高等数学曲线积分习题

高等数学曲线积分习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.计算曲线积分∮_{L}（x+y）dx+（x-y）dy，其中L为从点A（0，0）到点B（1，1）再到点C（2，0）的折线段。下列计算方法正确的是（）A.直接分段计算每段直线上的积分后相加B.因为L不封闭，无法直接应用格林公式C.需要将积分转化为对参数的定积分D.可以将积分写成∮_{L}（x+y）dx+（x-y）dy=∮_{L}d（xy）参考答案：C解析：曲线积分计算需根据路径参数化，折线段需分段处理。选项A错误因未说明参数化方式；选项B错误因格林公式适用于封闭路径；选项D错误因d（xy）≠（x+y）dx+（x-y）dy。正确方法为分段设参数（AB段t从0到1，BC段t从1到2），转化为定积分计算。2.设L为圆周x^2+y^2=1，方向为逆时针，则曲线积分∮_{L}（2xydx-x^2dy）的值为（）A.πB.-πC.2πD.0参考答案：A解析：应用格林公式，设P=2xy，Q=-x^2，则∂P/∂y=2x，∂Q/∂x=-2x，积分值为∮_{L}（∂P/∂y-∂Q/∂x）dA=∫∫_{D}4xdA，其中D为圆盘x^2+y^2≤1。因区域关于y轴对称，x奇函数积分为0，但需补正负号处理方向，最终结果为π。3.计算空间曲线积分∮_{L}（yzdx+xdy+yzdz），其中L为从点A（1，0，0）到点B（0，1，0）再到点C（0，0，1）的折线段。下列简化方法正确的是（）A.直接将积分分解为三个独立的线积分B.因为yzdx+xdy=0，积分简化为∮_{L}yzdzC.需要将路径投影到坐标平面上计算D.可以将积分写成∮_{L}（yzdx+xdy+yzdz）=∮_{L}d（xyz）参考答案：B解析：选项A错误因未说明各段参数化；选项C错误因空间路径不能简单投影；选项D错误因d（xyz）≠yzdx+xdy+yzdz。正确方法为分段设参数（AB段z=1-t，t从0到1；BC段x=1-t，t从0到1），发现yzdx+xdy=0，仅剩yzdz积分。4.设L为抛物线y=x^2从点（-1，1）到点（1，1）的弧段，方向为从左到右，则曲线积分∮_{L}（xsinycosx）dx+（x^2y+cosy）dy的值为（）A.1B.-1C.0D.2参考答案：C解析：设P=xsinycosx，Q=x^2y+cosy，因∂P/∂y=xcosxcosy=∂Q/∂x，积分与路径无关。可选择平行于x轴的路径（y=1，x从-1到1），此时dy=0，积分简化为∮_{L}（xsinycosx）dx=∫_{-1}^{1}（xsinxcos1）dx=0（因sinx奇函数在对称区间积分为0）。5.计算空间曲线积分∮_{L}（yzdx+xdy+yzdz），其中L为螺旋线x=cosθ，y=sinθ，z=θ（θ从0到2π），则积分值为（）A.0B.2π^2C.π^2D.4π^2参考答案：B解析：将参数方程代入积分，dx=-sinθdθ，dy=cosθdθ，dz=dθ，积分变为∫_{0}^{2π}（sinθθcosθ-sinθcosθθ-sinθθ^2）dθ。因θcosθ与θsinθ均为奇函数，其积分从0到2π为0，仅剩∫_{0}^{2π}（-sinθθ^2）dθ=-2π^2（分部积分法）。6.设L为椭圆周x^2/a^2+y^2/b^2=1，方向为逆时针，则曲线积分∮_{L}（y^3dx-x^3dy）的值为（）A.πabB.-πabC.πa^2b^2D.-πa^2b^2参考答案：D解析：应用格林公式，设P=y^3，Q=-x^3，则∂P/∂y=3y^2，∂Q/∂x=-3x^2，积分值为∮_{L}（∂P/∂y-∂Q/∂x）dA=∫∫_{D}6xydA，其中D为椭圆区域。因x,y奇函数积分为0，但需补正负号处理方向，最终结果为-πa^2b^2（通过换元x=au，y=bu计算雅可比行列式）。7.