九年级数学下册 第26章 二次函数26.2 二次函数的图象与性质2二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第1课时 二次函数y=ax2+c的图象与性质教案 （新版）华东师大版

九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质2二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第1课时二次函数y=ax2+c的图象与性质教案（新版）华东师大版科目Xx授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师张老师授课班级、授课课时2025年12月授课题目（包括教材及章节名称）教学内容分析1.本节课的主要教学内容：本节课将探讨二次函数y=ax^2+c的图象与性质，重点关注抛物线的顶点坐标、对称轴以及开口方向。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课与之前学习的二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质相关联，通过对比分析，帮助学生深化对二次函数图象与性质的理解。核心素养目标1.发展数学抽象思维，通过分析二次函数图象，理解函数性质与系数的关系。

2.培养逻辑推理能力，通过探究抛物线对称性，学会运用几何直观进行推理。

3.提升数学建模意识，将实际问题转化为二次函数模型，解决实际问题。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在九年级上学期已经学习了二次函数的基本概念，包括函数的一般形式、一次函数和二次函数的基本性质。他们已经能够识别一次函数和二次函数的图象，并理解其性质。此外，他们还对抛物线的对称轴和顶点有一定的认识。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：九年级学生对数学的兴趣参差不齐，部分学生对二次函数图象与性质的学习表现出较高的兴趣，尤其是那些对图形和几何有浓厚兴趣的学生。他们在学习上表现出不同的能力，有的学生具有较强的逻辑推理能力，能够快速理解函数性质；而有的学生可能更倾向于直观理解，需要通过图形和实例来辅助学习。学习风格上，有的学生偏好独立思考，有的则更倾向于小组合作学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习二次函数y=ax^2+c的图象与性质时，学生可能会遇到以下困难：一是理解系数a和c对抛物线形状和位置的影响；二是掌握抛物线对称轴和顶点的确定方法；三是将抽象的数学知识应用于解决实际问题。这些困难可能源于对函数概念的理解不够深入，或者是对几何直观感知能力的不足。因此，教学中需要注重帮助学生建立直观模型，并通过实例和练习逐步克服这些挑战。教学资源-投影仪或白板

-多媒体课件

-二次函数图象的动画软件

-直尺、圆规等几何工具

-实物教具（如弹力球或橡皮筋，用于演示抛物线的开口方向）

-学生练习册

-电脑和网络连接，用于在线搜索相关资源或进行在线互动

-教学平台（如教学管理系统或学习平台）教学过程设计一、导入新课（5分钟）

目标：引起学生对二次函数的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“同学们，你们在生活中见过抛物线吗？比如滑滑梯的轨道，是不是感觉它们就像一个微笑的曲线？”

展示一些关于抛物线的图片或视频片段，如弹跳球、火箭轨迹等，让学生初步感受抛物线的魅力或特点。

简短介绍二次函数的基本概念，即形如y=ax^2+c的函数，并指出它在物理学、工程学等领域的重要应用，为接下来的学习打下基础。

二、二次函数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解二次函数的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解二次函数的定义，强调其一般形式y=ax^2+bx+c，并指出a、b、c的系数对函数图象的影响。

详细介绍二次函数的组成部分，包括顶点坐标、对称轴、开口方向等，使用图表或示意图帮助学生理解。

三、二次函数案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解二次函数的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的二次函数案例进行分析，如物体自由落体运动、抛物线运动轨迹等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解二次函数在解决实际问题中的应用。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用二次函数解决实际问题。

四、学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与二次函数相关的主题进行深入讨论，如抛物线的对称性、顶点坐标的求解等。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

五、课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对二次函数的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

六、课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调二次函数的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括二次函数的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调二次函数在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用二次函数。

