3.5 《圆周角》（2）-2026秋浙教版数学九年级上册课堂分层训练

试卷第试卷第=PAGE1页共=SECTIONPAGES10页试卷第试卷第=PAGE2页共=SECTIONPAGES10页3.5《圆周角》（2）浙教版数学九年级上册课堂分层训练姓名：__________班级：__________学号：__________一、基础夯实（共9题）1．下列说法中错误的是（

）A．等弧所对的弦相等 B．平分弦的直径垂直于弦C．同弧或等弧所对的圆周角相等 D．的圆周角所对的弦是直径2．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=24°，则∠ABD=（

）A．54° B．56° C．64° D．66°3．如图，用直角曲尺检查制作成半圆形的工件，则合格的工件是（

）A． B．C． D．4．如图，为⊙直径，点在⊙上，如果，那么的度数为（

）A． B． C． D．5．如图，是的直径，弦与交于点E，连接，．若，则（

）A． B． C． D．6．如图，是的直径．点在上，是的切线，且为切点．已知，则．7．如图所示，为的直径，点B、C在圆上，，则．8．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且OD∥AC，OD与BC交于点E．（1）求证：E为BC的中点；（2）若BC=8，DE=3，求AB的长度．9．如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点，交于点．（1）求证：；（2）求的度数．二、能力提升（共10题）10．如图，，为上两点，为的直径．若，则的度数为（

）A． B． C． D．11．如图，AB是的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC，AD.若，则（

）A． B． C． D．12．如图，在等腰三角形ABC中，，经过A，B两点的与边AC切于点，与边BC交于点D，AE为直径，连结DE，若，则的度数为（

）A． B． C． D．13．如图，为的内接三角形，为的直径，点D在上，，则的度数等于．

14．如图，是的直径，分别是弦的中点，，则的长是15．如图，AB是⊙O的弦，C是优弧上一动点，连接AC，BC，M，N分别是AB，BC的中点，连接MN．若AB＝8，∠ACB＝45°，则MN的最大值为．16．如图，是的内接三角形，AC是的直径，的平分线BD交于点，则的度数是度。17．如图，C、D是以线段为直径的上两点（位于两侧），，且，则的度数是．18．如图，，是的两条弦，且．（1）求证：；（2）连接，，求证：．19．如图，的直径为10，弦为6，D是的中点，弦和交于点F，且．（1）求证：；（2）求证：（3）求的长．三、综合拓展（共2题）20．请阅读材料，并完成下列问题．阿基米德折弦定理阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即．（1）下面是用“截长法”证明的部分过程．证明：如图2，在上截取，连接．是的中点，．．．．．请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分．（2）在图1中，若，求的半径．21．在内接于，点在上，连结，分别交于点，，．

（1）求证：．（2）若．①求证：．②若，，求的长．答案第答案第=PAGE1页共=SECTIONPAGES10页答案第答案第=PAGE2页共=SECTIONPAGES10页【答案区】1．【答案】B【解析】【解答】解：A、等弧所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弦相等，故“等弧所对的弦相等”正确，Ａ错误.B、平分弦的直径垂直于弦，弦需满足不是直径，两条直径互相平分，但不一定垂直，“平分弦的直径垂直于弦”说法错误，Ｂ正确.C、同弧或等弧所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧相等，故“同弧或等弧所对的圆周角相等”说法正确，Ｃ错误.D、的圆周角所对的圆心角为180度，故两半径共线，即是直径.故“的圆周角所对的弦是直径”说法正确，Ｄ错误.故答案为：B．【分析】根据等弧所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弦相等，平分弦的直径垂直于弦，弦需满足不是直径，两条直径互相平分，但不一定垂直，同弧或等弧所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧相等，的圆周角所对的圆心角为180度，故两半径共线，即是直径即可判断.2．【答案】D【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠A=∠BCD=24°，∴∠ABD=90°-∠A=90°-24°=66°．故答案为：D．【分析】利用圆周角定理可得∠ADB=90°，∠A=∠BCD=24°，然后根据直角三角形的两锐角互余得到∠ABD的度数．3．【答案】D【解析】【解答】解：因为直径所对的圆周角是直角，A、B、C图形中的曲尺一边不在半圆上，不构成直径；