计算曲线积分∮_{L}（x^2ydx+xy^2dy），其中L为从点（0，0）到点（1，1）的直线段，下列说法正确的是（）A.积分与路径无关，可直接计算为0B.因L不封闭，无法应用格林公式C.需要将直线方程y=x代入积分D.可以将积分写成∮_{L}（x^2ydx+xy^2dy）=∮_{L}d（x^3/3+x^2y^2/2）参考答案：C解析：选项A错误因直线段积分需参数化；选项B错误因格林公式不要求封闭；选项D错误因d（x^3/3+x^2y^2/2）≠x^2ydx+xy^2dy。正确方法为设y=x，dx=dy，积分简化为∫_{0}^{1}（x^3+x^3）dx=1/2。8.设L为圆周x^2+y^2=1，方向为逆时针，则曲线积分∮_{L}（ydx-xdy）/（x^2+y^2）的值为（）A.0B.2πC.-2πD.π参考答案：C解析：因分母为1，积分简化为∮_{L}（ydx-xdy）。设参数方程x=cosθ，y=sinθ（θ从0到2π），dx=-sinθdθ，dy=cosθdθ，积分变为∮_{L}（sinθ（-sinθ）-cosθcosθ）dθ=-∫_{0}^{2π}（sin^2θ+cos^2θ）dθ=-2π。9.计算空间曲线积分∮_{L}（yzdx+xdy+yzdz），其中L为圆周x^2+y^2+z^2=4，z=0，方向为逆时针，则积分值为（）A.0B.8πC.4πD.16π参考答案：A解析：因z=0，积分简化为∮_{L}（0dx+xdy+0dz）=∮_{L}xdy。投影到xoy平面为圆周x^2+y^2=4，设x=2cosθ，y=2sinθ（θ从0到2π），dy=2cosθdθ，积分变为∮_{L}（2cosθ•2cosθ）dθ=4∫_{0}^{2π}cos^2θdθ=4π。但需注意方向，原积分因z=0不贡献，最终结果为0。10.设L为抛物线y=x^2从点（-1，1）到点（1，1）的弧段，方向为从左到右，则曲线积分∮_{L}（x^3dx+xy^2dy）的值为（）A.0B.1/2C.1D.2参考答案：B解析：设y=x^2，dy=2xdx，积分变为∮_{L}（x^3dx+x^3•x^4•2xdx）=∮_{L}（x^3+x^7）dx=∫_{-1}^{1}（x^3+x^7）dx=2∫_{0}^{1}x^3dx=1/2。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设L为从点（0，0）到点（1，1）的直线段，则曲线积分∮_{L}（2xydx+3y^2dy）的值为______。参考答案：3解析：设y=x，dx=dy，积分简化为∮_{L}（2x^2dx+3x^2dx）=∫_{0}^{1}5x^2dx=5/3。2.设L为圆周x^2+y^2=1，方向为逆时针，则曲线积分∮_{L}（ydx-xdy）/（x^2+y^2）的值为______。参考答案：2π解析：因分母为1，积分简化为∮_{L}（ydx-xdy）。设参数方程x=cosθ，y=sinθ（θ从0到2π），dx=-sinθdθ，dy=cosθdθ，积分变为∮_{L}（sinθ（-sinθ）-cosθcosθ）dθ=-∫_{0}^{2π}（sin^2θ+cos^2θ）dθ=-2π。3.设L为抛物线y=x^2从点（-1，1）到点（1，1）的弧段，方向为从左到右，则曲线积分∮_{L}（xsinycosx）dx+（x^2y+cosy）dy的值为______。参考答案：0解析：因∂P/∂y=∂Q/∂x，积分与路径无关。可选择平行于x轴的路径（y=1，x从-1到1），此时dy=0，积分简化为∮_{L}（xsinxcos1）dx=0（因sinx奇函数在对称区间积分为0）。4.设L为螺旋线x=cosθ，y=sinθ，z=θ（θ从0到2π），则曲线积分∮_{L}（yzdx+xdy+yzdz）的值为______。参考答案：0解析：将参数方程代入积分，dx=-sinθdθ，dy=cosθdθ，dz=dθ，积分变为∫_{0}^{2π}（sinθθcosθ-sinθcosθθ-sinθθ^2）dθ。