2026-2027北师大版九年级（上）课时训练 2.4.1 行程、几何图形及动点问题

【北师大版九年级数学（上）课时练习】§2.4.1行程、几何图形及动点问题一、选择题：1．直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为 ()A．B．5C．D．7二、填空题：2.如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒。若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则所列方程是。三、解答题：3.某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s(m)和时间t(s)之间的关系为s=10t+3t2，那么行驶200m需要多长时间？4.(1)如图，梯子长10m，梯子顶端与地面距离为8m，梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢?

(2)如果梯子的长度是13m，梯子顶端到地面的垂直距离为12m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗?5.如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区.当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km.那么从接到警报开始，经过多长时间轮船会进入台风影响区？(结果精确到0.1h，参考数据：51≈7.14)

6.如图，一次函数y=−2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上(不与点A，B重合)，过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D.点P在何处时，矩形OCPD的面积为1？

7.如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=5cm，BC=7cm.点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，P，Q两点同时出发.

(1)经过几秒后，△PBQ的面积等于6c(2)经过几秒后，PQ的长度等于5cm?(点P不与点A重合)8.已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm.点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动，点P停止运动时点Q也停止运动.设点P，Q的运动时间为ts.

(1)当t的值为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm(2)当t的值为多少时，点P和点Q的距离是10cm？9.如图，在Rt△ACB中，∠C=90∘，AC=30cm，BC=21cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动;动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动.点P，Q的运动速度均为1cm/s.

(1)运动几秒时，P，Q两点相距15cm?(2)运动几秒时，△CPQ的面积占△ABC面积的七分之一?10.如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200nmile处有一重要目标B，在B的正东方向200nmile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.

(1)小岛D与小岛F相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，则相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1nmile)11.某军舰以20kn的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30kn的速度由南向北航行，它能侦察出周围50nmile(包括50nmile)范围内的目标.如图所示，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90nmile.如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能，最早何时能侦察到?如果不能，请说明理由.

12.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲、乙行各几何.”大意是说，如下图，已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/单位时间，乙的速度为3步/单位时间，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多少步?

参考答案B2.(30－2x)(40－2x)＝6003.【答案】解：根据题意，得10t+3t解得t1=−10(不符合题意，舍去)答：行驶200m需要20

4.【答案】【小题1】解：如图，由题意，得AB=10m，AC=8m.

设AD=xm，则BE=xm.

在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=AB2−AC2=102−在Rt△CDE中，由勾股定理，得DC即(8−x解得x1=2，x答：当梯子顶端下滑2m时，梯子底端滑动的距离和它相等.【小题2】可能相等.同(1)可求得，当梯子顶端下滑7m时，梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离相等.

5.【答案】解：如图所示.设xh后，轮船进入台风影响区.根据题意，得CE=30x km，BB′=20x km.∵BC=500km，AB=300km，∴AC=∴AE=400−30xkm∵AE2解得x1=180−10答：轮船经过8.4h进入台风影响区.

6.【答案】解：∵点P在一次函数y=−2x+3的图象上，∴设P(a,−2a+3)(a>0)，

由题意得a(−2a+3)=1，整理得2a2−3a+1=0，

解得a1=1，a2=12，∴−2a+3=1或−2a+3=2.7.【答案】【小题1】解：设经过xs后，△PBQ的面积为6cm2.

根据题意，得12(5−x)⋅2x=6.

解得x1=2，x2=3.【小题2】设经过ts时，PQ的长度为5cm.∵PQ=5cm，

∴PQ2=25=BP2+BQ2，

即25=(5−t)2+(2t)2.

8.【答案】【小题1】解：根据题意，得AP=3t cm，BP=16−3tCQ=2t cm，DQ=∵S梯形PBCQ=33cm答：当t=5时，四边形PBCQ的面积为33c【小题2】如图，过点P作PE⊥CD交CD于点E.∴QE=16−5tcm.在Rt△PQE中，∴62+16−5t答：当t的值为85或245时，点P和点Q

9.【答案】【小题1】设运动ts时，P，Q两点相距15cm.

根据题意，得t2+(21−t)2=152，解得t1=9，t2=12.【小题2】设运动xs时，△CPQ的面积占△ABC面积的七分之一.根据题意，得12整理，得x2解得x1=15答：运动6s或15s时，△CPQ的面积占△ABC面积的七分之一.

10.【答案】【小题1】如图，连接DF.

由题意，得AB=BC=200nmile.∵点D位于AC的中点，点F位于BC的中点，∴DF是△ABC的中位线.∴DF=答：小岛D和小岛F相距100nmile.【小题2】设相遇时补给船航行了xnmile，则DE=xnmile，AB+BE=2xnmile.

由题意，得AB⊥BC.

由(1)，得DF是△ABC的中位线.

∴DF//AB.

∴DF⊥BC.

∴∠DFE=90∘.

∵点F位于BC的中点，

∴CF=12BC=100nmile.

∴EF=AB+BC−(AB+BE)−CF=(300−2x)nmile.

在Rt△DEF中，由勾股定理，得x2=1002+(300−2x

11.【答案】解：能.设侦察船最早由B出发经