第八节　概率与其他知识的综合

第八节概率与其他知识的综合题点一概率与数列的综合[例1]某学校食堂有A,B两家餐厅,张同学第1天选择A餐厅用餐的概率为13.从第2天起,如果前一天选择A餐厅用餐,那么次日选择A餐厅用餐的概率为34;如果前一天选择B餐厅用餐,那么次日选择A餐厅用餐的概率为12.设他第n天选择A餐厅用餐的概率为(1)求P2的值及Pn+1关于Pn的表达式;(2)证明数列Pn-23是等比数列,并求出{P听课随笔:|思维建模|概率与数列的综合问题涉及的三个方面(1)以数列为背景考查概率问题:此类问题表面看来是数列问题,但实际上常考查互斥事件和相互独立事件的概率,解决这类问题,首先要清楚基本的概率模型的定义,再选择恰当的概率公式解决问题.(2)以期望为背景考查数列求和:此类问题求解的关键是确定变量的所有可能取值及对应的概率,深入考查了数列求和的方法.(3)以概率为背景考查数列通项公式:此类问题的求解关键是通过对概率关系的研究,构造数列.[即时训练]1.某商场为吸引消费者,特别推出“玩游戏,送大奖”的活动,游戏规则如下:棋盘上从左到右共有16个格子,依次标有数字0~15,每个参赛者的起始点都在“0”处,游戏过程中参赛者需要通过掷骰子来决定棋子移动的格子数,若掷出的点数不超过4,则向右移动1格,否则向右移动2格,每位参赛者最多掷10次骰子,每次掷骰子的结果互不影响,10次内移动到终点则可获得奖品.记棋子移动到“m”处的概率为Pm.(1)当掷骰子4次时,求P6;(2)记P0=1,证明数列{Pm-Pm-1}(1≤m≤15)是等比数列.题点二概率与函数、导数的综合[例2]《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康,保障未成年人合法权益,根据宪法制定的法律.某中学为宣传未成年人保护法,特举行了一次未成年人保护法知识竞赛.竞赛规则如下:两人一组,每一轮竞赛中,小组两人分别选答两题,两人答题互不影响.若答对题数合计不小于3,则称这个小组为“优秀小组”.已知甲、乙两位同学组成一组,且甲、乙答对每道题的概率分别为P1,P2.(1)若P1=34,P2=12,求在第一轮竞赛中,该组成(2)若P1+P2=32,求该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最值听课随笔:|思维建模|通过设置变量,利用数学期望、方差或概率的计算公式构造函数,是概率与函数问题结合最常用的方式.解决此类问题,应注意两个问题:(1)准确构造函数,利用公式搭建函数模型时,由于随机变量的数学期望、方差,随机事件概率的计算中涉及变量较多,式子较为复杂,所以准确运算化简是关键;(2)注意变量的取值范围,一是题中给出的范围,二是实际问题中变量自身取值的限制.[即时训练]2.(2026·昆明模拟)某地区为选拔运动员举行了一次运动会(采用积分制),运动员通过参加各项比赛获得积分.现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的积分,规定两名运动员谁先赢k(k>1,k∈N*)局,谁就能获得该项比赛的全部积分,根据以往经验,每局比赛甲赢的概率为p,乙赢的概率为1-p,每局比赛相互独立.(1)若k=2,p=23,在乙先赢了第一局的条件下,求甲最终赢得全部积分的概率(2)在甲赢了m局,乙赢了n局时,比赛意外终止.对于积分应该如何分配,评委给出的方案是根据以往经验数据,甲、乙按照若比赛继续进行下去各自赢得全部积分的概率之比P甲∶P乙分配积分.①若k=3,m=2,n=1,p=35,求P甲∶P乙②若k=4,m=2,n=2,求比赛继续进行下去甲赢得全部积分的概率f(p),并判断p∈78,1时,若比赛继续进行下去乙赢得全部积分的概率是否小于5%.第八节概率与其他知识的综合题点一概率与数列的综合[例1](1)设An=“第n天去A餐厅用餐”,Bn=“第n天去B餐厅用餐”,则Ω=An∪Bn,且An与Bn互斥.