4.4《两个三角形相似的判定》（1）-2026秋浙教版数学九年级上册课堂分层训练

4.4《两个三角形相似的判定》（1）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练一、基础夯实1．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD平分∠ABC，∠ACE=∠ABD，则与△BEF一定相似的三角形为()A．△BFC B．△BDC C．△BDA D．△CEA2．下列条件中，一定能判定两个等腰三角形相似的是()A．都含有一个50°的内角 B．都含有一个70°的内角C．都含有一个80°的内角 D．都含有一个100°的内角3．（2024九上·杭州期中）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠BCD=90°，连接AC，BD交于点E，若AD=5，AC=10，BC=20，则AE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2024九上·奉化期中）如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，图中与△ADC相似的三角形为5．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=6，AC=3，则AD=．

6．（2023九上·拱墅月考）如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F．（1）求证：△ABF∽△ECF；（2）如果AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，求CE的长．7．（2024九上·杭州期中）如图，在平行四边形ABCD中，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB=∠C．（1）求证：△ADE∽△DBE；（2）若DE=210cm，AE=8cm，求8．（2023九上·义乌期中）如图，点D在边BC上，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若S△ABC:S△ADE=16:25二、填空题9．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB.若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是()A．1 B．2 C．3 D．410．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件.下列拟添加的条件中，错误的是()A．∠ACD=∠DAB B．AD=DEC．AD211．（2024九上·宁波月考）如图，AB是O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧BC上任意一点，线段AG与DC交于点F，连接AD，GD，CG.若AG⋅AF=15，CD=23，则OA．4 B．25 C．52312．（2024九上·宁波月考）正方形ABCD的边长AB=2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（）A．556 B．25−33 13．如图，点C在∠AOB的内部，∠OCA=∠BCO，∠OCA与∠AOB互补.若AC=1.5，BC=2，则OC=14．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点E，F.若AB=28，BC=36，则BEEF的值为15．（2025九上·温州开学考）如图，点A，B分别在反比例函数y=k1x(k1>0,x>016．（2025九上·温州开学考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB上一点，AEBE=56，连接DE并延长交CB的延长线于点F.连接CE，过点A作AG∥EC交DE于点G，若AG=10，则17．（2025九上·义乌期中）如图，已知∠1=∠2，∠F=∠C．（1）试说明△ABC∽△AEF；（2）若AEAB=25，18．（2025九上·杭州月考）如图，A，B，C是⊙O上的三点，且AB=2BC．过点B作BE⊥OC于点E，延长BO交⊙O于点D，连结（1）若∠ADB=62°，求∠OBE的度数；（2）求证：AB=2BE．19．如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，EHBH（1）求证：EH（2）当∠CGF=90°时，求ABBC三、综合拓展20．（2025九上·上城期末）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，F为BC上一点，连接AC，CF，FB，AF，AF与CD交于点G．（1）求证：∠AFC=∠CAB；（2）连接CB交AF于点H，当AF⊥CB时，△CFG是等腰三角形吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若BF=4，AC=8，求AF的长．21．在矩形ABCD中，P是射线BA上一个动点，在矩形ABCD内部(包含边界)作一点E，使得PE⊥DE.（1）如图①，当点P在BA的延长线上时，PE与AD交于点M，求证：△AME∽△PMD.（2）当点P在边AB上时，AE与PD相交于点N.①如图②，若点E在边BC上，求证：△PNE∽△AND.②如图③，若点E在矩形ABCD内部，求证：PN·DN=AN·EN.

答案解析部分1．【答案】B【知识点】相似三角形的判定-AA【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD.∵∠ACE=∠ABD，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE.∵∠BFE=∠CFD，∴∠BEF=∠BDC.∴△BEF∽△BDC.故答案为：B.

【分析】根据两角对应相等的两三角形相似解答即可.2．【答案】D【知识点】相似三角形的判定-AA【解析】【解答】解：∵等腰三角形中的一个50°的内角可能是顶角，也可能是底角，∴都含有一个50°的内角的两个等腰三角形不一定相似.故选项A不符合题意.同理，选项B，C也不符合题意.又∵等腰三角形的一个100°的内角只能是顶角，顶角相等的两个等腰三角形的底角都相等，∴都含有一个100°的内角的两个等腰三角形一定相似.故选项D符合题意.故答案为：D.

