1.5.1 二次函数的应用（抛物线形）-2026秋浙教版数学九年级上册同步练习

1.5.1二次函数的应用（抛物线形）—浙教版数学九年级上册同步练习一、选择题(共6题；共18分)1．（3分）（2025九上·新昌月考）如上图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m.A．1m B．2m C．3m2．（3分）（2024九上·杭州期中）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB=8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC=1m，则门高OE为（）A．9m B．647m C．8.7m 3．（3分）（2025九上·义乌开学考）某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为y=−116x2，正常水位时，水面宽AB为16 m，此时拱顶A．4 m B．3 m C．2 m D．1m4．（3分）杭州之门位于杭州奥体博览城，总高约310米，刷新了杭州第一高楼的纪录，双塔底部为跨度约62米，高度约34米的巨型抛物线[y=axA．−130 B．130 C．−5．（3分）（2025九上·拱墅月考）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB=8m，然后用一根长为2.4m的小竹竿CD竖直地接触地面和门的内壁，并测得AC=2m，则门高OE为（）A．4m B．3.2m C．3.5m D．3.3m6．（3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出(如图所示)，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=−1A．4米 B．3米 C．2米 D．1米二、填空题(共4题；共12分)7．（3分）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，从钢管流出的水都成抛物线形，以钢管的出水口点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式为y=−14x8．（3分）（2025九上·慈溪期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80m，高度为200m．则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为m．9．（3分）廊桥是我国古老的文化遗产.如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知抛物线的函数表达式为y=−140x10．（3分）（2025九上·义乌期末）如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为y=−12x2+2，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为0.3m，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于0.3m，即图中AP≤0.3m三、解答题(共2题；共0分)11．（0分）（2026九上·浙江期末）如图，游乐园计划在点O处安装一个高2m的喷水头OA，使得喷出的水柱正好落到距离O点10m处的B点，且在距离O点4m处达到最高．已知水柱的形状是抛物线的一部分，现以点O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）（1分）求此抛物线的解析式；（2）（1分）求出水柱的最高点的高度．12．（0分）（2025九上·长兴期中）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米.（1）（1分）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地.（2）（1分）记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1,

答案解析部分1．【答案】B【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2m，抛物线顶点C的坐标为(0，2)，

设顶点式y=ax2+2，把A点坐标(-2，0)代入得a=-0.5，

∴抛物线的解析式为y=-0.5x2+2

当水面下降2.5m，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当y=-2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-2.5与抛物线相交的两点之间的距离，

把y=-2.5代入抛物线解析式得出：-2.5=-0.5x2+2

解得：x=±3

则2×3-4=2

∴水面下降2.5m，水面宽度增加2m

故答案为：B.

【分析】根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案.2．【答案】B【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题【解析】【解答】解：∵AB=8，∴OA=OB=4，∴点A−4,0，B设抛物线的解析式为：y=ax+4∵AC=1，∴OC=OA−AC=3，∵CD=4，∴点D−3,4∴4=a−3+4解得：a=−4∴抛物线的解析式为：y=−4当x=0时，y=−4∴门高OE为647故答案为：B．

【分析】根据所建坐标系及图形特点，利用二次函数的对称性可求出点A、B的坐标，再求出点D的坐标，利用二次函数的两根式可求出函数解析式，再求出当x=0时y的值，可得到门的高度.3．【答案】A【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题【解析】【解答】解：∵水面宽AB为16 m，∴B的横坐标为8把x=8代入y=−得：y=−∴B∴此时拱顶O到水面AB的距离为4m

