半圆是弧；

③长度相等的两条弧是等弧；

④能够互相重合的弧是等弧；

⑤大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧．A．1个B．2个C．3个D．4个2.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是．3.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为（）A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸4.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求A到BC的距离．

答案与解析1.【答案】C．【解析】根据弦、直径、弧的概念进行判断．解：①过圆心的弦是直径．故①错误；

②半圆半圆就是一条弧．故②正确；

③长度相等的两条弧是等弧．故③正确；

④在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧．故④错误；

⑤大于半圆的弧是优弧，小于半圆的弧是劣弧．故⑤错误；

综上所述，错误的结论有3个．

2.【答案】解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OP的最大值为5，∵OM⊥AB与M，∴AM=BM，∵AB=8，∴AM=4，在Rt△AOM中，OM=，OM的长即为OP的最小值，∴3≤OP≤5．【解析】因为⊙O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM=3，即OP的最小值为3，所以3≤OP≤5．3.【答案】解：连接OA．设圆的半径是x尺，在直角△OAE中，OA=x，OE=x﹣1，∵OA2=OE2+AE2，则x2=（x﹣1）2+25，解得：x=13．则CD=2×13=26（cm）．故选：D．【解析】连接OA．设圆的半径是x尺，在直角△OAE中，OA=x，OE=x﹣1，在直角△OAE中利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径CD的长．4.【答案】解：作AD⊥BC，交BC于点D，则AC必过圆心O，Rt△ODB，OB=5cm，OD=3cm，勾股定理可得BD=4，由等腰三角形三线合一的性质，AD即为A到BC的距离，AD=AO+OD＝5+3＝8cm

【解析】由垂径定理的推理得，垂直弦且平分弦的弦必过圆心，是直径。巩固巩固1.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（）A．（0，0） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（0，﹣1）2.如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE．若AE=6，OA=5，则线段DC的长为．3.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（）A．10° B．15° C．20° D．25°答案与解析1.【答案】解：如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．∵点A的坐标为（﹣3，2），∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．故选：C．【解析】根据垂径定理可得：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．然后由点A的坐标为（﹣3，2），即可得到点O的坐标．2.【答案】4．【解析】解：OC交BE于F，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AD⊥l，∴BE∥CD，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴OC⊥BE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD=EF，在Rt△ABE中，BE===8，∵OF⊥BE，∴BF=EF=4，∴CD=4．故答案为4．3.【答案】解：设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18R2=302+（R-18）2R2=900+R2-36R+324解得R=34（m）连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16342=162+（34-x）2162+342-68x+x2=342x2-68x+256=0解得x1=4，x2=64（不合题意舍）∴DE=4∴不需采取紧急措施．【解析】要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R．4.【答案】解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠B=50°，∵CD=CB，∴∠BCD=180°﹣2×50°=80°，∴∠ACD=90°﹣80°=10°；故选：A．【解析】先求得∠B，再由等腰三角形的性质求出∠BCD，则∠ACD与∠BCD互余．拔高拔高1.如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条2.如图，AC是圆O的直径，AC=4，弧BA=120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（）A． B． C． D．3.如图是武汉某座天桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为（）A．13m B．15m C．20m D．26m答案与解析1.【答案】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，故选：B．【解析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．2.【答案】解：∵的度数为120°，∴∠C=60°，∵AC是直径，∴∠ABC=90°，∴∠A=30°，作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．∵BK∥AC，∴∠DBE=∠BAC=30°，在Rt△DBE中，DE=BD，∴OD+BD=OD+DE，根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，∵∠BAO=∠ABO=30°，∴∠OBM=60°，在Rt△OBM中，∵OB=2，∠OBM=60°，∴OM=OB•sin60°=，∴DB+OD的最小值为，故选：B．【解析】作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．在Rt△DBE中，DE=BD，则OD+BD=OD+DE，根据垂线段最短可知，点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM．3.【答案】解：如图，桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H．由垂径定理知，点F是AB的中点．由题意知，FH=10﹣2=8，则AE=EH，EF=EH﹣HF．由勾股定理知，AE2=AF2+EF2=AF2+（AE﹣HF）2，解得AE=13m．故选：A．【解析】如图，桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H．根据垂径定理和勾股定理求解．五、课堂小结五、课堂小结圆的认识及垂径定理是全章的基础之一，在整章中占有举足轻重的地位是今后研究圆与其他图形位置关系和数量关系的基础，这些知识在日常生活和生产中有广泛的应用，由于垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，因此，它是整节书的重点，由于垂径定理的题设和结论都较复杂，因此，理解和证明定理是本节课的难点，在教学中也是一节较难把握的课基础基础1.下列语句中正确的个数为（）