【分析】根据等腰三角形的性质和内角和定理，等腰三角形的顶角可能是钝角或锐角、直角，但底角只能是锐角，由两角相等的两个三角形相似，得出D能判定，A、B、C不能判定.3．【答案】B【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠BCD=90°，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴AD∥BC，∴∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠ECB，∴△AED∽△CEB，∴AECE∵AD=5，AC=10，BC=20，∴AE10−AE解得AE=2，故答案为：B．【分析】先证明AD∥BC，再证明△AED∽△CEB，利用相似三角形的对应边成比例求解即可．4．【答案】△ACB或△CDB（答案不唯一）【知识点】相似三角形的判定-AA；直角三角形的两锐角互余【解析】【解答】解：∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，

∴∠ADC=∠CDB=90°，

∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∵∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠A=∠BCD，又∵∠ADC=∠CDB=90°，∴△ADC∽△CDB，故答案为：△ACB或△CDB（答案不唯一）．【分析】由三角形高线定义得∠ADC=∠CDB=90°，利用有两组角相等的两个三角形相似得△ADC∽△ACB，然后由同角得余角相等得∠A=∠BCD，进而利用有两组角相等的两个三角形相似得△ADC∽△CDB，于是得解．5．【答案】1【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：在△BCD和△ACB中，∵∠DBC=∠A，∠C=∠C∴△BCD∼△ACB∴CDCB=∴CD=2∴AD=AC−CD=3−2=1．故答案为：1【分析】先根据相似三角形的判定与性质（AA）证明△BCD∼△ACB得到CDCB6．【答案】（1）证明：∵DC∥AB，

∴∠B=∠ECF，∠BAF=∠E，

∴△ABF∽△ECF．（2）解：∵AD=BC，AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，

∴BF=3cm．

由（1）知，△ABF∽△ECF，

∴BACE=BFCF，即8CE【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟知相似三角形的性质和与判定是解题关键.（1）根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠B=∠ECF，∠（2）根据线段的和差运算可知：BF=BC-CF=3cm，由(1)知：△ABF∽△ECF，根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例可知：BA（1）证明：∵DC∥AB，∴∠B=∠ECF，∠BAF=∠E，∴△ABF∽△ECF．（2）解：∵AD=BC，AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，∴BF=3cm．由（1）知，△ABF∽△ECF，∴BACE=BF∴CE=167．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，

∵∠EDB=∠C，

∴∠A=∠EDB，

∵∠E=∠E，

∴△ADE∽△DBE；（2）解：由（1）得△ADE∽△DBE，

∴AEDE=DEBE，

∵DE=210，AE=8，

∴8210=210BE，

解得：BE=5【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，从而可得∠A=∠EDB，进而由相似三角形的判定得证结论；（2）由相似三角形对应边成比例的性质可得AEDE=DEBE，代入数值求出（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∵∠EDB=∠C，∴∠A=∠EDB，∵∠E=∠E，∴△ADE∽△DBE；（2）解：∵△ADE∽△DBE，∴AEDE∴82∴BE=5，∴AB=AE−BE=8−5=3cm．8．【答案】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE

∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD

∴∠BAC＝∠DAE

又∠C＝∠E

∴△ABC∽△ADE（2）解：∵△ABC∽△ADE，SΔABC:SΔADE=16:25

∴BC：DE＝4：5

∵DE＝10

∴【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【分析】（1）由角的构成及等式的性质推出∠BAC=∠DAE，从而根据有两组角相等的两个三角形相似得出结论；（2）由相似三角形的面积之比等于相似比的平方得出BC：DE=4：5，代值求出BC=8，最后根据BD=BC-CD可算出答案.（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD∴∠BAC＝∠DAE又∠C＝∠E∴△ABC∽△ADE（2）∵△ABC∽△ADE，S∴BC：DE＝4：5∵DE＝10∴BC＝8∵CD＝2∴BD＝BC－CD＝69．【答案】C【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵∠ADE=∠ACB,∠DAE=∠CAB,∴∠ABC=∠AED,∴△ADE∽△ACB,∴即2所以AE=3，故答案为：C.

【分析】根据两角对应相等得到△ADE∽△ACB,然后根据对应边成比例解答即可.10．【答案】D【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠BDA，∠ACD=∠DAB，

∴△DAC∽△DBA.

∴A选项的条件正确.

∵AD=DE，

∴∠DAC=∠E.

∵∠B=∠E，

∴∠DAC=∠B.

