2026年四川省人教版高中数学第6章函数图像与性质测试题

2026年四川省人教版高中数学第6章函数图像与性质测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为（）A.1B.3C.2D.0解析：函数f(x)由两个绝对值函数相加构成，其图像由三条直线段组成，分别在x=-2，x=1处折点。通过分段讨论可得，当x∈[-2,1]时，f(x)取最小值3。选项B正确。2.函数y=2sin(3x+π/4)的图像向右平移φ个单位后，得到函数y=2sin3x的图像，则φ的值为（）A.π/12B.π/4C.π/3D.π/2解析：根据函数平移性质，y=2sin(3x+π/4)→y=2sin[3(x-φ)+π/4]，需满足3(x-φ)+π/4=3x，解得φ=π/12。选项A正确。3.若函数f(x)=x^2+2ax+1在x=1处的切线斜率为-4，则a的值为（）A.-3B.-1C.3D.1解析：f'(x)=2x+2a，f'(1)=2+2a=-4，解得a=-3。选项A正确。4.函数y=1/(x-1)的图像关于点(2,0)对称的函数为（）A.y=-1/(x+1)B.y=1/(x-3)C.y=-1/(x-3)D.y=1/(x+1)解析：函数y=1/(x-1)关于(2,0)对称，相当于将x→4-x，y→-y，得到y=-1/(4-x-1)=-1/(x-3)。选项C正确。5.函数f(x)=x^3-3x+1的极值点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(-1)>0为极小值点，f''(1)<0为极大值点，共2个极值点。选项C正确。6.函数y=ln(x^2-4x+3)的定义域为（）A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.[1,3]C.(-1,3)D.(-∞,1]∪[3,+∞)解析：x^2-4x+3>0，解得x∈(-∞,1)∪(3,+∞)。选项A正确。7.函数y=2cos^2x-sin2x的值域为（）A.[-1,3]B.[-3,1]C.[-2,2]D.[-1,2]解析：y=1+cos2x-sin2x=1-√2sin(2x-π/4)，∵-√2≤sin(2x-π/4)≤√2，∴-1≤y≤2。选项D正确。8.函数f(x)=e^x-1/x在x→0时的极限为（）A.0B.1C.-1D.不存在解析：lim(x→0)(e^x-1/x)=lim(x→0)(e^x/x)=1。选项B正确。9.函数y=2^x与y=x^2的图像交点的个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：令2^x=x^2，画出两个函数图像可知，在(0,1)和(2,+∞)存在两个交点。选项C正确。10.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于y轴对称，且周期为π，则φ的可能取值为（）A.π/2B.π/4C.3π/4D.0解析：f(x)关于y轴对称需满足ωx+φ=kπ+π/2，周期为π即ω=2，∴φ=kπ+π/2。当k=0时，φ=π/2。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数y=|x-1|+|x+2|的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为______。参考答案：5解析：图像由三条直线段组成，顶点为(-2,0)，(1,0)，(1,3)，构成三角形与梯形组合，面积=1/2×3×3+1/2×(3+0)×2=5。2.函数f(x)=cos(2x-π/3)在[0,π]上的最大值为______。参考答案：1解析：∵2x-π/3∈[-π/3,5π/3]，∴cos(2x-π/3)的最大值为1。3.若函数f(x)=x^3+px+q的图像在x=1处的切线与直线y=3x-2平行，则p+q=______。参考答案：-1解析：f'(x)=3x^2+p，f'(1)=3+p=3，∴p=0，f(1)=1+p+q=-2，∴q=-3，p+q=-3。4.函数y=1/(x^2-2x+3)的值域为______。参考答案：(0,1/2]解析：x^2-2x+3=(x-1)^2+2≥2，∴0<1/(x^2-2x+3)≤1/2。5.函数f(x)=sinx-cosx在[0,2π]上的零点个数为______。参考答案：3解析：f(x)=√2sin(x-π/4)，∵x-π/4∈[-π/4,7π/4]，∴零点为π/4，5π/4，7π/4。6.若函数f(x)=x^2+2ax+1在x=1处的切线与直线y=4x-3平行，则a=______。参考答案：1解析：f'(x)=2x+2a，f'(1)=2+2a=4，∴a=1。7.函数y=2^x+1的反函数为______。参考答案：log2(x-1)(x>1)解析：令y=2^x+1，x=log2(y-1)，反函数为y=log2(x-1)。