因θcosθ与θsinθ均为奇函数，其积分从0到2π为0。5.设L为椭圆周x^2/a^2+y^2/b^2=1，方向为逆时针，则曲线积分∮_{L}（y^3dx-x^3dy）的值为______。参考答案：-πa^2b^2解析：应用格林公式，设P=y^3，Q=-x^3，则∂P/∂y=3y^2，∂Q/∂x=-3x^2，积分值为∮_{L}（∂P/∂y-∂Q/∂x）dA=∫∫_{D}6xydA。因x,y奇函数积分为0，但需补正负号处理方向，最终结果为-πa^2b^2（通过换元x=au，y=bu计算雅可比行列式）。6.设L为从点（0，0）到点（1，1）的直线段，则曲线积分∮_{L}（x^2ydx+xy^3dy）的值为______。参考答案：1/12解析：设y=x，dx=dy，积分简化为∮_{L}（x^3dx+x^4dx）=∫_{0}^{1}（x^3+x^4）dx=1/4+1/5=9/20。7.设L为圆周x^2+y^2=1，方向为逆时针，则曲线积分∮_{L}（ydx-xdy）的值为______。参考答案：2π解析：设参数方程x=cosθ，y=sinθ（θ从0到2π），dx=-sinθdθ，dy=cosθdθ，积分变为∮_{L}（sinθ（-sinθ）-cosθcosθ）dθ=-∫_{0}^{2π}（sin^2θ+cos^2θ）dθ=-2π。8.设L为抛物线y=x^2从点（-1，1）到点（1，1）的弧段，方向为从左到右，则曲线积分∮_{L}（x^3dx+xy^2dy）的值为______。参考答案：1/2解析：设y=x^2，dy=2xdx，积分变为∮_{L}（x^3dx+x^3•x^4•2xdx）=∮_{L}（x^3+x^7）dx=∫_{-1}^{1}（x^3+x^7）dx=2∫_{0}^{1}x^3dx=1/2。9.设L为椭圆周x^2/a^2+y^2/b^2=1，方向为逆时针，则曲线积分∮_{L}（x^2ydx+xy^2dy）的值为______。参考答案：0解析：因∂P/∂y=∂Q/∂x，积分与路径无关。可选择平行于x轴的路径（y=0，x从-a到a），此时dy=0，积分简化为0。10.设L为螺旋线x=cosθ，y=sinθ，z=θ（θ从0到2π），则曲线积分∮_{L}（yzdx+xdy+0dz）的值为______。参考答案：2π^2解析：将参数方程代入积分，dx=-sinθdθ，dy=cosθdθ，积分变为∫_{0}^{2π}（sinθθcosθ+cosθsinθ）dθ=∫_{0}^{2π}θsinθcosθdθ=π∫_{0}^{2π}sin2θdθ=π。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.曲线积分∮_{L}（Pdx+Qdy）与路径无关的充分必要条件是∂P/∂y=∂Q/∂x沿L成立。错误解析：充分必要条件是∂P/∂y=∂Q/∂x在L所围区域D内连续。若D内存在不连续点，条件不成立。2.设L为从点（0，0）到点（1，1）的直线段，则曲线积分∮_{L}（x^2ydx+xy^2dy）的值为0。错误解析：设y=x，dx=dy，积分简化为∮_{L}（x^3dx+x^4dx）=∫_{0}^{1}（x^3+x^4）dx=1/4+1/5=9/20≠0。3.设L为圆周x^2+y^2=1，方向为逆时针，则曲线积分∮_{L}（ydx-xdy）的值为π。错误解析：设参数方程x=cosθ，y=sinθ（θ从0到2π），dx=-sinθdθ，dy=cosθdθ，积分变为∮_{L}（sinθ（-sinθ）-cosθcosθ）dθ=-∫_{0}^{2π}（sin^2θ+cos^2θ）dθ=-2π。4.设L为抛物线y=x^2从点（-1，1）到点（1，1）的弧段，方向为从左到右，则曲线积分∮_{L}（x^3dx+xy^2dy）的值为1。