故答案为：A．

【分析】按照题目的要求，将x=8代入解析式y=−4．【答案】A【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题【解析】【解答】解：建立如图的平面直角坐标系，∴顶点C(0，34)，B(31，0)，设抛物线的解析式为y=a把B(31，0)代入得0=a×312∴a接近于−故答案为：A.【分析】建立平面直角坐标系，设函数解析式为y=ax5．【答案】B【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题【解析】【解答】解：由题意得，抛物线过点A(−4,0)、B(4,0)、D(−2,2.4)，设y=a(x+4)(x−4)，把D(−2,2.4)代入y=a(x+4)(x−4)，得2.4=a(−2+4)(−2−4)，解得a=−1∴y=−1令x=0得y=3.2，∴OE=3.2，∴门的高度约为3.2m．故选：B．【分析】先根据抛物线的特征确定抛物线上三个点的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式，最后通过令抛物线表达式令x=0求出门高.6．【答案】C【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题【解析】【解答】解：y=−12x2+2x=−故答案为：C.【分析】先将解析式化成顶点式，根据顶点坐标即可得出答案.7．【答案】2.2【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题【解析】【解答】解：由题意，∵令y=-1，则y=−14∴x=−2或x=2(舍去)。∴水池宽至少是2+0.2=2.2(米)。故答案为：2.2.【分析】依据题意，令y=-1，则y=−18．【答案】40【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题【解析】【解答】解：建立如下直角坐标系，

点B的坐标为（40，0），点E的坐标为（0，200）

设抛物线的解析式为y=ax2+200，

则0=1600a+200，

解得：a=-18，

∴抛物线的解析式为y=-18x2+200，

当y=150时，即150=-18x2+200，

解得：x=±20，故答案为：40.【分析】建立合适的直角坐标系，点B的坐标为（40，0），点E的坐标为（0，200）

设抛物线的解析式为y=ax2+200，将点B、点E的坐标代入即可求出a的值，再将y=150代入解析式，进而得出答案.9．【答案】85【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题【解析】【解答】解：由于两盏E、F距离水面都是8m，因而两盏景观灯之间的水平距离就是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值.故有−即x所以两盏警示灯之间的水平距离为：∣故答案为：85【分析】已知抛物线上距水面AB高为8米的E、F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把y=8代入抛物线解析式，可求E、F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求EF长.10．【答案】解：令y=0，则−12x2+2=0，解得x=2或x=−2，∴AB=4，∵相邻支撑杆之间的距离为0.3m，AP≤0.3m，BQ≤0.3m，∴在y轴右侧x=0.15，0.45，0.75，1.05，1.35，1.65,1.95【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题【解析】【分析】由抛物线上点的坐标特征可令y=0，则可求出x的值为±2，则AB＝4，再由抛物线的轴对称性质可先在y轴右侧0.15米处开始安装支撑杆，则剩余距离1.85米可安装6根撑杆，且第6根撑杆距离点B0.05米，即右侧可安装7根撑杆，同理左侧也可安装7根撑杆，即最多可安装14根撑杆．11．【答案】（1）解：由题意得OA=2m，OB=10m，

∴A0,2，B10,0．

∵喷出水柱在距离O点4m处达到最高，

∴抛物线的对称轴为直线x=4，

设抛物线的解析式为y=ax−42+c，

∵抛物线过点A0,2，B10,0，

∴16a+c=2（2）解：由（1）有抛物线的解析式为y=−110x−42+185，

∴【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题【解析】【分析】（1）由题意得A0,2，B10,0，抛物线的对称轴为直线x=4，因此设抛物线的解析式为（2）水柱的最高点的高度等于顶点纵坐标的值，由（1）的抛物线解析式得到顶点坐标，即可得出答案.（1）解：由题意得OA=2m，OB=10m，∴A0,2，B∵喷出水柱在距离O点4m处达到最高，∴抛物线的对称轴为直线x=4，设抛物线的解析式为y=ax−4∵抛物线过点A0,2，B∴16a+c=236a+c=0，解得a=−∴抛物线的解析式为y=−1（2）解：由（1）有抛物线的解析式为y=−1∴抛物线的顶点坐标为4,18∴水柱的最高点的高度为18512．【答案】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为(10，6)，设水流形成的抛物线为y=ax−102∴抛物线为y=−1y=−答：能浇灌到小树后面的草坪