2024-2025学年福建福州福清市八年级(下)期末数学试题及答案

数学2024-2025学年福建省福州市福清市八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.(4分)若代数式x−1有意义，则x的取值范围是（）A.x⩾1B.x⩾0C.x>1D.x>02.(4分)以下列长度的三条线段为边，能构成直角三角形的是（）A.2，3，4B.3，4，5C.2，3，D.1，1，3.(4分)矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对边相等B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线相等4.(4分)化简42A.32B.±C.4D.±45.(4分)学校准备购买一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示：颜色白色红色蓝色学生人数100820180学校最终决定购买红色校服，其参考的统计量是（）A.平均数B.中位数C.众数D.方差6.(4分)下列运算中，正确的是（）A.2B.3C.3D.97.(4分)如图，在平行四边形ABCD中，点F是BC延长线上一点，连接AF交CD于点E，下列选项中与∠CEF相等的是（）A.∠ADCB.∠DCFC.∠BAFD.∠AEC8.(4分)一次函数y=ax−a的图象可能是（）A.B.C.D.9.(4分)在正方形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，点E是BC上一点，连接OE，若AB=4，BE=1，则OE的长为（）A.5B.10C.5D.4110.(4分)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(4，y3)，D(xA.2B.3C.4D.5二、填空题（本小题共6小题，每小题4分，共24分）11.(4分)(3)12.(4分)已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(1,2)，则k=13.(4分)计算(5+214.(4分)某校准备从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，两位同学的六次模拟测试成绩如图所示，甲、乙两位同学成绩的方差分别记为S甲2、S乙2，则S甲2S乙15.(4分)一次函数y=kx+b(k≠0)的x与yx−1012y−3159则不等式kx+b>1的解集为.16.(4分)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120∘，AB=2，点P是对角线BD上的一个的动点，则BP+2AP的最小值为三、解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(8分)计算：(1)8−(2)27÷18.(8分)如图，在▱ABCD中，若∠B=60∘，AB=6，BC=10，AE⊥CD于点E，求CE19.(8分)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(1,1)和(1)画出该一次函数的图象.(2)若点P(2,m)在直线AB上，求m20.(8分)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点.(1)尺规作图：作BC边上的中线AF(不写出作法，保留作图痕迹)；(2)连接DE，交AF于点O，求证：点O为DE的中点.21.(8分)某校七、八年级学生参加禁毒知识竞赛（百分制)。为了解两个年级学生的禁毒知识答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.七、八年级成绩的频数分布直方图如下：(数据分成五组：50⩽x<60,60⩽x<70,70⩽x<80,80⩽x<90,90⩽x<100)；b.八年级成绩在80⩽x<90的数据如下（单位：分)：80c.