错误解析：设y=x^2，dy=2xdx，积分变为∮_{L}（x^3dx+x^3•x^4•2xdx）=∮_{L}（x^3+x^7）dx=∫_{-1}^{1}（x^3+x^7）dx=2∫_{0}^{1}x^3dx=3/4≠1。5.设L为椭圆周x^2/a^2+y^2/b^2=1，方向为逆时针，则曲线积分∮_{L}（y^3dx-x^3dy）的值为πab。错误解析：应用格林公式，设P=y^3，Q=-x^3，则∂P/∂y=3y^2，∂Q/∂x=-3x^2，积分值为∮_{L}（∂P/∂y-∂Q/∂x）dA=∫∫_{D}6xydA。因x,y奇函数积分为0，最终结果为-πa^2b^2。6.设L为螺旋线x=cosθ，y=sinθ，z=θ（θ从0到2π），则曲线积分∮_{L}（yzdx+xdy+yzdz）的值为0。错误解析：将参数方程代入积分，dx=-sinθdθ，dy=cosθdθ，积分变为∫_{0}^{2π}（sinθθcosθ+cosθsinθ）dθ=π∫_{0}^{2π}sin2θdθ=π。7.曲线积分∮_{L}（Pdx+Qdy）可以通过格林公式转化为二重积分计算，只要L为封闭曲线。正确解析：格林公式∮_{L}（Pdx+Qdy）=∫∫_{D}（∂P/∂y-∂Q/∂x）dA适用于封闭曲线L。8.设L为从点（0，0）到点（1，1）的直线段，则曲线积分∮_{L}（x^2ydx+xy^3dy）的值为1/12。正确解析：设y=x，dx=dy，积分简化为∮_{L}（x^3dx+x^4dx）=∫_{0}^{1}（x^3+x^4）dx=1/4+1/5=9/20。9.设L为圆周x^2+y^2=1，方向为逆时针，则曲线积分∮_{L}（ydx-xdy）/（x^2+y^2）的值为2π。错误解析：因分母为1，积分简化为∮_{L}（ydx-xdy）。设参数方程x=cosθ，y=sinθ（θ从0到2π），dx=-sinθdθ，dy=cosθdθ，积分变为∮_{L}（sinθ（-sinθ）-cosθcosθ）dθ=-∫_{0}^{2π}（sin^2θ+cos^2θ）dθ=-2π。10.设L为抛物线y=x^2从点（-1，1）到点（1，1）的弧段，方向为从左到右，则曲线积分∮_{L}（x^3dx+xy^2dy）的值为0。错误解析：设y=x^2，dy=2xdx，积分变为∮_{L}（x^3dx+x^3•x^4•2xdx）=∮_{L}（x^3+x^7）dx=∫_{-1}^{1}（x^3+x^7）dx=2∫_{0}^{1}x^3dx=3/4≠0。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述曲线积分∮_{L}（Pdx+Qdy）与路径无关的充分必要条件。解答要点：（1）充分必要条件是∂P/∂y=∂Q/∂x在L所围区域D内连续；（2）若D为单连通区域，则条件等价于存在标量函数φ，使得P=∂φ/∂x，Q=∂φ/∂y；（3）计算时需验证条件成立，若不成立需分段处理或选择其他路径。2.简述格林公式及其适用条件。解答要点：（1）格林公式∮_{L}（Pdx+Qdy）=∫∫_{D}（∂P/∂y-∂Q/∂x）dA；（2）适用条件：L为平面封闭曲线，方向为逆时针；（3）D为L所围区域，D内无奇点，∂P/∂y和∂Q/∂x在D内连续。3.简述如何计算空间曲线积分∮_{L}（Pdx+Qdy+Rdz）。解答要点：（1）若L参数方程已知，设x=x（t），y=y（t），z=z（t），积分转化为定积分∫_{α}^{β}（Pdx+Qdy+Rdz）=∫_{α}^{β}（Px'（t）+Qy'（t）+Rz'（t））dt；（2）若L投影到坐标平面，需分别计算各投影曲线积分后相加；（3）若L封闭，可考虑斯托克斯公式转化为曲面积分。4.简述如何通过格林公式计算平面曲线积分∮_{L}（Pdx+Qdy）。解答要点：（1）若L不封闭，需补线使其封闭，补线方向与原曲线方向一致；（2）设补线为L'，则∮_{L}（Pdx+Qdy）=∮_{L+L'}（Pdx+Qdy）-∮_{L'}（Pdx+Qdy）；（3）应用格林公式计算封闭曲线积分，再减去补线积分。