根据题意得P1=P(A1)=13,P(B1)=1-P(A1)=23,P(Bn)=1-P(AP(An+1|An)=34,P(An+1|Bn)=12,P2=P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=13×34+23×12=712,Pn+1=P(An+1)=P(An)P(An+1|An)+P(Bn)P(An+1|Bn)=34Pn+12(1-Pn),即P(2)证明:Pn+1-23=14Pn+12-23=14Pn-16=14(Pn-23),又因为P所以Pn-23是以-13所以Pn-23=(13)×(14)n-1,从而Pn=2[即时训练]1.解:(1)由题意得,骰子向右移动1格的概率为46=23,骰子向右移动2格的概率为13,掷骰子4次时,棋子移动到“6”处的路径有如下6种情况:0→1→2→4→6;0→1→3→4→6;0→1→3→50→2→3→4→6;0→2→3→5→6;0→2→4→5→6.所以P6=6×23×23×13×13=(2)证明:当m=1时,棋子移动到“1”处,掷骰子1次且其点数不超过4点,即P1=23,则P1-P0=-13;当m=2时,棋子移动到“2”处,掷骰子1次且其点数超过4点或掷骰子2次且每次的点数都不超过4点,即P2=13+23×根据题意,棋子移动到“m”处的情况有两种:①m=(m-2)+2,即上一次掷骰子结束后棋子在“m-2”处,再掷骰子1次且其点数超过4点,移动2格,其概率为13Pm-2②m=(m-1)+1,即上一次掷骰子结束后棋子在“m-1”处,再掷骰子1次且其点数不超过4点,移动1格,其概率为23Pm-1所以Pm=13Pm-2+23Pm-1(2≤m≤15),所以Pm-Pm-1=-13(Pm-1-P经验证,P2-P1=79-23=19=-13(P1所以数列{Pm-Pm-1}(1≤m≤15)是首项为-13,公比为-13题点二概率与函数、导数的综合[例2](1)记事件A:“在第一轮竞赛中,该组成为‘优秀小组’”,事件B:“甲答对两题,乙答对一题”,事件C:“甲答对一题,乙答对两题”,事件D:“甲、乙都答对两题”,易知事件B,C,D彼此互斥,且P(B)=(34)2×2×12×(1-12)=,P(C)=2××(1-)×()2=,P(D)=()2×()2=.因为A=B∪C∪D,所以P(A)=P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=++=,所以在第一轮竞赛中,该组成为“优秀小组”的概率为.(2)设甲、乙所在小组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率为P,则P=×2P2(1-P2)+2P1(1-P1)+=P1P2[2P1(1-P2)+2(1-P1)P2+P1P2]=P1P2[2(P1+P2)-3P1P2].因为P1+P2=,所以P2=-P1,又0≤P1≤1,0≤P2≤1,则0≤-P1≤1,即≤P1≤1,而P1P2=P1(-P1)=-(P1-)2+∈,].令t=P1P2∈[,],则P=-3t2+3t=-3(t-)2+.因为函数P=-3(t-)2+在,]上单调递减,所以当t=时,P取最大值,此时,P1=,P2=1或P1=1,P2=;当t=时,P取最小值,此时,P1=P2=.所以该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最大值为,最小值为.[即时训练]2.解:(1)由题意,若k=2,p=,且乙先赢了第一局,则甲要赢得全部积分,必须赢得后面2局比赛,所以甲最终赢得全部积分的概率为×=.(2)①设比赛再继续进行X局,甲获胜,当X=1时,甲以3∶1获胜,P(X=1)=.,当X=2时,甲以3∶2获胜,P(X=2)=×=,所以甲赢得全部积分的概率为+=,乙赢得全部积分的概率为1-=,故P甲∶P乙=21∶4.②设比赛再继续进行Y局,甲赢得全部积分,当Y=2时,甲以4∶2获胜,P(Y=2)=p2,当Y=3时,甲以4∶3获胜,P(Y=3)=p(1-p)·p