第五节　事件的相互独立性、条件概率、全概率公式

第五节事件的相互独立性、条件概率、全概率公式[明确目标]1.了解两个随机事件独立性的含义,结合古典概型,利用独立性计算概率.2.了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.3.理解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率.4.会利用全概率公式计算概率.Ⅰ.|落|实|教|材|主|干|知|识|1.相互独立事件概念对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)·P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立性质若事件A与B相互独立,那么A与B,A与,A与B也都相互独立

2.条件概率及性质(1)概念:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,称P(B|A)=P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下(2)条件概率的性质:设P(A)>0,则①P(Ω|A)=;

②任何事件的条件概率都在之间,即;

③如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=;

④设B和B互为对立事件,则P(B|A)=.

(3)概率的乘法公式由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=,我们称该式为概率的乘法公式.

3.全概率公式一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=P(Ai)P(B|Ai).我们称该公式为全概率公式.4.贝叶斯公式*设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)PⅡ.|练|悟|教|材|固|基|小|题|1.(人A必修②P253T2改编)若P(AB)=19,P(A)=23,P(B)=13,则事件A与B的关系是(A.事件A与B互斥B.事件A与B对立C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又相互独立2.(人A必修②P251例2改编)甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为()A.0.12 B.0.42C.0.46 D.0.883.(人B选必修②P57T3改编)已知P(A)=0.8,P(B|A)=0.6,P(B|A)=0.1,则P(B)=.

题点一事件的相互独立性考法(一)相互独立事件的判断[例1]判断下列各对事件是不是相互独立事件.(1)甲组有3名男生,2名女生,乙组有2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;(2)掷一枚骰子一次,事件A:“朝上面的点数为偶数”,事件B:“朝上面的点数为3或6”.听课随笔:|思维建模|判断两个事件是否相互独立的方法(1)直接法:直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.(2)定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.(3)转化法:由事件A与事件B相互独立知,A与B,A与B,A与B也相互独立.考法(二)相互独立事件的概率[例2]小刚参与一种答题游戏,需要解答A,B,C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a,a,12,且各题答对与否互不影响,若他恰好能答对两道题的概率为14,则他三道题都答错的概率为(A.12 B.1C.14 D.|思维建模|求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较复杂(如求用“至少”表达的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算.判断事件相互独立,一般用定义判断.(3)如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An).[即时训练]1.[多选]先后抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A表示“第1枚正面向上”,事件B表示“第2枚反面向上”,事件C表示“恰有1枚正面向上”,事件D表示“两枚都正面向上”,则()A.A与B相互独立 B.A与C相互独立C.A与D相互独立 D.B与D互斥2.甲、乙、丙3名学生各自回答同一个问题,回答正确与否互不影响.已知:①甲回答正确的概率为13;②3名学生至少有1人回答正确的概率为34;③乙回答正确且丙回答错误的概率为14,则甲、乙、丙均回答题点二条件概率[例3](2026·郑州模拟)甲、乙、丙、丁四名农业专家被派驻到A,B,C三个村进行农业技术指导,若要求每个村至少派驻一名专家,且每名专家只能被派驻到一个村,则在甲被派驻到A村的条件下,甲、乙被派驻到同一个村的概率为()A.16 B.1C.23 D.|思维建模|求条件概率的常用方法(1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=P(AB(2)样本点法:用古典概型的概率计算公式,先求事件A所包含的样本点个数n(A),再求事件AB所包含的样本点个数n(AB),则P(B|A)=n(注意:不要混淆条件概率与积事件的概率.[即时训练]3.同时投掷两枚质地均匀的骰子,设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数,事件B为两枚骰子点数之和为8,则P(B|A)=()A.536 B.C.118 D.4.一个数学兴趣小组共有2名男生、3名女生,从中随机选出2名参加交流会,在已选出的2名中有1名是男生的条件下,另1名是女生的概率为.

题点三全概率公式的应用[例4](1)小张一家打算去甲市或乙市旅游,去甲市与乙市的概率分别为0.7,0.3,在甲市去游乐园的概率为0.6,在乙市去游乐园的概率为0.4,则小张一家去游乐园的概率为()A.0.48 B.0.49 C.0.52 D.0.54(2)甲袋中有3个红球,2个白球和1个黑球,乙袋中有4个红球,1个白球和1个黑球(除颜色外,球的大小、形状完全相同).先从甲袋中随机取出1球放入乙袋,再从乙袋中随机取出1球.分别以A1,A2,A3表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件,以B表示由乙袋取出的球是红球的事件,则P(B|A1)=,P(B)=.

