2026年高等代数本科试题及答案

2026年高等代数本科试题及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设A为n阶方阵，且|A|=2，AA.2B.2C.2D.2答案B解析|A2.设α1A.αB.αC.αD.α答案C解析因为(α3.设A,B为A.(B.(C.(D.(答案C解析矩阵乘法不满足交换律，A、D需要交换律；转置运算满足(A4.设A为n阶实对称矩阵，则A.A的特征值一定都是正数B.A的特征值一定都是实数C.A一定可对角化且特征值互异D.A的属于不同特征值的特征向量不一定正交答案B解析实对称矩阵的特征值均为实数，且可正交对角化，不同特征值对应的特征向量必正交，但特征值不一定互异，也不一定为正。5.设λ0是矩阵A的特征值，ξ为对应的特征向量，则ξA.AB.AC.A−1（若D.以上都是答案D解析若Aξ=λ0ξ，则A2ξ=λ二、填空题（每题3分，共15分）1.设D=21答案52.设A=12答案−3.设A是5×7矩阵，若齐次线性方程组Ax=0答案54.二次型f(答案15.设线性变换T在基α1,α2下的矩阵为A=答案3三、计算题（每题10分，共50分）1.计算n阶行列式$$D_n=\begin{vmatrix}

x&a&\cdots&a\\

a&x&\cdots&a\\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\

a&a&\cdots&x

\end{vmatrix}.$$答案：D解析：将第2,3,…,n列都加到第1列，则第1列元素均为x+(n2.求齐次线性方程组$$\begin{cases}

x_1+x_2+x_3+x_4=0,\\

2x_1+3x_2+x_3+x_4=0,\\

x_1+2x_2+2x_3+2x_4=0

\end{cases}$$的基础解系与通解。答案：基础解系为ξ=(0,0解析：对系数矩阵作初等行变换：$$\begin{pmatrix}

1&1&1&1\\

2&3&1&1\\

1&2&2&2

\end{pmatrix}

\to

\begin{pmatrix}

1&0&0&0\\

0&1&0&0\\

0&0&1&1

\end{pmatrix},$$得x1=0，x2=0，3.设矩阵$$A=\begin{pmatrix}

2&1&0\\

0&2&0\\

0&0&3

\end{pmatrix}.$$求A的特征值与特征向量，并判断A是否可对角化。答案：特征值为λ1=2（二重），λ2=3。属于λ1=2的特征向量为k(1,0,0)T解析：特征多项式$$|\lambdaI-A|=

\begin{vmatrix}

\lambda-2&-1&0\\

0&\lambda-2&0\\

0&0&\lambda-3

\end{vmatrix}

=(\lambda-2)^2(\lambda-3).$$对λ=2，解(2I−A)x=0，得x2=x3=4.求正交变换x=f化为标准形，并写出标准形。答案：取正交矩阵$$Q=\begin{pmatrix}

\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\

\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\

\frac{1}{\sqrt{3}}&0&-\frac{2}{\sqrt{6}}

\end{pmatrix},$$令x=f解析：二次型矩阵为$$A=\begin{pmatrix}

2&1&1\\

1&2&1\\

1&1&2

\end{pmatrix}.$$其特征值为4,$$q_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^T,\quad

q_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^T,\quad

q_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)^T,$$以q1,q5.设$$A=\begin{pmatrix}

1&1&-1\\

0&2&2\\

1&-1&0

\end{pmatrix}.$$求A−答案：$$A^{-1}=\begin{pmatrix}

\frac{1}{3}&\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\

\frac{1}{3}&\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\\

-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}

\end{pmatrix}.$$解析：计算得|A$$A^*=\begin{pmatrix}

2&1&4\\

2&1&-2\\

-2&2&2

\end{pmatrix},$$所以A−四、证明题（每题10分，共20分）1.设A为n阶实对称矩阵。证明：A的属于不同特征值的特征向量必正交。答案设λ1≠λ2是A因为A为实对称矩阵，所以AT$$\lambda_1\xi_1^T\xi_2

=(\lambda_1\xi_1)^T\xi_2

=(A\xi_1)^T\xi_2

=\xi_1^TA^T\xi_2

=\xi_1^TA\xi_2

=\xi_1^T(\lambda_2\xi_2)

=\lambda_