人教版高考数学必修二 题型突破 第28讲 空间直线、平面的垂直（解析版）

第28讲空间直线、平面的垂直【知识梳理】一：直线与平面垂直①直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作②直线与平面垂直的判定定理一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直，即③直线与平面垂直的性质定理1.垂直于同一个平面的两条直线平行，即，a∥b2.如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面，即a∥b，二：平面与平面垂直①平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直，即②直线与平面垂直的性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面即，题型一：线面垂直基本概念的理解【例1】、表示不同的直线，是平面内的一条直线，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的判定定理分析判断即可.【详解】当时，不一定成立，也有可能等情况；当时，因为，所以；综上：是的必要不充分条件.故选：B.【例2】已知直线和平面，且在上，不在上，则下列判断错误的是（

）A．若∥，则存在无数条直线，使得∥B．若，则存在无数条直线，使得C．若存在无数条直线，使得∥，则∥D．若存在无数条直线，使得，则【答案】D【分析】由线面平得的性质定理判断A；由线面垂直的定义判断B；由线面平行的判断定理判断C；当∥时，也满足条件，从而判断D.【详解】解：对于A，若∥，则平行于过的平面与的交线，当∥时，∥，则存在无数条直线，使得∥，故A正确；对于B，若，垂直于平面中的所有直线，则存在无数条直线，使得，故B正确；对于C，若存在无数条直线，使得∥，，，则∥，C正确；当∥时，存在无数条直线，使得，D错误.故选：D.【例3】下列命题正确的是（

）A．一条直线和一个平面平行，则它和这个平面内的任何直线平行.B．如果一条直线垂直于平面内无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直.C．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.D．两条直线与一个平面成角相等，则这两条直线平行.【答案】C【分析】根据线面平行，线面垂直的定义，逐个选项进行判断，可得答案.【详解】对于A，一条直线和一个平面平行，根据线面平行的定义，不能得出它和这个平面内的任何直线平行，故A错；对于B，根据线面垂直的定义，如果该直线垂直于平面内无数条平行直线，则该直线不一定和该平面垂直，故B错；对于C，根据线面垂直的定义，垂直于三角形两边的直线，必定垂直于三角形所成的面，则该直线必垂直于三角形的第三边，故C正确；对于D，两条直线与一个平面成角相等，则两条直线可以相互平行，也可以相互垂直，故D错误；故选：C【例4】已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（

）A．，，， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据线面垂直的定义和空间直线垂直平行的性质即可判定D正确，举反例可判定ABC错误.【详解】对于A，若，，，，当平行时，与平面可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故A错误；对于B，若，设过的平面与交于，则根据线面平行的性质定理可得，在平面内，作直线,则，而此时在平面内，故B错误；对于C，若，设，在平面内作直线，则，由线面平行的判定定理可得，而此时在平面内，故C错误；对于D，若，则直线与平面内的所有直线都垂直，又，∴与平面内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得，故D正确；故选：D【例5】过已知平面外一点作与垂直的直线的条数有（

）A．0 B．1 C．2 D．无数【答案】B【分析】由平面的基本性质判断垂直于平面的直线条数.【详解】由过一点垂直于一个平面的直线有且只有一条，故平面外一点作与垂直的直线的条数有1条.故选：B【例6】在正方体中，点在线段上，点为线段的中点，记平面平面，则下列说法一定正确的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】D【分析】根据线面平行可得两平面的交线满足，进而根据平面，即可判断平面.【详解】由题意得，，平面,平面,则平面，又平面平面，∴，因为平面,平面,故平面,因此平面．故D正确而，平面,平面,则平面,故平面,选项A错误，同理选项B错误；由于与相交不垂直，故与平面不垂直，因此不垂直平面，故C错误；故选：D．【例7】如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面垂直的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据正方体的性质，结合线面垂直的判定定理依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A选项，如图，因为为所在棱的中点，故由正方体的性质易得，所以，由于，故平面，故A选项正确；对于B选项，如图，因为为所在棱的中点，所以，由正方体的性质得，所以平面，故，所以，同理得，，故平面，故B选项正确；对于C选项，如图，因为为所在棱的中点，所以，所以在中，与夹角为，故异面直线与所成的角为，故平面不成立，故C选项错误；对于D选项，同A选项，可判断平面，故D选项正确；故选：ABD【例8】已知正方体中，是的中点，则下列结论正确的是（

