湖南省怀化市2026届高三上学期入学考试数学试卷（含解析）

湖南省怀化市2026届高三上学期入学考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．(

)A.0 B.1 C. D.22．样本数据1,2,4,4,5,7,8,8的中位数为(

)A.4 B. C.5 D.63．已知集合,,则(

)A. B. C. D.4．已知向量,,则(

)A.0 B.2 C. D.5．已知,则(

)A. B. C. D.6．记为等比数列的前n项和,若,,则(

)A.10 B.13 C.9 D.277．设,,,则(

)A. B. C. D.8．,,是从点P出发的三条射线,每两条射线的夹角均为,,,分别是射线,,上的点,且,,,D,E,F分别为,,的中点,则点E到直线的距离为(

)A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列函数中,对应图象的对称中心与函数的图象的对称中心不完全相同的是(

)A. B.C. D.10．已知是数列的前n项和,,,则(

)A.是递增数列 B. C. D.11．已知曲线C过点,且C上的点满足到坐标原点O的距离与到定直线的距离之和为2,则(

)A. B.曲线C的图象关于x轴对称C.C上的点的横坐标的最大值为 D.的最小值为1三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若圆与抛物线的准线相切,则__________________________．13．在数字通信中,信号是由数字“0”和“1”排成一行组成的序列,不同的排列表示不同的信号．已知某信号由2个1和4个0组成,且每个0的左边或者右边位置至少有1个0与它相邻,则这样的信号有_____________种．14．已知函数,若函数恰有6个零点,则m的取值范围为____________________________．四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.(1)求A；(2)若,求的面积.16．（15分）如图,直四棱柱的底面为梯形,,,,若平面与交于点E．(1)求的长；(2)求平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）甲、乙两人进行一场抽卡游戏,规则如下：有编号1,2,3的卡片各2张,两人轮流从中随机抽取1张卡片,已知甲先抽卡．(1)若采用有放回的随机抽取的方式,规定直到其中1人抽到的卡片编号之和为3,游戏结束,求游戏结束时,两人总共抽取了3张卡片的概率．(2)若采用不放回的随机抽取的方式,直到其中1人抽到的卡片编号之和为3或者所有卡片被抽完时,游戏结束．记游戏结束时,甲恰好抽了X张卡片,求X的分布列与期望．18．（17分）已知和为双曲线上的两点．(1)求C方程．(2)过点的直线l与双曲线C交于D,E两点（D,E不在x轴上）．（ⅰ）若D,E均在C的右支上,且,求l的方程；（ⅱ）直线AD和AE分别与直线交于M,N两点,证明：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值．19．（17分）已知函数．(1)若直线是曲线在处的切线方程,求a,b的值．(2)设和是函数的两个零点．（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）当最小时,求a的值．参考答案1．答案：D解析：由,则．故选：D.2．答案：B解析：样本数据的中位数为．故选：B.3．答案：B解析：,,则.故选：B.4．答案：B解析：由题可知:,即,所以.,即,所以.所以．故选：B.5．答案：A解析：,故．故选：A.6．答案：C解析：设等比数列的公比为q,则,即,因,,则可得,所以．故选：C.7．答案：D解析：令,则,若,则,故在上单调递减,若,则,故在上单调递增,所以为函数的最小值.所以,,即：,得,即.,即.所以,．故选：D.8．答案：C解析：如图所示,M为的中点,则,,又,,,,点E到直线DF的距离为．故选：C.9．答案：BCD解析：令,,解得,,所以图象的对称中心坐标为,对于A,令,,解得,,与的图象的对称中心相同；对于B,D选项中函数的周期为,显然与的图象的对称中心不完全相同；对于C,当时,,所以是函数的图象的对称中心,但不是函数的图象的对称中心,所以函数与的图象的对称中心不完全相同.故选：BCD.10．答案：ABD解析：对于A,由数列递推式,无论n为奇数,还是偶数,都有成立,故是递增数列,A正确；对于B,若n为奇数,则是偶数,是奇数,所以,,即,则数列的奇数项构成首项为、公差为3的等差数列,故,B正确；对于C,若n为偶数,则是奇数,是偶数,所以,,即,则数列的偶数项构成首项为、公差为3的等差数列,故,C错误；对于D,由前面分析得,D正确．故选：ABD.11．答案：ACD解析：设曲线C上的动点,则,因为曲线C过点,所以有,解得,负根舍去,故A正确；C的方程为,若在曲线上,则也在曲线上,不在曲线上,故曲线C的图象关于y轴对称,不关于x轴对称,B错误；当时,可化为,即,当时,可化为,即,当且仅当时,,即C上的点的横坐标的最大值为,C正确；令,,则,,,,因为,所以,当且仅当时取到等号,即的最小值为1,D正确．故选：ACD.12．答案：解析：可化为,则圆M的圆心坐标为,半径为,抛物线的准线方程为,所以,即．故答案为：.13．答案：6解析：第一种情况,4个0全部相邻,把4个0看成1个元素,共有种；第二种情况,将4个0分成2组,每组2个0,每组不相邻,利用插空法共有种．综上,这样的信号共有6种．故答案为：6.14．答案：解析：令,则恰有6个零点,等价于有三个不同的解,,,且对应有6个实数根,由函数的图象,如图,所以,,要满足有个实数根,则需即,解得．故m的取值范围为．故答案为：．15．答案：(1)(2)解析：(1)由余弦定理得,又,.,,.又,.,.(2)由(1)知,,.由正弦定理得,即,.又,,解得,.,,即,解得或.又,,,的面积.16．答案：(1)(2)解析：(1)如图：因为平面平面,且平面平面,平面平面,所以．因为,由等角定理可得：,又,所以．因为,所以所以E为的中点,故．(2)以B为原点,,,所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,易知是平面的一个法向量．设平面的法向量为,则,即,令,则,,所以平面的一个法向量为．,所以平面与平面夹角的余弦值为．17．答案：(1)(2)分布列见解析,解析：(1)游戏结束时,甲,乙两人总共只抽取3张卡片,则甲抽了两次,乙抽了1次,故乙不能取到编号3的卡片,甲两次抽取的编号要么是1,2要么是2,1,因此所求概率,(2)X的可能取值为1,2,3．时,则抽取卡片的编号的情况有3,或者13,或者23,．当时,有以下两种情况：①游戏结束时,甲、乙两人总共只抽取3张卡片,则按照甲乙先后的顺序抽取会出现的情况有122,112,221,211,故；②游戏结束时,甲、乙两人总共只抽取4张卡片,则按照甲乙先后的顺序抽取会出现的情况有：1132,1231,2132,2231,两次抽取的编号之和不为3的概率．故．．故X的分布列为X123P．18．答案：(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析解析：(1)由题可知,解得,,所以C的方程为．(2)（ⅰ）由题可知直线l斜率不为0,设直线l的方程为,联立,得,设,,则且,解得,,,,解得,所以l的方程为．（ⅱ）证明：直线,令,得,同理可得,故,．记以MN为直径的圆与x轴交于P,Q两点,圆心为,所以由(1)知,,,所以,所以,为定值．19．答案：(1),(2)（ⅰ）；（ⅱ）．解析：(1)由,则,所以,解得,又,所以,即．(2)（ⅰ）由．当时,,则在R上单调递增,则在R上至多存在一个零点,不符合题意；当时,由,得,由,得,则在上单调递减,在上单调递增,则．令,,则,由,得,由,得,则在上单调递增,在上单调递减,则,则．当时,,当时,,则由函数零点存在定理可知在R上有两个不同的零点．综上可知,a的取