8.函数f(x)=tan(2x-π/4)的周期为______。参考答案：π/2解析：周期T=π/|ω|=π/2。9.函数y=1-sin^2x的图像可由函数y=cos2x的图像______个单位向左平移得到。参考答案：π/4解析：y=1-sin^2x=cos2x，需平移π/4得到。10.若函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值为______。参考答案：8解析：f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=8，最大值为8。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数y=|sinx|是周期函数，其最小正周期为π。参考答案：正确解析：|sinx|的周期为π。2.函数f(x)=1/x在x→0时极限存在。参考答案：错误解析：lim(x→0)+1/x=+∞，lim(x→0)-1/x=-∞，极限不存在。3.函数y=2cos(3x+π/6)的图像向右平移π/6个单位后，得到函数y=2cos3x的图像。参考答案：正确解析：y=2cos[3(x-π/6)+π/6]=2cos3x。4.函数f(x)=x^3-3x+1在x=0处取得极值。参考答案：错误解析：f'(0)=0，但f''(0)=0，需进一步判断。5.函数y=ln(x+1)在x=-1处连续。参考答案：错误解析：定义域为x>-1，不包含x=-1。6.函数f(x)=sinx在x=π/2处取得极大值。参考答案：正确解析：f(π/2)=1为极大值。7.函数y=1/(x-1)的图像关于原点对称。参考答案：错误解析：关于(1,0)对称。8.函数f(x)=e^x在x→-∞时极限为0。参考答案：错误解析：lim(x→-∞)e^x=0，但需注意x→-∞时e^x→0。9.函数y=2^x与y=3^x的图像没有交点。参考答案：正确解析：指数函数底数不同无交点。10.函数f(x)=cos(2x+π/3)的图像关于原点对称。参考答案：错误解析：f(-x)=-f(x)，关于原点对称。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值2，最小值-2解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0,2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，最大值为2，最小值为-2。2.求函数y=2sinx+cos2x的最小正周期。参考答案：2π解析：周期T=2π/|ω|=2π。3.求函数f(x)=x^2-4x+5的最小值。参考答案：1解析：f(x)=(x-2)^2+1，最小值为1。4.求函数y=ln(x^2-1)的定义域。参考答案：(-∞,-1)∪(1,+∞)解析：x^2-1>0，x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)。5.求函数f(x)=e^x-1/x在x→0时的极限。参考答案：1解析：lim(x→0)(e^x-1/x)=1。6.求函数y=2cos^2x-sin2x的最大值。参考答案：3解析：y=1+cos2x-sin2x=1-√2sin(2x-π/4)，最大值为1+√2。7.求函数f(x)=tan(2x-π/4)的图像的对称中心。参考答案：(π/8+kπ,0)(k∈Z)解析：令2x-π/4=kπ+π/2，x=π/8+kπ/2，对称中心为(π/8+kπ,0)。8.求函数y=1/(x^2-2x+3)的值域。参考答案：(0,1/2]解析：x^2-2x+3=(x-1)^2+2≥2，∴0<1/(x^2-2x+3)≤1/2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求其极值点。参考答案：极大值点x=0，极小值点x=2解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0,2，f''(0)=-6<0为极大值点，f''(2)=6>0为极小值点。2.已知函数y=2sin(3x+π/4)，求其最小正周期。参考答案：2π/3解析：周期T=2π/|ω|=2π/3。3.已知函数f(x)=x^2+2ax+1在x=1处的切线斜率为-4，求a的值。参考答案：a=-3解析：f'(x)=2x+2a，f'(1)=2+2a=-4，∴a=-3。4.已知函数y=1/(x-1)的图像关于点(2,0)对称，求对称后的函数解析式。参考答案：y=-1/(x-3)解析：x→4-x，y→-y，得到y=-1/(4-x-1)=-1/(x-3)。5.已知函数f(x)=x^3-3x+1，求其在区间[-2,2]上的最大值和最小值。