∴只有D选项正确，其他均不正确；故答案为：D．【分析】根据直径所对的圆周角是直角对三个工件进行分析A、B、C图形中的曲尺一边不在半圆上即可得到答案．4．【答案】A【解析】【解答】解：∵是的直径，

∴，

∴；

∴．

故答案为：A．

【分析】根据圆周角定理的得到，再求出度数，同弧所对的圆周角相等得．5．【答案】C【解析】【解答】解：连接，∵是的直径，∴，∵，∴．故选：C．【分析】连接，利用直径所对的圆周角是直角可得，再根据圆周角定理得到，求出∠ADC即可解题．6．【答案】【第1空】67；【解析】【解答】解：∵AD是⊙O的直径，点B在⊙O上，AC是⊙O的切线，A为切点.在中，故答案为：67.

【分析】根据切线的性质得到由此得到根据AD是直径可得由直角三角形两锐角互余即可求解.7．【答案】【第1空】30°；【解析】【解答】解：如图，连接，∵为的直径，∴，

∵，∴，∵，∴，故答案为：30°．【分析】根据直径所对的圆周角是直角得，从而得，进而根据圆周角定理即可求解．8．【答案】（1）证明：∵是的直径，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴为的中点；

（2）解：设的半径为，则，

∵，

∴，

∵，

∴由（1）得，

在中，有，

∴，

解得：，

∴.【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角以及两直线平行，同位角相等可得，由垂径定理得，即可得证结论；（2）设的半径为，则，，根据垂径定理得，然后在中，利用勾股定理列方程求出的值，从而得出的长度.9．【答案】（1）解：连接，如图，

∵为半圆的直径，

∴，即，

∵是等腰三角形，即，

∴平分，

∴，

∴；（2）解：连接，如图，

∵，

∴，

∴，

∴的度数为100°．【解析】解：连接，如图，∵为直径，∴，即，∵是等腰三角形，∴，∴；解：连接，∵，∴，∴，则的度数为．【分析】（1）连接，先根据圆周角定理推论得，然后再根据等腰三角形”三线合一“的性质得，进而由圆周角定理得证结论；（2）连接，根据圆周角定理求得，从而得，即可得到答案.10．【答案】B【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：∵∠B和∠D都为弧AC所对的圆周角，

∴∠B=∠ADC=25°.

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠OBC=25°.

∴∠BOC=180°－25°×2=130°.

故答案为：B.

【分析】连接BC，根据圆周角定理求得∠B的度数，再根据等腰三角形的性质得∠OCB，即可得到答案.11．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，故答案为：C.【分析】根据圆周角定理求出.根据直角三角形的性质求出.再根据圆周角定理求解即可.12．【答案】C【解析】【解答】解：AE和BC相交于点F，如图：∵AE为直径，AC为过点A的切线，

∴∠EAC=90°，

Rt△AFC中，∵∠C=35°，

∴∠AFC=90°－∠C=55°.

∵AB=AC，∠C=35°，

∴∠BAE=∠AEC－∠B=55°－35°=20°.

∴∠BDE=∠BAE=20°。

故答案为：C.

【分析】设AE和BC相交于点F，根据切线的性质和直角三角形的性质可得∠AFC的度数，再利用外角的性质的可求得∠BAE，即可利用圆周角定理求出∠BDE的度数.13．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：∵为的直径，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：.【分析】先根据直径所对的圆周角是直角，求出，再根据直角三角形中的两个锐角互余，得到，接着利用圆周角定理求得，最后利用角的差求出的度数．14．【答案】【第1空】4；【解析】【解答】解：∵AB是的直径，

