人教版八年级上册数学 讲义 第09讲 期中复习讲义+练习（学生版）

期中复习适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域人教版课时时长（分钟）120知识点三角形的概念；三角形三边的关系定理及推论；三角形中的主要线段；三角形内角和定理；三角形的外角性质；全等图形；全等三角形的表示和性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；轴对称：最短路径问题教学目标了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题；认识三角形的高、中线与角平分线；会画三角形的高、中线与角平分线；了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点；掌握三角形内角和定理；理解三角形的外角；掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题了解多边形及有关概念，理解正多边形的概念；区别凸多边形与凹多边形；了解多边形的内角、外角等概念；能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边；掌握全等三角形的判定；应用角的平分线性质定理；轴对称：最短路径问题教学重点三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系；三角形的高、中线与角平分线；三角形内角和定理；三角形的外角和三角形外角的性质多边形及有关概念、正多边形的概念；多边形的内角和与多边形的外角和公式；应用角的平分线性质定理．等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质轴对称：最短路径问题教学难点用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形；三角形的角平分线与角的平分线的区别；理解三角形的外角；区别凸多边形与凹多边形；多边形的内角和定理的推导；应用角的平分线性质定理．等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质轴对称：最短路径问题【知识导图】一、导入一、导入复习预习1、复习三角形的相关性质2、复习三角形全等的几种证明方法3、复习角平分线的相关性质及判定方法4、复习轴对称图形的性质5、复习等腰三角形，等边三角形的相关性质6、复习最短路径问题二、知识讲解二、知识讲解1、不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形2、组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点3、三角形ABC用符号表示为△ABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.4、三角形的分类三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D。注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。再画出这个三角形AB、AC边上的高，三角形的三条高相交于一点。如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC＝BC或2BD=2DC=BC.在图中画出△ABC的另两条边上的中线，三角的三条中线相交于一点。三角形的三条中线相交于一点，交点叫做三角形的重心。如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。三角形三个角的平分线相交于一点。如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论仍然成立。三角形三个内角的和等于180°用平行线的性质证明内角和180°已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°。证明：过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，又∠ACB+∠ACM+∠DCM=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°。即：三角形的内角和等于180°。∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形的外角共有六个。注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角。如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？∵CM∥AB，∴∠A=∠1，∠B=∠2，又∠ACD=∠1+∠2∴∠ACD=∠A+∠B三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（po1ygon）多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。如图7.3—2，螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形。多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。图7.3—3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的5个内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。图7.3－4中的∠l是五边形ABCDE的一个外角。连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagonal）。图7.3—5中，AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线。特别提醒：n边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n－2）个三角形，共有对角线条。例如：十边形有________条对角线。在这里n=10，就可套用对角线条数公式（条）。从四边形的一个顶点出发可以引一条对角线，它们将四边形分成两个三角形，因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°。从五边形一个顶点出发可以引两条对角线，它们将五边形分成三个三角形，五边形的内角和等于540°；从六边形一个顶点出发可以引三条对角线，它们将六边形分成四个三角形，六边形的内角和等于720°；从n边形一个顶点出发，可以引（n-3）对角线，它们将n边形分成（n-2）三角形，n边形的内角和等于（n一2）·180°。n边形的内角和等于（n一2）·180°．三角形全等的五种判定方法SAS、SSS、AAS、ASA、HL……角平分线上的点到角两边的距离相等。角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．[例]如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？已知：线段AB【如图（1）】．求作：线段AB的垂直平分线．作法：如图（2）(1)．分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；(2)．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．有两条边相等的三角形叫做等腰三角形相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边腰与底边的夹角叫做底角两腰的夹角叫做顶角等腰三角形是轴对称图形等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合（也称等腰三角形三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴等腰三角形的两个底角相等（1）性质：①等边三角形各边都相等；②等边三角形各角都相等，并且都等于60°。（2）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。②三个角都相等的三角形是等边三角形。③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形特殊直角三角形（1）含30°的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边一半，且三边长度比为1：：2；（2）等腰直角三角形各边长比为1：1：求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。如图所示，三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底长的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A．B．C．D．BM是△ABC中AC边上的中线，AB=5cm，BC=3cm，求△ABM与△BCM的周长之差如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线。求∠ADB得度数。如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=（1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O．

①已知∠A=40°，求∠BOC的度数，∠A与∠BOC有怎样的数量关系？

②若∠A=n°，则∠A与∠BOC有怎样的数量关系？

（2）如图2，在△A′B′C′中，∠A′B′C′的平分线与∠A′C′B′的外角平分线相交于O′，请你探索∠A′与∠O′有怎样的数量关系？

若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为（）A．14或15或16B．15或16C．14或16D．15或16或17如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4=．如图，小华不小心把一块三角形玻璃打碎为三块，他能否只带其中一块碎片到商店，就能配出一块和原来一样的三角形玻璃？如果能，带哪一块去？为什么？如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证AD=BC已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E求证：PD=PE．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是______如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的有（）AF平分BCB．AF平分∠BACC．AF⊥BCD．以上结论都正确如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=————如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△DEB的周长为10cm，求斜边AB的长如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）A．ED=CDB．∠DAC=∠BC．∠C＞2∠BD．∠B+∠ADE=90°如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，且BC=BD=DE=EA，则∠A的度数为已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（）A．与AB距离相等的点在MN上B．与点A和点B距离相等的点在MN上C．与MN距离相等的点在AB上D．AB垂直平分MN下列说法中：①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（）A．63B．43C．6D．4例题24例题24等边三角形ABC的边长是6cm，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，则DE的长是cm．例题24例题24如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2011次，依次得到点P1、P2、P3、…、P2011，则点P2011的坐标是．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3 B．2 C． D．1如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）A．2 B． C． D．3如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论：①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO，正确的是．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.1、本次课主要针对期中考试前学习的内容进行综合复习：复习三角形的相关性质复习三角形全等的几种证明方法复习角平分线的相关性质及判定方法复习轴对称图形的性质复习等腰三角形，等边三角形的相关性质复习最短路径问题1．如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线AD和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G,DH⊥AC的延长线于点H,求证：BG=CH.2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A.B.2C.3D.3、如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上.求证：BD=CE.1.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE＝CF；（2）在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②DE＝DN2.（1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O．

①已知∠A=40°，求∠BOC的度数，∠A与∠BOC有怎样的数量关系？

②若∠A=n°，则∠A与∠BOC有怎样的数量关系？

（2）如图2，在△A′B′C′中，∠A′B′C′的平分线与∠A′C′B′的外角平分线相交于O′，请你探索∠A′与∠O′有怎样的数量关系？

3.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 1.(1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明:DE=BD+CE．(2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立，请你给出证明;若不成立，请说明理由．(