参考答案：最大值8，最小值-2解析：f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=8，最大值为8，最小值为-2。6.已知函数y=2cos^2x-sin2x，求其值域。参考答案：[-1,3]解析：y=1+cos2x-sin2x=1-√2sin(2x-π/4)，∵-√2≤sin(2x-π/4)≤√2，∴-1≤y≤3。7.已知函数f(x)=e^x-1/x在x→0时的极限，求该极限值。参考答案：1解析：lim(x→0)(e^x-1/x)=1。8.已知函数y=2^x与y=x^2的图像有两个交点，求交点横坐标的取值范围。参考答案：(0,1)和(2,+∞)解析：令2^x=x^2，画出两个函数图像可知，在(0,1)和(2,+∞)存在两个交点。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某城市空气质量指数AQI与工业排放量x（单位：万吨）满足函数关系f(x)=100/x+2x，求x为何值时，AQI最小。参考答案：x=5时，AQI最小值为20解析：f'(x)=-100/x^2+2，令f'(x)=0得x=5，f''(5)>0，∴x=5时AQI最小，f(5)=20。2.某商品的需求量y（单位：件）与价格x（单位：元）满足函数关系y=100-2x，求该商品的收益函数R(x)及其最大值。参考答案：R(x)=100x-2x^2，最大值R(25)=1250解析：R(x)=xy=100x-2x^2，R'(x)=100-4x，令R'(x)=0得x=25，R''(25)<0，∴x=25时收益最大，R(25)=1250。3.某物体做简谐运动的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）满足函数关系s=5cos(πt+π/4)，求其周期和振幅。参考答案：周期T=2s，振幅A=5cm解析：周期T=2π/|ω|=2s，振幅A=5cm。4.某工厂生产某种产品的成本C（单位：元）与产量x（单位：件）满足函数关系C=100+2x+x^2，求平均成本最低时的产量。参考答案：x=1时平均成本最低解析：平均成本y=C/x=100/x+2+x，y'=2-100/x^2，令y'=0得x=10，但需注意x>0，∴x=1时平均成本最低。5.某城市人口增长模型为P(t)=1000(1+0.01)^t，求该城市人口增长的速度函数。参考答案：v(t)=10(1+0.01)^t解析：v(t)=P'(t)=10(1+0.01)^t。6.某投资项目的收益函数R(t)=50e^0.05t，求该投资项目的瞬时增长率。参考答案：r(t)=0.05e^0.05t解析：r(t)=R'(t)=0.05e^0.05t。7.某水库的水位变化模型为h(t)=10+2sin(πt/12)，求水位上升的速度最大时的时间。参考答案：t=6时水位上升速度最大解析：v(t)=h'(t)=π/6cos(πt/12)，令v'(t)=0得t=6，v''(6)<0，∴t=6时水位上升速度最大。8.某公司产品的销售量与广告投入x（单位：万元）满足函数关系y=1000-20x+x^2，求广告投入多少万元时，利润最大。参考答案：x=10万元时利润最大解析：利润L=xy=1000x-20x^2+x^3，L'=1000-40x+3x^2，令L'=0得x=10，L''(10)>0，∴x=10时利润最大。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述函数单调性的判定方法及其应用。解析：（1）判定方法：若f'(x)≥0，则f(x)单调递增；若f'(x)≤0，则f(x)单调递减。（2）应用：求函数单调区间、证明不等式、求极值等。评分标准：答对判定方法得1分，答对应用得1分。2.论述函数奇偶性的判定方法及其几何意义。解析：（1）判定方法：f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数。（2）几何意义：偶函数图像关于y轴对称；奇函数图像关于原点对称。评分标准：答对判定方法得1分，答对几何意义得1分。3.论述函数周期性的判定方法及其应用。解析：（1）判定方法：存在T>0，使f(x+T)=f(x)。（2）应用：简化函数图像绘制、求函数值等。评分标准：答对判定方法得1分，答对应用得1分。4.论述函数极值的判定方法及其几何意义。解析：（1）判定方法：f'(x)=0且f''(x)符号相反。（2）几何意义：极大值点切线向下倾斜；极小值点切线向上倾斜。评分标准：答对判定方法得1分，答对几何意义得1分。5.论述函数图像平移变换的规律。解析：（1）y=f(x)→y=f(x+a)，向左平移a个单位。（2）y=f(x)→y=f(x-a)，向右平移a个单位。评分标准：答对平移规律得2分。6.论述函数图像伸缩变换的规律。解析：（1）y=f(x)→y=f(kx)，横向伸缩k倍（k>1缩短，0<k<1伸长）。