5.简述空间曲线积分∮_{L}（Pdx+Qdy+Rdz）与路径无关的充分必要条件。解答要点：（1）充分必要条件是∂P/∂y=∂Q/∂x=∂R/∂z在L所围区域D内连续；（2）若D为单连通区域，则条件等价于存在标量函数φ，使得P=∂φ/∂x，Q=∂φ/∂y，R=∂φ/∂z；（3）计算时需验证条件成立，若不成立需分段处理或选择其他路径。6.简述如何通过斯托克斯公式计算空间曲线积分∮_{L}（Pdx+Qdy+Rdz）。解答要点：（1）斯托克斯公式∮_{L}（Pdx+Qdy+Rdz）=∫∫_{S}（∂R/∂y-∂Q/∂z）dydz+（∂P/∂z-∂R/∂x）dzdx+（∂Q/∂x-∂P/∂y）dxdy；（2）S为以L为边界的曲面，方向与L符合右手规则；（3）选择最简曲面计算曲面积分，如平面或柱面。7.简述如何计算封闭曲线积分∮_{L}（ydx-xdy），其中L为圆周x^2+y^2=a^2。解答要点：（1）直接计算较复杂，可应用格林公式；（2）设P=y，Q=-x，则∂P/∂y=1，∂Q/∂x=-1，积分值为∮_{L}（1-（-1））dA=2∫∫_{D}dA=2πa^2；（3）也可设参数方程x=acosθ，y=asinθ（θ从0到2π），直接计算验证结果。8.简述如何计算封闭曲线积分∮_{L}（ydx-xdy），其中L为椭圆周x^2/a^2+y^2/b^2=1。解答要点：（1）应用格林公式；（2）设P=y，Q=-x，则∂P/∂y=1，∂Q/∂x=-1，积分值为∮_{L}（1-（-1））dA=2∫∫_{D}dA=2πab；（3）也可通过换元x=au，y=bu计算雅可比行列式，简化为圆周积分。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.计算曲线积分∮_{L}（xydx+xdy），其中L为从点（0，0）到点（1，0）再到点（1，1）的折线段。解答：（1）分段计算：-AB段（x=1，y=t，t从0到0）：dx=0，dy=dt，积分=∫_{0}^{0}（1•t•0+1•dt）=0；-BC段（y=1，x=t，t从0到1）：dx=dt，dy=0，积分=∫_{0}^{1}（t•1•dt+1•0）=1/2；（2）总积分=0+1/2=1/2。2.计算曲线积分∮_{L}（ydx-xdy），其中L为圆周x^2+y^2=1。解答：（1）应用格林公式：设P=y，Q=-x，则∂P/∂y=1，∂Q/∂x=-1，积分值为∮_{L}（1-（-1））dA=2∫∫_{D}dA=2π；（2）也可设参数方程x=cosθ，y=sinθ（θ从0到2π），dx=-sinθdθ，dy=cosθdθ，积分变为∮_{L}（sinθ（-sinθ）-cosθcosθ）dθ=-∫_{0}^{2π}（sin^2θ+cos^2θ）dθ=-2π。3.计算曲线积分∮_{L}（x^2ydx+xy^2dy），其中L为抛物线y=x^2从点（-1，1）到点（1，1）的弧段。解答：（1）设y=x^2，dy=2xdx，积分变为∮_{L}（x^2•x^2dx+x•x^4•2xdx）=∮_{L}（x^4+2x^6）dx=∫_{-1}^{1}（x^4+2x^6）dx=2∫_{0}^{1}（x^4+2x^6）dx=2•（1/5+2/7）=24/35。4.计算曲线积分∮_{L}（yzdx+xdy+yzdz），其中L为螺旋线x=cosθ，y=sinθ，z=θ（θ从0到2π）。解答：（1）将参数方程代入积分：dx=-sinθdθ，dy=cosθdθ，dz=dθ，积分变为∫_{0}^{2π}（sinθθcosθ+cosθsinθ）dθ=π∫_{0}^{2π}sin2θdθ=π•（-1/2）[cos2θ]_{0}^{2π}=0；（2）因yzdx+xdy与z无关，积分简化为π。5.计算曲线积分∮_{L}（ydx-xdy），其中L为椭圆周x^2/a^2+y^2/b^2=1。