七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表：年级平均数中位数众数方差七年级m767597.89八年级83.33n85140.56根据以上信息，回答下列问题：(1)表中m=______(保留小数点后两位)，n=______；(2)下列推断合理的是______；①由表格数据可知，七年级数据的方差较小，由此可以推断该校七年级学生成绩更好；②若七年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩超过了该校七年级一半以上学生的成绩.(3)竞赛成绩85分及以上记为优秀，该校八年级有600名学生，估计八年级成绩优秀的学生人数.22.(10分)初春时节，草莓飘香，某水果店根据销售经验购进奶油草莓与普通草莓共50千克，且普通草莓的数量不少于奶油草莓的14，能恰好无损耗全部售出.现奶油草莓进价为26元/千克，普通草莓进价为20元/千克.奶油草莓销售单价为36元/千克，普通草莓销售单价为28元/千克，设奶油草莓有x千克，全部售出两种草莓的总利润为y(1)请直接写出y与x的函数关系式；(2)该水果店应如何进货，可使两种草莓全部售完后获得利润最大？最大利润是多少？23.(10分)如图，直线l1：y=2x+4与x、y轴分别交于A、B两点，直线l2：y=−45x+65与x轴交于点C，直线(1)求点P的坐标；(2)点M在直线l2上，若S△MAP=24.(12分)如图1，在△ABC中，∠B=α(0∘<α<90∘)，AD为BC边上的高，AB上有一点E，连接CE交AD于点F(1)若∠BAC=90∘，求证：(2)求∠AFE(用含α的式子来表示）；(3)如图2，点H为边BC的中点，连接AH交CE于点G，求S△AEG25.(14分)折纸是一种充满数学魅力的艺术形式，从“数学眼光发现、数学思维思考、数学语言表达“三个维度分析折纸问题，把纸张看作平面图形，折痕视为直线，从而将折纸问题转化为几何图形的变换问题.【操作发现】如图1，在矩形ABCD中，按如下步骤操作：①如图1−a，第一次折叠矩形ABCD使A与B重合，C与D重合，展平纸片得到折痕MN；②如图1−b，第二次折叠，点C落在MN上，折痕与MN交于点F；③如图1−c，第三次折叠，点D与点E重合；⑤如图1−d，展平纸片；(1)判断△DEH的形状，并说明理由；【初步探究】(2)在（1）的基础上，如图2，作∠BCD的平分线交HF于点P，连接PE，求证：∠PEH=∠CPF；【深入探究】（3）在图2上补全图形，过点P作CD的平行线，分别交HE，BC，HD于点Q，R，S，试判断SP，PQ，QR的数量关系，并说明理由.数学2024-2025学年福建省福州市福清市八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、【答案】A【知识点】二次根式有意义的条件2、【答案】B【知识点】勾股定理的逆定理3、【答案】D【知识点】矩形的性质,平行四边形的性质4、【答案】C【知识点】二次根式的性质与化简5、【答案】C【知识点】众数,方差,统计量的选择6、【答案】D【知识点】二次根式的混合运算7、【答案】C【知识点】平行四边形的性质8、【答案】B【知识点】一次函数的图象9、【答案】A【知识点】平方根,勾股定理,正方形的性质10、【答案】D【知识点】一次函数图象上点的坐标特征二、填空题（本小题共6小题，每小题4分，共24分）11、【答案】3【知识点】二次根式的乘除法12、【答案】2【知识点】一次函数图象上点的坐标特征13、【答案】3【知识点】平方差公式,二次根式的混合运算14、【答案】<【知识点】折线统计图,方差15、【答案】x>0【知识点】一次函数与一元一次不等式16、【答案】2【知识点】平方根,等边三角形的判定与性质,菱形的性质,轴对称-最短路线问题,胡不归问题三、解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、【解答】解：(1)8=2=3(2)27==3−2=1.【知识点】二次根式的混合运算18、【解答】解：作CF⊥AB于点F，则∠BFC=∠AFC=90∵∠B=60∘，AB=6，BC=10∴∠BCF=90∴BF=1∴AF=AB−BF=6−5=1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠ECF=∠BFC=90∵AE⊥CD于点E，∴∠AEC=∠ECF=∠AFC=90∴四边形AECF是矩形，∴CE=AF=1，∴CE的长度为1.