）A．与相交 B．C．平面 D．平面【答案】B【分析】对于A，作图直接观察，由异面直线的定义，可得答案；对于B，由线面垂直的定义，通过证明线面垂直，可得答案；对于C，根据正方体的性质，结合线面垂直判定定理，找出垂线，判断其垂直与已知直线的位置关系，可得答案；对于D，过所求平面中的点，作已知直线的平行线，根据线面位置关系，可得答案.【详解】对于A，由题意可作图如下：因为与异面，故A错误；对于B，连接在正方体中，如下图：，平面，因为平面，所以，因为，所以平面，平面，所以，故B正确；对于C，连接，如下图：可得平面，因为与不平行，所以不垂直平面，故C错误；对于D，取中点，连接，如下图：则，因为交平面于，不平行平面，即不平行平面，故D错误．故选：B.【题型专练】1．已知直线和平面，则“垂直于内任意直线”是“”的（

）.A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件【答案】C【分析】根据线面垂直的判定和性质，结合题意，即可容易判断和选择.【详解】若垂直于内任意直线，显然有，故充分性成立；若，则垂直于平面内任意直线，故必要性成立，故“垂直于内任意直线”是“”的充要条件.故选：.2．设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】B【分析】根据线面与面面的位置关系逐一判断即可【详解】对于A：，且，则，故A错误；对于B：一条直线垂直于平面，则与这条直线平行的直线也垂直于这个平面，易知B正确；对于C：，且，则或或n与相交均有可能，故C错误；对于D：，且，则则或或n与相交均有可能，故D错误；故选：B3．已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，且.在下列条件中，能推出的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由线面垂直的判定定理结合图象判断即可求解【详解】当时（如图所示），由推不出，即错误；同理可知，错误；若，可知与交于一点，且，所以，即D正确.故选：D4．若一条直线与平面垂直，下列平面中的两条直线与垂直，可以保证直线与平面垂直的是（

）①四边形的两边

②正六边形的两边

③圆的两条直径

④三角形的两边A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】D【分析】根据线面垂直的判定定理及平面图形的结构特征逐一判断即可.【详解】解：对于①，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直；对于②，若直线垂直正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；对于③，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；对于④，三角形的任意两边一定相交，故能保证线面垂直.所以可以保证直线与平面垂直的是③④.故选：D.5．如图，圆柱中，是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】A【分析】根据线面垂直的判定定理及定义判断即可；【详解】解：依题意平面，平面，所以，又是底面圆的直径，所以，，平面，所以平面，故A正确；对于B：显然与不垂直，则不可能垂直平面，故B错误；对于C：显然与不垂直，则不可能垂直平面，故C错误；对于D：显然与不垂直，则不可能垂直平面，故D错误；故选：A6．如图，在正方体中，点，分别为线段，上的任意一点．给出下列四个结论：①存在点，，使得平面；②存在点，，使得平面；③存在点，，使得平面；④存在点，，使得平面．其中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】D【分析】当，分别为线段，的中点时，，然后可判断出答案.【详解】当，分别为线段，的中点时，，所以此时有平面，平面，不存在点，，使得平面、平面，故正确结论的序号是①④，故选：D7．已知m、n是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中是真命题的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则【答案】BC【分析】根据线面垂直的定义和性质，以及面面平行的性质即可判断.【详解】对于A，直线m垂直于平面内的一条直线n，则直线m与平面不一定垂直，所以A不是真命题；对于B，因为，，由直线与平面垂直的定义可知：，所以B是真命题；对于C，因为，，由直线与平面垂直的性质可知：，所以C是真命题；对于D，分别在两个平行平面，内的直线m，n平行或异面，所以D不是真命题．故选：8．正方体中，M为中点，O为中点，以下说法正确的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】AC【分析】设交于，利用线面平行的判定定理可判断A，由题可得进而可判断BD，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可判断C.【详解】连接交于，连接，则为的中点，所以，，又M为中点，，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；因为，与平面相交且不垂直，所以与平面不平行且不垂直，故BD错误；由题可知平面，平面，所以，由题可知，又平面，平面，所以平面，又，所以平面，故C正确.故选：AC.9．如图所示，已知几何体是正方体，则（

）A．平面 B．平面C．异面直线与所成的角为60° D．【答案】BC【分析】结合线面垂直、线面平行、异面直线所成角、线线垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】根据正方体的性质可知，三角形是等边三角形，所以与所成角为，所以与所成角为，所以A选项错误，C选项正确.根据正方体的性质可知平面平面，由于平面，所以平面，B选项正确.根据正方体的性质可知，三角形是等边三角形，所以与所成角为，所以与所成角为，所以D选项错误.故选：BC10．下列条件中能推出的有（