①等弧的度数相等；②等弧的弧长相等；③长度相等的弧是等弧；④度数相等的弧是等弧．A．1个B．2个C．3个D．4个2.如图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是（）A．4πr B．2πr C．πr D．2r3.如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB=10，CD=8，则BE为（）A．2 B．3 C．4 D．3.54.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，若△COD为直角三角形，则∠E的度数为°．5.某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．答案与解析1.【答案】解：等弧的度数、长度都相等，1、2都对；而度数相等或长度相等的弧不一定相等，3、4错误，

故选B．【解析】根据等弧的概念，在同圆或等圆中，度数相等或长度相等的弧叫等弧．2.【答案】解：圆心经过的距离就是圆的周长，所以是2πr．故选：B．【解析】一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离就是圆的周长．3.【答案】解：连接OC．∵AB是⊙O的直径，AB=10，∴OC=OB=AB=5；又∵AB⊥CD于E，CD=8，∴CE=CD=4（垂径定理）；在Rt△COE中，OE=3（勾股定理），∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2，即BE=2；故选：A．【解析】连接OC构建Rt△COE．利用圆的直径与半径的数量关系、垂径定理求得OC=5，CE=4；然后根据勾股定理求得OE=2；最后利用线段间的和差关系求得BE=OB﹣OE求得BE的长度即可．4.【答案】解：∵AB是⊙O的直径，∵AB=2DO，而AB=2DE，∴DO=DE，∴∠DOE=∠E，∵△COD为直角三角形，而OC=OD，∴△COD为等腰直角三角形，∴∠CDO=45°，∵∠CDO=∠DOE+∠E，∴∠E=∠CDO=22.5°．故答案为22.5°．【解析】由于AB是⊙O的直径，则AB=2DO，而AB=2DE，可得DO=DE，根据等腰三角形的性质得到∠DOE=∠E，又由于△COD为直角三角形，而OC=OD，所以△COD为等腰直角三角形，于是可得∠CDO=45°，利用三角形外角性质有∠CDO=∠DOE+∠E，则∠E=∠CDO=22.5°．5.【答案】解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，∵OC⊥AB∴BD=AB=×16=8cm由题意可知，CD=4cm∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x﹣4）2+82=x2解得：x=10．答：这个圆形截面的半径为10cm．【解析】先过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，得出BD=AB，再设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm，根据OD2+BD2=OB2，得出（x﹣4）2+82=x2，再求出x的值即可．巩固巩固1.如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为．（只考虑小于90°的角度）2.如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=50°，则∠MON的度数为（）A．40° B．50° C．80° D．100°3.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm4.如图，在同一平面内，有一组平行线、、，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线上，⊙O与直线的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径．答案与解析1.【答案】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，∠PAB=20°，因而∠PBA=90°﹣20°=70°，在小量角器中弧PB所对的圆心角是70°，因而P在小量角器上对应的度数为70°．故答案为：70°；【解析】设大量角器的左端点为A，小量角器的圆心为B．利用三角形的内角和定理求出∠PBA的度数．然后根据圆的知识可求出小量角器上对应的度数．2.【答案】解：∵OM=ON，∴∠M=∠N=50°，∴∠MON=180°﹣2×50°=80°．故选：C．【解析】根据半径相等得到OM=ON，则∠M=∠N=50°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．3.【答案】解：连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm，在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8，在Rt△EBC中，BC=，∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°，∵∠C=∠C，∴△OF