人教版八年级上册数学 讲义 第17讲 期末复习二讲义+练习（学生版）

第第17讲讲期末复习二概述概述适用学科初中数学适用年级初二适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点1、同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方2、单项式乘以单项式；单项式乘以多项式；多项式乘以多项式3、同底数幂的除法；零指数指数幂教学目标1、整式乘法的公式灵活应用2、乘法公式的应用3、掌握因式分解4、掌握分式的基本概念，性质，及基本运算5、掌握分式方程的计算及实际应用问题教学重点整式乘法的公式灵活应用；乘法公式的应用；掌握因式分解；掌握分式的基本概念，性质，及基本运算；掌握分式方程的计算及实际应用问题教学难点同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的综合应用；多项式与多项式相乘的乘法法则的运用；理解零指数指数幂的意义；乘法公式的熟练使用；分式的概念，计算及分式方程的解法【教学建议】1.通过系统化、条理化的复习，回顾各章的基础知识和基本方法，同时加强整个学期知识间的联系，使学生能理清所学，查漏补缺，真正落实掌握所学内容；2.加强学生的审题、阅读、观察、计算、画图、抽象概括、逻辑推理、动手操作等技能；3.渗透函数与方程、转化与化归、分类与整合、数形结合等数学思想方法；4.帮助学生揭示解题规律，归纳解题方法，进一步提高学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力；5.培养学生自己复习的能力，提高应试能力和综合素质。【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。导入的方法很多，仅举两种方法：情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。提供一个教学设计供讲师参考：复习预习求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。例如这个表达式中，a是底数，n是指数，又读作a的n次幂乘方的性质：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是零，例如(-1)2=1,(-1)-1=-1等。问题：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×10解答：(3×105)×(5×102)=(3×5)×()=15×如果将上式中的数字改为字母，即，我们可以得到根据上式总结出单项式与单项式相乘的方法问题：三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品，它们在一个月内的销售量(单位：瓶)，分别是a,b,c。请用不同方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入一种方法是先求三家连锁店的总销售量，再求总收入，即总收入为m(a+b+c),另一种方法是先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，即总收入为ma+mb+mc,所以：m(a+b+c)=ma+mb+mc,根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米，求扩地以后的面积是多少？用两种方法表示扩大后绿地的面积。方法一：这块花园现在长(a+b)米，宽(m+n)米，因而面积为(a+b)(m+n)平方米．方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：am米2、an米2、bm米2、bn米2，故这块绿地的面积为(am+an+bm+bn)米2．(a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一块绿地的面积，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn，根据上式总结出多项式与多项式相乘的方法二、知识讲解二、知识讲解考点1考点1幂的乘除运算【教学建议】通过前面的引导，得到单调函数的定义，建议用三种语言对比的形式来加深理解；得到增函数的定义后，可以让学生来类比写出减函数的定义：同底数幂的乘法法则：一般地，对于任何底数a与任何正整数m、n，=因此我们有am﹒an=am+n（m，n都是正整数）即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意：（1）三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用。即(m，n，...,p都是正整数)（2）不要忽略指数为1的因数（3）底数不一定只是一个数字或一个字母注意法则的逆用，即（m，n都是正整数）幂的乘方的的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘。幂的乘方法则：一般的，对于任意底数a与任意正整数m，n，因此，我们有(am)n=amn（m，n都是正整数）即幂的乘方，底数不变，指数相乘。注意：(1)法则可推广为[(am)n]p=amnp（m，n,p都是正整数）(2)此法则可以逆用amn=(am)n=(an)m（m，n都是正整数）积的乘方法则：一般的，对于任意底数a,b与任意正整数n，因此，可得出（n是正整数）即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。注意：(1)三个或三个以上因式的积的乘方，也具有这一性质.例如(abc)n=anbncn(2)此法则可逆用：同底数幂的除法法则：一般地，我们有（a≠0,m，n都是正整数，并且m>n），即同底数幂相除，底数不变，指数相减。注意：（1）底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0，则除数为零，除法就没有意义了（2）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如（a≠0,m，n，p是正整数，并且m>n+p）（3）应用这一法则时，必须明确底数是什么，指数是什么，然后按照同底数幂除法法则进行计算（4）同底数幂的除法和同底数幂的乘法是互为逆运算零指数幂的性质：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如，根据除法的意义可知所得的商为1，另一方面，如果按照同底数幂的除法来计算，又有于是规定：a0=1（a≠0）即任何不等于0的数的0次幂都等于1注意：任何一个常数都可以看作与字母0次方的积，因此常数项可以看作是0次单项式考点2考点2整式乘法单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的乘法法则，即单项式与单项式相乘的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为m(a+b+c)=ma+mb+mc(m,a,b,c都是单项式)多项式与多项式相乘的乘法法则:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn乘法公式（1）整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.（2）整式乘法的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.考点3因式分解考点3因式分解（1）因式分解的定义（2）因式分解的方法：①提公因式法②公式法(平方差,完全平方)*③十字相乘法*④分组分解法（3）注意事项:①因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式;②因式分解要进行到不能再分解为止;③因式分解的步骤：先提公因式，再运用公式。（4）数学思想方法:①转化思想;②整体思想;③数学方法:换元法,配方法.考点4考点4分式与分式方程分式的概念：形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中