|思维建模|利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准,将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n).(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai).(3)代入全概率公式计算.[即时训练]5.跑步运动越来越受大众喜爱.据统计,某校有高一、高二、高三三个年级,这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%,30%,35%,且这三个年级的教师人数之比为3∶3∶4,现从这三个年级中随机抽一名教师,则该教师喜欢跑步的概率为()A.0.35 B.0.32 C.0.45 D.0.366.某仓库有同样规格的产品12箱,其中甲、乙、丙三个厂分别生产了6箱、4箱、2箱,且三个厂的次品率分别为112,110,115.现从这12箱中任取一箱,再从取得的一箱中任意取出一个产品.若已知取得的一个产品是次品,第五节事件的相互独立性、条件概率、全概率公式Ⅰ.落实教材主干知识1.B2.(2)10和10≤P(B|A)≤1P(B|A)+P(C|A)1-P(B|A)(3)P(A)P(B|A)Ⅱ.练悟教材固基小题1.C2.D3.0.5题点一事件的相互独立性[例1](1)定性法“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以二者是相互独立事件.(2)定量法样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6},A={2,4,6},B={3,6},AB={6},所以P(A)=36=12,P(B)=26=13,P(AB)=16=12×13,即P(AB)=P(A)P(B[例2]选C记小刚答对A,B,C三道题分别为事件D,E,F,且D,E,F相互独立,且P(D)=P(E)=a,P(F)=12.恰好能答对两道题为事件DEF+DEF+DEF,且DEF,DEF,DEF两两互斥,所以P(DEF+DEF+DEF)=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)=P(D)P(E)P(F)+P(D)P(E)P(F)+P(D)P(E)P(F)=a×a×1-12+a×(1-a)×12+(1-a)×a×12=14,整理得(1-a)2故P(DEF)=P(D)P(E)P(F)=(1-a)21-12=12(1-a[即时训练]1.选ABD先后抛掷两枚硬币出现的结果有:正正,正反,反正,反反四种情况,则事件A包含正正,正反两种情况;事件B包含正反,反反两种情况;事件C包含正反,反正两种情况;事件D包含正正一种情况,所以P(A)=P(B)=P(C)=12,P(D)=14,显然P(A∩B)=14=P(A)P(B),P(A∩C)=14=P(A)P(C),P(A∩D)=14≠P(A)P(D),P(D∩B)=02.解析:设甲、乙、丙回答正确的事件分别为A,B,C,由题意知A,B,C相互独立,设P(B)=b,P(C)=c,由①知P(A)=13,根据③可知P(B∩C)=P(B)P(C)=b(1-c)=14,由②至少有1人回答正确的概率为34,可知3名学生回答都不正确的概率为1-34=14,所以P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C)=1-13(1-b)(1-c)所以甲、乙、丙均回答正确的概率为P(A∩B∩C)=13×25×38答案:1题点二条件概率[例3]选A法一直接枚举:记事件E表示甲被派驻到A村,事件F表示甲、乙被派驻到同一个村,则P(E)=13,由题意可知将甲、乙、丙、丁四人分为3组,再将这3组分配给A,B,C三个村,则样本点的总数为n(Ω)=C42A33=36,若事件E,F同时发生,则甲、乙均被派驻到A村,派驻方法有A22=2(种),所以P(EF)=n(EF)n(Ω)=236=法二从结果入手枚举:记事件E表示甲被派驻到A村,事件F表示甲、乙被派驻到同一个村,由题意可知甲被派驻到A村有两种情况:①被派驻到A村的只有甲一人,派驻方法有C32A22=6(种),此时甲、乙不在同一个村;②被派驻到A村的有两人,其中一人是甲,派驻方法有C31A22=6(种),其中甲、乙在同一个村的派驻方法有A22=2(种),所以P(F|[即时训练]3.选D同时投掷两枚质地均匀的骰子,设两枚骰子投出的点数构成有序数对(x,y),则总共有6×6=36种可能,设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数,事件B为两枚骰子点数之和为8,所以事件A包含的样本点个数有3×6=18个,所以P(A)=1836=12.事件B包含的样本点有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个样本点,事件AB包含的样本点有(3,5),(5,3),所以P(AB)=236=118,所以P(B|A)=P(4.解析:记事件A表示“2名中至少有1名男生”,事件B表示“2名中有1名女生”,则“2名中有1名是男生的条件下,另1名是女生”的概率为P(B|A)=P(AB)P(A),而P(AB)=C21C31C52=35,P(A答案:6题点三全概率公式的应用[例4](1)选D设去甲市与乙市旅游分别为事件A1,A2,则P(A1)=0.7,P(A2)=0.3.设事件B为去游乐园,则P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.4.所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.7×0.6+0.3×0.4=0.54.故选D.(2)解析:事件A1表示由甲袋取出的球是红球,当从甲袋中取出一个红球放入乙袋后,乙袋中有5个红球,1个白球和1个黑球,所以由古典概型的概率公式可知P(B|A1)=57.由题意可知P(A1)=36=12,P(A2)=26=13,P(A3)=16,P(B|A2)=47,P(B|A3)=47.所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=12×57+答案:57[即时训练]5.选A设事件A表示随机抽一名教师,该教师喜欢跑步,事件B1,B2,B3分别表示抽到的教师来自高一、高二、高三年级,由题意知P(B1)=33+3+4=0.3,P(B2)=33+3+4=0.3,P(B3)=43+3+4=0.4,P(A|B1)=40%=0.4,P(A|B2)=30%=0.3,P(A|B3)=35%=0根据全概率公式知P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B