13.3.2 三角形的外角

13.3.2三角形的外角【R·数学八年级上册】学习目标理解三角形的外角的概念.经历由特殊到一般的数学思维过程，掌握三角形的内角和定理的推论，体会数学推理的严谨性.问题导入在证明三角形的内角和定理时，我们用过这种方法：BBCAAll12345ABCD想一想：∠ACD这样的角可以怎样描述？它具有什么性质？探究新知知识点

三角形的外角D如图，把△ABC

的一边BC

延长，得到∠ACD.∠ACD是△ABC

的一个外角①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③角的另一边是三角形某边的延长线.ABC像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.ABC想一想：△ABC有多少个外角？124356一共有6个外角：∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6.知识点

三角形的外角每个顶点处都有两个外角，它们是_______.对顶角研究时，通常只在每个顶点处取一个外角进行讨论.如图，下列各角是△ABC

的外角的是（）A.∠4B.∠3C.∠2D.∠11ABC324B针对训练知识点

三角形的外角DABC外角相邻的内角对于外角∠ACD来说，∠ACB是与它相邻的内角，不相邻的内角∠A，∠B是与它不相邻的内角.知识点

三角形的外角思考如图，在△ABC

中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC

的一个外角，你能求出∠ACD的度数吗？∠ACD

与∠A，∠B

的大小有什么关系？DABC70°60°∠ACD=180°–∠ACB

=∠A+∠B=60°+70°

=130°任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？知识点

三角形的外角猜想：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.已知：____________________________________求证：____________________________△ABC中，∠ACD是△ABC

的一个外角.∠A+∠B=∠ACD.∠A+∠B+∠ACB=180°.又∵∠ACD+∠ACB

=

180°，∴∠A+∠B

=∠ACD(等量代换).证明：由三角形的内角和等于180°，得DABC过C

作CE

平行于

AB，∴∠2=∠B

(两直线平行，同位角相等)，∠1=∠A

(两直线平行，内错角相等)，∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.知识点

三角形的外角已知：____________________________________求证：____________________________△ABC中，∠ACD是△ABC

的一个外角.∠A+∠B=∠ACD.DABCE12证法二：知识点

三角形的外角推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的外角.几何画板DABC外角符号语言：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠A+∠B.推论是由定理直接推出的结论.和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据.∠ACD______∠A

∠ACD______∠B

判断：∠ACD=∠A+∠B

＞＞知识点

三角形的外角推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.DABC外角针对训练∠1=40°∠2=140°∠1=110°∠2=70°∠1=50°∠2=140°说出下列各图形中∠1和∠2的度数.教材P16练习（1）（2）（3）针对训练教材P16练习（4）（5）（6）∠1=55°∠2=70°∠1=80°∠2=40°∠1=60°∠2=30°教材P15例题第4题例4

如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD

是△ABC

的三个外角，它们的和是多少？

ABCEFD123教材P15例题第4题解：

由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得

∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3).由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°

=360°.ABCEFD123解法二：如图，∠BAE+∠1=180°①，

∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°–180°=360°.教材P15例题第4题ABCEFD123教材P15例题第4题ABCEFD123解法三：过A

作AM

平行于BC，所以∠ACD=

∠EAM，∠CBF=

∠BAM，所以∠BAE

+∠CBF+∠ACD

=

∠BAE+∠BAM+∠EAM=360°.M知识点

三角形的外角推论：三角形的外角和等于360°.三角形的外角和.几何画板ABCEFD1231.说出下列各图中∠1的度数.30°60°1①45°50°1②35°120°1③∠1=90°∠1=95°∠1=85°随堂演练ACBD分析：∠ADC=∠B+∠BAD∠B=30°，∠ADC=70°∠BAD=40°∠BAC=80°∠C=180°–∠B–∠BAC∠CAD=40°∠C=180°–∠CAD–∠ADC2.如图，在△ABC

中，AD平分∠BAC

交BC

于点D，∠B=30°，∠ADC=70°，则∠C=_____.70°70°30°随堂演练随堂演练3.如图，是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.解：∵∠AFG=∠B+∠D，∠AGF=∠C+∠E，∠A+∠AF