）A．直线l与平面内一个三角形的两边垂直 B．直线l与平面内一个梯形的两边垂直C．直线l与平面内无数条直线垂直 D．直线l与平面内任意一条直线垂直【答案】AD【分析】由线面垂直的判定定理判断【详解】由线面垂直的判定定理知AD正确，对于B，当梯形的两边平行时，不能推出，对于C，当无数条直线相互平行时，不能推出，故选：AD题型二：线面垂直的证明（关键是证直线与平面内两条相交直线垂直）证线线垂直的常用方法：1.看到等腰等边三角形，要想到三线合一2.看到棱形，要想到对角线相互垂直3.看到线面垂直，想到这条线垂直于面内的所有直线，得到线线垂直4.知道边的长度比较多，要想到勾股定理5.看到圆形，想到直径所对的圆周角是直角6.看到面面垂直，要想到面面垂直的性质【例1】在平行四边形中，，，，过点作的垂线交的延长线于点，连接交于点，如图①；将沿折起，使得点到达点的位置，如图②．(1)证明：直线平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）在图①中，求出、，再由三角形相似求出、，即可得到即，根据图形翻折的性质得到，，即可得证；【详解】（1）图①中，根据已知条件可得，，，．因为，所以，所以．所以，，因为，所以，即．在图②中，因为，，，平面，平面，所以平面．【例2】如图，在棱长为1的正方体中，点E、F分别为棱BC、CD中点．(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证明，再证明即可；【详解】（1）解：（1）如图，在平面ABCD上的射影为DE，由E、F分别为棱BC、CD中点，故，同理，，因为，、平面，所以平面．【例3】如图，在四棱锥中，底面为正方形，点在底面内的投影恰为中点，且．(1)若，求证：面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据已知条件，不妨设，，然后根据勾股定理分别证明，，最后根据线面垂直的判断进行证明即可.【详解】（1）如图，连接，.已知，不妨设，.已知点在底面的投影落在中点，所以四棱锥为正四棱锥，即，底面为正方形，，得，同理得，为的中点，，，得，，，同理可得，平面，平面，且，平面.【例4】如图，四棱锥中，底面是矩形，，.为上的点，且平面；(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用勾股定理、平行关系和线面垂直性质可得，，由线面垂直的判定可证得结论；【详解】（1），，，，又，；平面，平面，；，平面，平面.【例5】如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且．(1)求证：AC⊥平面BDEF：【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先做辅助线，再利用线面垂直判定定理判定定理证明.【详解】（1）证明：设AC与BD相交于点O，连接FO．∵四边形ABCD为菱形，