（2）y=f(x)→y=kf(x)，纵向伸缩k倍（k>1伸长，0<k<1缩短）。评分标准：答对伸缩规律得2分。7.论述函数极限的几何意义。解析：当x→a时，f(x)→A，表示函数图像无限接近直线y=A。评分标准：答对几何意义得2分。8.论述函数连续性的判定方法及其应用。解析：（1）判定方法：f(x)在x=a处左极限=右极限=f(a)。（2）应用：判断函数间断点、求极限等。评分标准：答对判定方法得1分，答对应用得1分。9.论述函数求导的基本公式及其运算法则。解析：（1）基本公式：C'=0，(x^n)'=nx^(n-1)，(sinx)'=cosx等。（2）运算法则：和差法则、乘积法则、商法则。评分标准：答对基本公式得1分，答对运算法则得1分。10.论述函数积分的基本公式及其几何意义。解析：（1）基本公式：∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C。（2）几何意义：定积分表示曲边梯形面积。评分标准：答对基本公式得1分，答对几何意义得1分。11.论述函数图像对称性的判定方法及其应用。解析：（1）判定方法：f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)。（2）应用：简化函数图像绘制、求函数值等。评分标准：答对判定方法得1分，答对应用得1分。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.A4.C5.C6.A7.D8.B9.C10.A解析：略（每题解析见前文）二、填空题1.512.113.-114.(0,1/2]15.316.117.log2(x-1)(x>1)18.π/219.π/420.8三、判断题1.√22.×23.√24.×25.×26.√27.×28.×29.√30.×四、简答题1.最大值2，最小值-2解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0,2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，最大值为2，最小值为-2。2.2π解析：周期T=2π/|ω|=2π/3。3.1解析：f(x)=(x-2)^2+1，最小值为1。4.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析：x^2-1>0，x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)。5.1解析：lim(x→0)(e^x-1/x)=1。6.3解析：y=1+cos2x-sin2x=1-√2sin(2x-π/4)，最大值为1+√2。7.(π/8+kπ,0)(k∈Z)解析：令2x-π/4=kπ+π/2，x=π/8+kπ/2，对称中心为(π/8+kπ,0)。8.(0,1/2]解析：x^2-2x+3=(x-1)^2+2≥2，∴0<1/(x^2-2x+3)≤1/2。五、应用题1.极大值点x=0，极小值点x=2解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0,2，f''(0)=-6<0为极大值点，f''(2)=6>0为极小值点。2.2π/3解析：周期T=2π/|ω|=2π/3。3.a=-3解析：f'(x)=2x+2a，f'(1)=2+2a=-4，∴a=-3。4.y=-1/(x-3)解析：x→4-x，y→-y，得到y=-1/(4-x-1)=-1/(x-3)。5.最大值8，最小值-2解析：f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=8，最大值为8，最小值为-2。6.[-1,3]解析：y=1+cos2x-sin2x=1-√2sin(2x-π/4)，∵-√2≤sin(2x-π/4)≤√2，∴-1≤y≤3。7.1解析：lim(x→0)(e^x-1/x)=1。8.(0,1)和(2,+∞)解析：令2^x=x^2，画出两个函数图像可知，在(0,1)和(2,+∞)存在两个交点。六、案例分析题1.x=5时，AQI最小值为20解析：f'(x)=-100/x^2+2，令f'(x)=0得x=5，f''(5)>0，∴x=5时AQI最小，f(5)=20。2.R(x)=100x-2x^2，最大值R(25)=1250解析：R(x)=100x-2x^2，R'(x)=100-4x，令R'(x)=0得x=25，R''(25)<0，∴x=25时收益最大，R(25)=1250。3.周期T=2s，振幅A=5cm解析：周期T=2π/|ω|=2s，振幅A=5cm。4.x=1时平均成本最低解析：平均成本y=C/x=100/x+2+x，y'=2-100/x^2，令y'=0得x=10，但需注意x>0，∴x=1时平均成本最低。5.v(t)=10(1+0.01)^t解析：v(t)=P'(t)=10