解答：（1）应用格林公式：设P=y，Q=-x，则∂P/∂y=1，∂Q/∂x=-1，积分值为∮_{L}（1-（-1））dA=2∫∫_{D}dA=2πab；（2）也可通过换元x=au，y=bu计算雅可比行列式，简化为圆周积分∮_{L'}（bu•a•du-ab•b•dv）=2πab。6.计算曲线积分∮_{L}（x^2ydx+xy^2dy），其中L为从点（0，0）到点（1，1）的直线段。解答：（1）设y=x，dx=dy，积分变为∮_{L}（x^2xdx+x•x^2dx）=∮_{L}（x^3+x^3）dx=2∫_{0}^{1}x^3dx=1/2。7.计算曲线积分∮_{L}（yzdx+xdy+yzdz），其中L为从点（1，0，0）到点（0，1，0）再到点（0，0，1）的折线段。解答：（1）分段计算：-AB段（x=1-t，y=t，z=0，t从0到1）：dx=-dt，dy=dt，dz=0，积分=∫_{0}^{1}（0•（-dt）+（1-t）•dt+0•0）=∫_{0}^{1}（1-t）dt=1/2；-BC段（y=1-t，z=t，x=0，t从0到1）：dx=0，dy=-dt，dz=dt，积分=∫_{0}^{1}（（1-t）•0+0•（-dt）+（1-t）•t）dt=∫_{0}^{1}（1-t）^2dt=1/3；-CA段（z=1-t，x=t，y=0，t从0到1）：dx=dt，dy=0，dz=-dt，积分=∫_{0}^{1}（0•dt+t•0+0•（-dt））=0；（2）总积分=1/2+1/3=5/6。8.计算曲线积分∮_{L}（ydx-xdy），其中L为圆周x^2+y^2=1，方向为逆时针。解答：（1）应用格林公式：设P=y，Q=-x，则∂P/∂y=1，∂Q/∂x=-1，积分值为∮_{L}（1-（-1））dA=2∫∫_{D}dA=2π；（2）也可设参数方程x=cosθ，y=sinθ（θ从0到2π），dx=-sinθdθ，dy=cosθdθ，积分变为∮_{L}（sinθ（-sinθ）-cosθcosθ）dθ=-∫_{0}^{2π}（sin^2θ+cos^2θ）dθ=-2π。9.计算曲线积分∮_{L}（x^2ydx+xy^2dy），其中L为抛物线y=x^2从点（-1，1）到点（1，1）的弧段。解答：（1）设y=x^2，dy=2xdx，积分变为∮_{L}（x^2•x^2dx+x•x^4•2xdx）=∮_{L}（x^4+2x^6）dx=∫_{-1}^{1}（x^4+2x^6）dx=2∫_{0}^{1}（x^4+2x^6）dx=2•（1/5+2/7）=24/35。10.计算曲线积分∮_{L}（yzdx+xdy+yzdz），其中L为螺旋线x=cosθ，y=sinθ，z=θ（θ从0到2π）。解答：（1）将参数方程代入积分：dx=-sinθdθ，dy=cosθdθ，dz=dθ，积分变为∫_{0}^{2π}（sinθθcosθ+cosθsinθ）dθ=π∫_{0}^{2π}sin2θdθ=π•（-1/2）[cos2θ]_{0}^{2π}=0；（2）因yzdx+xdy与z无关，积分简化为π。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.C4.C5.B6.D7.C8.C9.A10.B二、填空题1.312.2π13.014.015.-πa^2b^216.1/1217.2π18.1/219.020.2π^2三、判断题1.错误22.错误23.错误24.错误25.错误26.错误27.正确28.正确29.错误30.错误四、简答题1.解答要点：充分必要条件是∂P/∂y=∂Q/∂x在L所围区域D内连续；若D为单连通区域，则条件等价于存在标量函数φ，使得P=∂φ/∂x，Q=∂φ/∂y；计算时需验证条件成立，若不成立需分段处理或选择其他路径。2.解答要点：格林公式∮_{L}（Pdx+Qdy）=∫∫_{D}（∂P/∂y-∂Q/∂x）dA；适用条件：L为平面封闭曲线，方向为逆时针；D为L所