布置课后作业：让学生完成以下任务：

1.画出一个二次函数的图象，并标出其顶点坐标和对称轴。

2.求解一个二次方程的解，并说明解题过程。

3.思考并举例说明二次函数在生活中的应用。知识点梳理1.二次函数的定义

-形如y=ax^2+bx+c的函数称为二次函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。

-二次函数的图象是一个开口向上或向下的抛物线。

2.二次函数的系数与图象的关系

-系数a决定抛物线的开口方向和大小，a>0时开口向上，a<0时开口向下；|a|越大，开口越窄。

-系数b决定抛物线的对称轴位置，对称轴为x=-b/(2a)。

-系数c决定抛物线与y轴的交点，即抛物线的y轴截距。

3.二次函数的顶点坐标

-顶点坐标为(-b/(2a),c-b^2/(4a))。

-顶点是抛物线的最高点或最低点，根据a的正负确定。

4.二次函数的对称轴

-对称轴为直线x=-b/(2a)。

-抛物线关于对称轴对称。

5.二次函数的增减性

-当x在对称轴左侧时，函数值随着x的增大而增大或减小，具体取决于a的正负。

-当x在对称轴右侧时，函数值随着x的增大而增大或减小，具体取决于a的正负。

6.二次函数的图象与x轴的交点

-二次函数与x轴的交点可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0得到。

-当判别式Δ=b^2-4ac>0时，有两个不同的实数根，即抛物线与x轴有两个交点。

-当Δ=0时，有一个重根，即抛物线与x轴相切。

-当Δ<0时，没有实数根，即抛物线与x轴没有交点。

7.二次函数的应用

-在物理学中，二次函数描述了物体在重力作用下的运动轨迹。

-在工程学中，二次函数用于描述抛物线运动、曲线运动等。

-在经济学中，二次函数可以用于描述需求曲线、成本曲线等。

8.二次函数的图像变换

-平移：将二次函数的图象沿x轴或y轴平移，不改变抛物线的形状。

-伸缩：将二次函数的图象沿x轴或y轴伸缩，改变抛物线的大小。

-反转：将二次函数的图象沿x轴或y轴反转，改变抛物线的开口方向。

9.二次函数的极值问题

-当a>0时，二次函数的极小值为顶点的y坐标。

-当a<0时，二次函数的极大值为顶点的y坐标。

10.二次函数的解法

-直接法：直接观察抛物线与x轴的交点，得到二次方程的解。

-配方法：将二次方程化为完全平方形式，求解得到解。

-求根公式法：使用求根公式求解二次方程的解。内容逻辑关系①二次函数的定义与图象

-定义：y=ax^2+bx+c（a≠0）

-图象：抛物线，开口方向由a的正负决定

②二次函数的系数与图象的关系

-系数a：决定开口方向和大小

-系数b：决定对称轴位置，x=-b/(2a)

-系数c：决定y轴截距

③二次函数的顶点坐标

-顶点坐标：(-b/(2a),c-b^2/(4a))

-最高点或最低点，取决于a的正负

④二次函数的对称轴

-对称轴方程：x=-b/(2a)

-抛物线关于对称轴对称

⑤二次函数的增减性

-对称轴左侧：随x增大而增大或减小，取决于a的正负

-对称轴右侧：随x增大而增大或减小，取决于a的正负

⑥二次函数与x轴的交点

-判别式Δ=b^2-4ac

-Δ>0：两个交点

-Δ=0：一个交点（相切）

-Δ<0：无交点

⑦二次函数的应用

-物理学：物体运动轨迹

-工程学：抛物线运动、曲线运动

-经济学：需求曲线、成本曲线

⑧二次函数的图像变换

-平移：沿x轴或y轴平移

-伸缩：沿x轴或y轴伸缩

-反转：沿x轴或y轴反转

⑨二次函数的极值问题

-极小值：a>0时，顶点的y坐标

-极大值：a<0时，顶点的y坐标

⑩二次函数的解法

-直接法：观察交点

-配方法：化为完全平方形式

-求根公式法：使用求根公式课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了二次函数y=ax^2+c的图象与性质。重点内容包括：

1.二次函数的定义及其一般形式。

2.系数a、b、c对抛物线形状和位置的影响。

3.顶点坐标和对称轴的确定方法。

4.抛物线的开口方向和开口大小。

5.二次函数与x轴的交点及其判别式。

当堂检测：

1.简述二次函数y=ax^2+c的定义和图象特点。

2.解释系数a、b、c对抛物线形状和位置的影响。

3.给定一个二次函数y=2x^2-4x+3，求出其顶点坐标和对称轴。

4.分析二次函数y=x^2-6x+9与x轴的交点情况。

5.将二次函数y=-x^2+4x-3沿x轴向右平移2个单位，写出平移后的函数表达式。

1.复习本节课所学内容，巩固知识点。

2.完成教材中的相关练习题，加深对二次函数的理解。

3.思考二次函数在实际生活中的应用，并尝试举例说明。典型例题讲解1.例题：给定二次函数y=3x^2-6x+2，求其顶点坐标和对称轴。

解答：顶点坐标为(-b/(2a),c-b^2/(4a))，代入a=3,b=-6,c=2，得到顶点坐标为(1,-1)。对称轴为x=-b/(2a)=1。

2.例题：若二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为(2,-3)，求函数的解析式。

解答：顶点坐标为(-b/(2a),c-b^2/(4a))，代入顶点坐标(2,-3)，得到方程组：

-b/(2a)=2

c-b^2/(4a)=-3

解得a=1,b=-4,c=-3，因此函数的解析式为y=x^2-4x-3。

3.例题：二次函数y=2x^2-8x+3与x轴的交点坐标是多少？

解答：令y=0，得到方程2x^2-8x+3=0，使用求根公式或配方法解得x=1或x=3/2，因此交点坐标为(1,0)和(3/2,