∵∠ADC=∠BDA，

∴△DAC∽△DBA.

∴B选项的条件正确.

由AD2=DB⋅CD，得AD：DB=DC：DA，

∵∠ADC=∠BDA，

∴△DAC∽△DBA.

∴C选项的条件正确.

由AD·AB=AC·BD，得AD：BD=AC：AB，但不能确定∠ABD=∠DAC，即不能确定D为弧AE的中点，

∴不能判定△DAC∽△DBA.故答案为：D.

【分析】利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对A进行判定；先利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠DAC=∠B，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对B进行判定；利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D进行判定.11．【答案】C【知识点】垂径定理；相似三角形的判定-AA【解析】【解答】解：连接BG，OD，

∵AB是☉O的直径，

∴∠AGB=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠AEF=90°，ED=12CD=3

∴∠AEF=∠AGB，

∴△ABG∽△AFE

∴AGAE=ABAF

∴AE·AB=AG·AF=15，

设☉O的半径是r，OE的长为d，则AB=2r，AE=r+d，OD=r，

∴2r·(r+d)=15①，

r2-d2=3②，

故答案为：C.【分析】连接BG，OD，易证△ABG∽△AFE，则AE·AB=AG·AF=15，设☉O的半径是r，OE的长为d，则AB=2r，AE=r+d，OD=r，2r·(r+d)=15①，r2-d2=3②，解①②可得出结论.12．【答案】C【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA【解析】【解答】解：∵BF//AD

∴△BNF∽△DNA，

∴BFAD=FNAN

而BF=12BC=1，AF=5

∴AN=253

又∵AE=BF，∠EAD=∠FBA，AD=AB，

∴△DAE≌△ABF(SAS)，

∴∠AED=∠BFA，

∴△AME∽△ABF，

故答案为：C.【分析】根据△BNF∽△DNA，可求出AN的长；再根据△AME∽△ABF，求出AM的长，利用MN=AN-AM即可解决.13．【答案】3【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵∠OCA与∠AOB互补，∴∠OCA+∠AOB=180°.∵∠OCA+∠COA+∠A=180°，∴∠AOB=∠COA+∠A.又∵∠AOB=∠COA+∠COB，∴∠A=∠COB.又∵∠OCA=∠BCO，∴△OCA∽△BCO.∴OCAC=BCOC故答案为：3.

【分析】通过证明△ACO∽△OCB,可得OCAC14．【答案】7【知识点】角平分线的概念；相似三角形的判定-AA【解析】【解答】解：∵∠BAD=∠C，∠ABC=∠CBA

∴△ABD∽△CBA.

∴ABCB=BDBA，∠ADB=∠CAB，

∵BF是∠ABC的平分线，

∴∠ABF=∠FBE，

∴△ABF∽△DBE

∴ABDB=BFBE

∴BFBE解得：EFBE=27

∴BE【分析】由∠BAD=∠C，∠ABC=∠CBA可得△ABD∽△CBA，则有ABCB=BD15．【答案】9【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：作AF⟂y轴于F，作BE⟂y轴于E，如图：故∠AFC=∠BEC=9又·∵∠ACF=∠BCE,∴△AFC∽△BEC,∴故设点A的坐标为mk1m则.AF=m，BE=-n，

∴mn设直线AD的解析式为y=kx，将n−k2n将mk1m代入，得k⋅m=k整理得k将mn=−∴k故答案为：9

【分析】作AF⟂x轴于F，作BE⟂y轴于E，根据相似三角形的判定和性质得出AFBE=ACBC=32,结合题意设点A的坐标为mk16．【答案】22【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵AG∥EC，∴∠AGE=∠DEC，∵四边形ABCD为平行四边形，点E是AB中点，∴AB∥CD，AB=CD=2AE，∴∠AEG=∠CDE，∴△AEG∽△CDE，∴∴EC=115AG=22.【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质证明△AEG∽△CDE，根据对应边成比例解答即可.17．【答案】（1）证明：∵∠1=∠2,∴∠1+∠BAF=∠2+∠BAF,即∠BAC=∠EAF,又∵∠C=∠F,∴△ABC∽△AEF;（2）解：∵△ABC∽△AEF,∴∴解得，AF=​​​​​​【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【分析】(1)根据题意得到∠BAC=∠EAF,根据两角相等的两个三角形相似证明即可；(2)根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案.18．【答案】（1）解：连接OA，