∴∠C=90°，∵AC=12，BC=5，

∴，

∴，

∵O、D分别是AB、AC的中点，

∴OD是中位线，

∴，

∴，

故答案为：4.【分析】根据”直径所对的圆周角是直角“得∠C=90°，然后利用勾股定理求出AB=13，从而得，根据三角形中位线的定理得，最后求MD=OM-OD的值即可.15．【答案】【第1空】4；【解析】【解答】解：过点A作⊙O的直径，交⊙O于点D，连结BD

∵BC，M，N分别是AB，BC的中点

∴MN是△ABC的中位线

∴

∴当AC取最大值时MN为最大值

∵AC是⊙O的弦

∴AC的最大值为⊙O的直径

∵∠ACB＝∠ADB

∵∠ACB＝45°

∴∠ADB＝45°

∵AC是直径

∴∠ABD=90°

∴AB=BD

∵AB＝8

在Rt△AND中

∴MN最大值=

故答案为：4.

【分析】根据MN是△ABC的中位线，得到，从而将球MN的最大值转化为求弦AC的最大值，根据圆中最大的弦是直径，在利用直径所对的圆周角是直角，用勾股定理即可求出直径.16．【答案】【第1空】80；【解析】【解答】解：∵是的直径，∴，∵平分，∴，∵，∴．故答案为：80．【分析】本题考查圆周角定理及推论，三角形内角和定理和角平分线定义．根据圆周角定理及推论得到，根据平分，利用角平分线的定义可得：，利用角的计算可得：，利用三角形内角和定理可得：，再代入数据进行计算可求出答案.17．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：∵是直径，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【分析】先根据直径所对的圆周角是直角得到，然后得到，然后利用等腰三角形的性质得到∠DAC的度数，根据，解题即可．18．【答案】（1）证明：∵∴，

∴，

∴，

∴（2）证明：如图，

由（1）知：，

∵所对的弧是，所对的弧是，

∴，

∴【解析】证明：∵∴，∴，∴，∴；证明：如图，由（1）知：，∵所对的弧是，所对的弧是，∴，∴．【分析】（1）利用已知可证得，再根据在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等，可证得结论.（2）根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可证得，然后利用平行线的判定可证得结论.19．【答案】（1）证明：，

，

，

，

，

，

；（2）证明：是的中点，

，

，

由（1）得，

，

，

，

；（3）解：如图，过点作于点，连接，

，

为的直径，

，

由（2）得，

，

，

，

，

，

又，，

，

，

，

，

，

，

．【解析】证明：，，，，∴；证明：是的中点，∴，，，，即，∴；解：过B作于点H，连接，为的直径，，由（2）可知，∴，，在等腰直角三角形中，，在中，，．【分析】（1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质得，由对顶角相等及圆周角定理得，最后根据等腰三角形的判定得证结论；（2）根据圆周角定理得，由（1）得，然后结合三角形外角的性质证明，即可得证结论；（3）过点作于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角得，由（2）得，从而得，进而得，然后利用勾股定理得，结合圆周角定理得，于是得，同理利用勾股定理得，则，最后求的值即可.20．【答案】（1）证明：在中，∠A=∠C，（同弧所对的圆周角相等）在△ABD和△CED，∠A=∠C

AB=EC

AD=DC，∴△ABD≌△CED，∴BD=ED，又∵DM⊥BC，∴BM=ME，（等腰三角形三线合一）∴CM=EC+EM=AB+BM．（2）解：如图，过点O作OF⊥DM于点F，OG⊥BC于点G，连接DO、CO、MO由（1）可知∵OG⊥BC于点G，

∴CG=BG=4，(垂径定理）

MG=MC-CG=1

在△DMO和△CMO中

DM=CM=5，DO=CO，MO=MO

∴△DMO≌△CMO(SSS)

∴∠OMD=∠OMC=45°，∠MOG=90°-45°=45°

∴MG=OG=1

在Rt△COG中

∴故圆的半径是．【解析】证明：是的中点，，，在中，，在和中，，，，，，．解：如图，过点作于点，于点，连接，，，由（1）可知，过圆心且，，，，四边形是矩形，，，，，．