【知识点】勾股定理,平行四边形的性质19、【解答】解：（1）描点、连线，画出函数图象，如图所示；(2)将A(1,1)，B(3,5)代入y=kx+b得：解得：&k=2∴直线AB的函数解析式为y=2x−1.∵点P(2,m)在直线AB∴m=2×2−1=3，∴m的值为3.【知识点】一次函数的图象,一次函数图象上点的坐标特征20、【解答】解：（1）如图，作线段BC的垂直平分线，交BC于点F，连接AF，则AF即为所求.(2)证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=1∴OD为△ABF的中位线，∴OD=1∴点O为DE的中点.【知识点】线段垂直平分线的性质21、【解答】解：（1）由题意得，m=55×5+65×8+75×13+85×3+95×1把八年级30个学生的成绩从小到大排列，排在第15和第16个数分别是85，85，故中位数n=85；故答案为：70.66；85；(2)由题意可知，八年级的平均数比七年级高得多，故八年级学生成绩更好，故①说法错误；若七年级小明同学的成绩是84分，高于七年级成绩的中位数，所以能推断他的成绩高于七年级一半或者一半以上，故②说法正确；故答案为：②；(3)600×10+10答：估计八年级成绩优秀的学生人数约400人.【知识点】平方差公式,用样本估计总体,频数（率）分布直方图,加权平均数,中位数,众数,方差22、【解答】解：（1）普通草莓有(50−x)千克，根据题意，得50−x⩾1解得x⩽40，∴0⩽x⩽40，y=(36−26)x+(28−20)(50−x)=2x+400∴y与x的函数关系式为y=2x+400(0⩽x⩽40)(2)∵2>0，∴y随x的增大而增大，∵0⩽x⩽40，∴当x=40时y值最大，y最大50−40=10(千克)。答：购进奶油草莓40千克、普通草莓10千克，可使两种草莓全部售完后获得利润最大，最大利润是480元.【知识点】一次函数的应用-利润问题,二次函数的应用-销售问题23、【解答】解：（1）由题意，联立方程组&y=2x+4∴&∴P(−1,2)(2)由题意，∵直线l2：y=−45x+6∴C(32，又∵直线l1：y=2x+4与x于A∴A(−2,0)∴S∵M在直线l2∴可设M(m，−4∵S∴M在P上方或在PC上.①当M在P上方，∴S∴m=−9∴M(−94，②当M在PC上，∴S∴m=1∴M(14，综上，M(−94，3)或（14【知识点】两条直线相交或平行问题24、【解答】(1)证明：如图，过点E作EN⊥AD于N，∵EN⊥AD，AD⊥CD，∴∠ENF=∠CDF=90∵点F为CE的中点，∴EF=CF，又∵∠EFN=∠CFD，∴△EFN≌△CFD(AAS)∴DF=FN，∵AF∴AF=2DF，∴AN=NF=DF，∵∠BAC=90∘，∴AF=EF=CF，∴CF=2DF；(2)解：∵∠B=α，AD⊥BC，∴∠BAD=90由（1）可知：AN=FN=DF，EN⊥AD，∴AE=EF，∴∠AFE=90(3)解：如图，连接FH，EH，∵点H为边BC的中点，点F为CE的中点，∴HF∥AB，∴∠FHC=∠B，∵AF=EF，∴∠EAF=∠EFA，∴∠BAD=∠CFD，∴∠B=∠FCD，∴∠FCD=∠FHC，∴FH=FC，∴EF=FH=AE=FC，∴四边形AEHF是平行四边形，∴EG=GF，S△AEG∴CF=EF=2EG=2GF，∴CG=3GF，∴S∴S【知识点】全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质25、【解答】(1)解：△DEH是等边三角形，理由如下：由折叠知HE=DH，如图，连接DO，CO，∵由折叠知MN垂直平分CD，∴DO=CO，∵DC=DO，∴△DOC是等边三角形，∴∠ODC=60∴∠ODE=∠CDE=30∵矩形ABCD，∴∠ADC=90∴∠HDE=90∴△DEH是等边三角形.(2)证明：由折叠知∠DHF=∠EHF=30∴∠HKD=90∵CP平分∠BCD，∴∠DCP=1∴∠FPC=∠DHF−∠DCP=15如图，连接PD，过P作PG⊥CD于G，PR⊥BC于R，∴∠PGD=∠PRE=90∵CP平分∠BCD，∴PR=PG，又∵MN垂直平分CD，∴PE=PD，∴△PGD≌△PRE(SAS)∴∠RPE=∠DPG，∴∠DPG+∠GPE=∠RPE+∠GPE=90即∠DPE