∵AB=2BC,∠ADB=62°，

∴∠AOB=2∠BOC=2∠ADB，即：∠BOC=∠ADB=62°．

∵BE⊥OC，

（2）证明：由（1）知∠BOC=∠ADB，

∵直径BD，BE⊥OC，

∴∠DAB=∠OEB=90°．

∴△ADB∽△EOB，

∴ABBE=BDBO=【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOB=2∠ADB=124°，由圆心角、弧、弦的关系得出∠BOC=12（2）易得∠DAB=∠OEB=62°，由直径所对的圆周角是直角及垂直定义得出∠DAB=∠BEO=90°，从而由有两组角相等的两个三角形相似得△ADB∽△EOB，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AB=2BE.（1）解：连接OA，∵AB=2∴∠AOB=2∠BOC=2∠ADB，即：∠BOC=∠ADB=62°．∵BE⊥OC，∴∠OBE=90°−∠BOC=90°−62°=28°．（2）由（1）知∠BOC=∠ADB，∵直径BD，BE⊥OC，∴∠DAB=∠OEB=90°．∴△ADB∽△EOB，∴ABBE∴AB=2BE．19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD.∴∠HBG=∠HEC，∠HGB=∠HCE.∴△EHC∽△BHG.∴（2）解：∵∠CGF=90°，∴∠AGF+∠BGC=90°.又∵四边形ABCD是矩形，∴∠CBG=∠A=90°，AB=DC，AD=BC.∴∠AGF+∠AFG=90°.∴∠BGC=∠AFG.∴△AFG∽△BGC.∴∵E为CD的中点，∴EC=12∴BG=∴AG=∴易得DE又∵AB∥CD，∴△FDE∽△FAG.∴∴易得FA=∵∴∴∴【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【分析】（1）根据矩形可得AB∥CD，进而得到∠HBG=∠HEC，∠HGB=∠HCE，证明△EHC∽△BHG即可得到结论；

（2）根据两角对应相等证明△AFG∽△BGC，根据对应边成比例求出EC长，然后根据AB∥CD得到△FDE∽△FAG，根据对应边成比例解答即可.20．【答案】（1）证明：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD∴AC=BC

∴（2）解：△CFG是等腰三角形，理由如下：如图所示，

∵AC=AC

∴∠AFC=∠ABC

∵AF⊥CB

∴∠HAB+∠HBA=90°

∵AB⊥CD

∴∠GAE+∠AGE=90°

∴∠HBA=∠AGE

∵∠CGH=∠AGE

∴∠AFC=∠CGH

∴CG=CF，即△CFG（3）解：连接BG，

由（2）可得CG=CF，又AF⊥CB

∴BC垂直平分GF，

∴BG=BF，

又∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，则CD垂直平分AB

∴GA=GB，

∴AG=BF=4，

∵AB=AB

∴∠ACH=∠BFH

又∠AHC=∠BHF

∴△ACH∽△BFH

∴HFCH=FBAC=48=12

设HF=GH=x，则CH=2HF=2x，

∴AG=AG+GH=4+x

在Rt△ACH中，AC2=CH2+A【知识点】等腰三角形的判定；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得AC=（2）根据等弧所对的圆周角相等可得∠AFC=∠ABC，根据AF⊥CB，AB⊥CD，根据等角的余角相等得出∠HBA=∠AGE，结合对顶角相等∠CGH=∠AGE，等量代换可得∠AFC=∠CGH，进而根据等角对等边即可得出结论；（3）根据（2）的结论可得BC垂直平分GF，进而可得AG=BF=4，进而证明△ACH∽△BFH，设HF=GH=x，则CH=2HF=2x，在Rt△ACH中，AC2=CH2+AH（1）证明：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD∴AC∴∠AFC=∠CAB；（2）解：△CFG是等腰三角形，理由如下：如图所示，∵AC∴∠AFC=∠ABC∵AF⊥CB∴∠HAB+∠HBA=90°∵AB⊥CD∴∠GAE+∠AGE=90°∴∠HBA=∠AGE∵∠CGH=∠AGE∴∠AFC=∠CGH∴CG=CF，即△CFG是等腰三角形（3）解：连接BG，由（2）可得CG=CF，又AF⊥CB∴BC垂直平分GF，∴BG=BF，又∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，则CD垂直平分AB∴GA=