A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式中，a≠0；分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示其中A、B、C为整式（）分式的值为0

分式的值若想为零，必须保证分式有意义，所以要求分子为零而分母不为零若分式的值为正，则分子、分母同号（同为正或同为负），即：若，则或。若分式的值为负，则分子、分母异号（一正一负），即：若，则或。分式的乘法法则:与分数的乘法法则类似，我们得到分式的乘法法则：两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．

符号表示：．说明：分式与分式相乘时，若分子和分母都是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再相乘。（2）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式的分母看作1）与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变，当然能约分的要约分。分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．

符号表示：．说明：（1）当分式的分子与分母都是单项式时，运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。（2）当分子与分母都是多项式时：运算步骤是：

①把各个分式的分子与分母分解因式；

②把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘；

③约分，得到计算结果.分式的乘方：几个相同分式的积的运算叫做分式的乘方。法则：分式的乘方，等于把分式的分子、分母分别乘方。

符号表示：（为正整数）。说明：

（1）分式的乘方，必须把分式加上括号。

（2）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘、除，有多项式时应先分解因式，再约分。同分母分式的加减法则

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；符号表示：．

说明：

同分母分式相加减时应注意：

①当分式的分子是多项式时，应先添括号，再去括号合并同类项，从而避免符号错误。

②分式的分子相加减后，若结果为多项式，应先考虑因式分解后与分母约分，将结果化为最简分式或整式。异分母分式的加减法则异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．说明：异分母分式相加减时应注意：

①把异分母的分式化成同分母的分式，在这个过程中必须保证化成的分式与其原来的分式相等；

②通分的根据是分式的基本性质，分母需要乘“什么”，分子也必须随之乘“什么”；分式的分子、分母同时乘的整式是最简公分母除以分母所得的商。符号表示：分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解分式方程解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程.具体做法是“去分母”.即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般思路和做法.解分式方程的步骤①去分母方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号。②按解整式方程的步骤移项，若有括号应去括号,注意变号,合并同类项，把系数化为1求出未知数的值;③验根求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根.验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。由增根求参数值的步骤确定增根将原分式方程化为整式方程将增根代入变形后的整式方程，求出参数值分式方程应用的步骤：(1)审清题意(2)设未知数；(3)根据题目中的相等关系，列出分式方程(4)解分式方程；(5)验根，先检验是否是增根，再检验是否符合题意．（6）写出答案分式方程的类型：营销类、工程类、行程类、浓度类，其中营销问题及行程问题中航行问题、总工作量为单位1的工程问题。三、例题三、例题精析类型一幂的相关运算例题1例题1计算(1)；(2)；(3)例题2例题2【教学建议】本题有一定难度，需要灵活处理幂的相关运算，不要思维定式。(1)若,则=________.(2)已知，则=_______.类型二乘法公式例题1例题1计算(1)（2x+3）2(2)(a-2b)2例题2例题2计算

（1）（a-2b）（2b+a）

（2）（3x-2y）（-3x-2y）

（3）（5mn-3mn）（-3mn-5mn）类型三因式分解例题1例题1将下列各式分解因式(1)2x2－4x(2)8m2n+2mn(3)a2x2y－axy2(4)3x3－3x2－9x类型四分式及分式方程例题1例题1计算：．例题2例题2乙分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行．甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样二人恰好在AB中点处相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人速度．四、课堂运用四、课堂运用基础基础若式子(x-2)0有意义，求x的取值范围计算（1）104×102（2）（3）约分（1）；（2）计算（1）（2）（3）（4）（m为正整数）巩固巩固如果x2-2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m=______．计算(1)1022(2)982解方程：．将下列各式分解因式(1)(2a-3b)(7x+y)+(x-5y)(3b-2a)(2)(x-2y)(2x+3y)-2(2y-x)(5x-y)拔高拔高对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（）A．3B．6C．10D．9分式的值为正数的条件是（）A．x＜2 B．x＜2且x≠-1 C．-1＜x＜2通分：（1）；（2）五、课堂小结五、课堂小结1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am﹒an=am+n（m，n都是正整数）2.幂的乘法法则：即幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(am)n=amn（m，n都是正整数），3.积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)n=anbn（n是正整数）4.分式定义;分式有无意义的条件;分式的值为零（或其它特殊值）的条件.5.分式的基本性质、符号法则.6.通分、约分.7.最简分式.8.分式的乘、除、乘方及加减法法则;整数指数幂;运算结果要化为整式或最简分式.9.解分式方程的基本思路是把分式方程化为整式方程,转化的途径是“去分母”一般步骤:①去分母,把分式方程化为整式方程;②解这个整式方程;③检验;检验是解分式方程必要的步骤10.列分式方程解实际问题的基本步骤:审、设、列、解、验（先检验是否是方程的根,再验是否符合题意）、答11.全等三角形全等三角形的判定和性质角平分线的性质12.轴对称轴对称及轴对称图形的概念及性质线段的垂直平分线的性质画轴对称图形用坐标表示轴对称等腰三角形的判定及性质等边三角形的判