∴为中点，，

∴．又，BD平面BDEF，FO平面BDEF∴AC⊥平面BDEF．【例6】故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面ABCD为矩形，AB＝2AD＝2EF＝8，EF∥底面ABCD，EA＝ED＝FB＝FC，M，N分别为AD，BC的中点．(1)证明：EF∥AB且BC⊥平面EFNM．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由线面平行的性质结合已知条件可证得EF∥AB，由等腰三角形的性质可得EM⊥AD，FN⊥BC，再结合线面垂直的判定可证得BC⊥平面EFNM；【详解】（1）证明：因为EF∥底面ABCD，平面ABFE，平面底面，所以．因为，M，N分别为AD，BC的中点，所以EM⊥AD，FN⊥BC，，因为∥，，所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以四边形EFNM为梯形，且EM与FN必相交于一点，又，所以，因为平面，故BC⊥平面．【例7】如图所示，在直三棱柱中，，平面，D为AC的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面；【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）利用线面平行判定定理去证明平面；（2）利用线面垂直判定定理去证明平面；【详解】（1）连接与相交于M，则M为的中点.连接MD，又D为AC的中点，∴，又平面，平面，∴平面.（2）∵，∴平行四边形为正方形，∴.又∵平面，平面∴，又，平面，平面∴平面，又平面，∴.又在直三棱柱中，，，平面.∴平面.【例8】如图，在三棱柱中，平面，、、、分别为、、、的中点，，．(1)求证：平面；【答案】(1)证明见详解；【分析】（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论；【详解】（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四边形A1ACC1为矩形．又E，F分别为AC，A1C1的中点，∴AC⊥EF．∵AB=BC，E为AC的中点，．∴AC⊥BE，而，平面BEF，平面BEF∴AC⊥平面BEF．【例9】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面，，.(1)证明：平面PAC；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）证明，即可由线线垂直证明线面垂直；【详解】（1）底面为直角梯形，，，故可得，又，则，易知，故，则；又面面，故；又面，故面.【例10】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据底面ABCD的性质，结合余弦定理勾股定理推出出CD⊥DM，再结合PD⊥DC即可推出CD⊥平面PDM，【详解】（1）因为底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，BC＝4，AB＝1，且M为BC的中点，所以CM＝2，CD＝1，∠DCM＝60°，由余弦定理可得,则所以CD⊥DM，又PD⊥DC，且PD∩DM＝D，平面PDM，DM平面PDM，所以CD⊥平面PDM.【例11】如图，PA是圆柱的母线，AB是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A．B的一点，且．(1)求证：平面PAC【答案】(1)证明见解析【分析】（1）通过证明来证得平面.（1）∵PA为圆柱母线，∴平面ACB，∵平面，∴，∵AB为底面圆直径，∴，∵平面APC，平面APC，，∴平面PAC【例12】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面PCD，，CD＝2，AD＝3，棱PC的中点为N，连接DN．(1)求证：平面PCD；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取棱PC的中点N，连接DN，可得DN⊥PC，利用面面垂直的性质定理可得DN⊥平面PAC，从而得到DN⊥PA，利用线面垂直的判定定理证明即可；【详解】（1）证明：取棱PC的中点N，连接DN，由题意可知，DN⊥PC，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，故DN⊥PA，又PA⊥CD，CD∩DN＝D，CD，DN⊂平面PCD，则PA⊥平面PCD；【题型专练】1．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，平面平面分别是的中点.(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）通过作辅助线，利用三角形、面面垂直的性质以及线面垂直的判断定理.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，因为是等边三角形，所以.又平面平面，平面平面，所以平面.连接，因为底面是边长为2的正方形，是的中点，所以.又是的中点，，所以.因为，所以平面.2．如图，在五面体中，面是边长为的正方形，三角形是等边三角形，且，.(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）证明出平面，利用线面平行的性质可得出，进而可得出，由已知条件得出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；【详解】（1）解：因为四边形为正方形，则，平面，平面，平面，平面，平面平面，，，因为，，则，，，、平面，所以平面；3．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，是的中点．(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）通过，得到证明.【详解】（1）平面，平面，故，是等边三角形，是中点，故，，面，故平面.4．如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，.(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）由题意在中，利用所给的线段长度计算出，利用矩形及线面垂直的判定定理能证明平面；【详解】（1）证明：在中，由题设，，可得于是．在矩形中，．又，平面所以平面．5．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，，且，是的中点．(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】(1)欲证明平面BMD，只需证明PA垂直于平面BMD内两条相交的直线即可；【详解】（1）设与交于，连接．因为为正方形的对角线，所以为中点，且，因为是的中点，所以，因为，所以因为平面底面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以因为平面，，所以平面；6．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，.是底面的内接正三角形，为上一点，.(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）方法一，利用勾股定理即及线面垂直的判定定理即得；方法二，利用坐标法即得；方法三，利用线面垂直，结合勾股定理可证出；方法四，利用空间基底法即得；【详解】（1）[方法一]：勾股运算法证明由题设，知为等边三角形，设，则，，所以，，又为等边三角形，则，所以，，则，所以，同理，又，平面，平面，所以平面；7．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是矩形，且，，E是棱BC上的动点，F是线段PE的中点.(1)求证：平面ADF；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）方法一，取棱PB，PC的中点分别为M，N，利用线面垂直的判断定理可得平面PAB，进而可得平面ADF；方法二，利用坐标法，求出AD，AF向量和向量的坐标表示，证明垂直即得；【详解】（1）方法一：分别取线段PB、PC的中点M、N，易知点M、N、F共线，∵，∴，又∵平面ABCD，平面ABCD，∴，又四边形ABCD是矩形，，∵平面，平面，∴平面，平面，∴，又，平面，平面，因此平面；8．如图，在正方体中，是棱的中点．(1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；(2)求证：直线平面．【答案】(1)直线平面，理由见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接交于点，由三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可证得结论；（2）由正方形特征和线面垂直性质可得，，由此可得平面，由线面垂直性质可得，同理可得，由线面垂直的判定可得结论.【详解】（1）直线平面，理由如下：在图中，连接交于点，连接，四边形为正方形，为中点，又为中点，，又平面，平面，平面.（2）在图中，连接，四边形为正方形，；平面，平面，；又，平面，平面，平面，；同理可得：平面，又平面，；，平面，平面.9．如图，在四棱锥中，平面是棱的中点.(1)证明：平面.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直性质定理，可得线线垂直，结合线面垂直判定定理，利用等腰三角形的性质，可得答案；【详