湖南省娄底市涟源市部分高中2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷（含解析）

湖南省娄底市涟源市部分高中2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、单选题(本题共10小题，每小题3分，共30分)1．实数的相反数是()A. B. C. D.2．氧气是人类赖以生存的物质,一个氧原子的直径是0.000000000148m,0.000000000148,这个数用科学记数法表示为()A. B. C. D.3．下列计算正确的是()A. B. C. D.4．长沙窑创始于唐代,窑址首选发现于今湖南省长沙市郊铜官镇瓦渣坪,故而又称铜官窑,晚唐至五代是其盛期,而衰于五代,产品以青釉为主,器物为家用寻常品,壶和罐的造型多样,其突出成就是创烧了釉下彩绘装饰新工艺.图为一长沙瓷作品,有关其三视图下列说法正确的是(

)A.主视图和俯视图相同 B.左视图和俯视图相同C.主视图和左视图相同 D.三视图各不相同5．的平方根是()A.8 B. C. D.6．下列说法中,假命题的个数为()①两条直线被第三条直线所截,同位角相等②如果两条直线都与第三条直线垂直,那么这两条直线互相平行③过一点有且只有一条直线与这条直线平行④在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆,已知圆心O在水面上方,且圆O被水面截得的弦AB长为6米,半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点,则点C到AB的距离等于(

)A.1米 B.米 C.2米 D.米8．某数学社团开展“讲数学家故事的活动”.通过查阅资料,该社团了解了祖冲之、刘徽、赵爽、欧几里得这4位著名数学家的生平,知晓了他们取得的伟大成就对世界数学发展起到的巨大推进作用.现从这4位数学家中随机选取其中2位的故事进行分享,则选取的2位都是中国数学家的概率是()A. B. C. D.9．如图,等边中,,D是BC上一个动点（不与点B,C重合）,交AC于点E.设,的面积是y,则y与x的函数图象大致为(

)A. B.C. D.10．定义一种新运算:,下列说法:①若,则;②若,则的解集为;③代数式取得最小值时,;④函数的图象与直线（k为常数）有且仅有两个交点,则.其中正确的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)11．若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围是_______.12．分解因式:_______.13．《易经》是中国传统文化的精髓.如图是易经中的一个卦图，它由8个卦组成，其中每一卦又由3根线构成（线形为或），例如正上方的卦为，它由3根线构成.现从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率是____.14．如图,点A,B分别是函数和部分图象上的点,轴,则的面积为_______.15．在平面直角坐标系中,对于点,若x,y均为整数,则称点P为“整点”.特别地,当时,称“整点”P为“平衡整点”.已知点是一个“平衡整点”,则_______.16．如图,圆锥底面圆直径长是,母线长是,一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D,最短路径长是______________.17．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2,,分别与所在圆相切于点A,B.若该圆半径是,,则的长是_______.18．已知平行四边形ABCD中,,,,P为边CD上的一动点,则的最小值等于_______.三、解答题(本题共8小题，共66分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．（6分）计算:20．（6分）先化简,再求值:,其中.21．（8分）某调查小组采用随机抽样方法,对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查,并把所得数据整理后绘制成如下不完整的统计图.（1）填空:本次调查的中位数为____________小时;（2）通过计算补全条形统计图;（写出求解过程）（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间.22．（8分）如图,在中,点F是BC的中点,点E是线段AB的延长线上的一动点,连接EF,过点C作,与线段EF的延长线交于点D,连接CE,BD.（1）求证:四边形是平行四边形;（2）若,,在点E的运动过程中,当时,请问四边形是什么图形?并说明理由.23．（9分）市政府为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务,图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图,②是其示意图,其中AB、CD都与地面l平行,车轮半径为32cm,,,坐垫E与点B的距离BE为15cm.（1）求坐垫E到地面的距离;（2）小明的腿长为80cm,根据经验,当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时,坐骑比较舒适,现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置,求的长（结果精确到0.1）（参考数据:,,）24．（9分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”,为扩大粮食生产规模,某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具,已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元,购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元.（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元?（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件,且投入资金不少于9.8万元而不超过12万元,应该购进甲种农机具m件,则有哪几种购买方案?（3）在（2）的方案下,由于国家对农业生产扶持力度加大,每件甲种农机具降价0.7万元,每件乙种农机具降价0.2万元,哪种购买方案需要的资金最少?最少资金是多少?25．（10分）如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于,两点,y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式;（2）如图1,点P是直线BC上方抛物线上的一动点,过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点E,过点P作x轴的平行线PF交直线BC于点F,求面积的最大值及此时点P的坐标;（3）如图2,连接AC,BC,抛物线上是否存在点Q,使?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.26．（10分）如图,是的直径,A是上异于C、D的一点,点B是DC延长线上一点,连接AB、AC、AD,且.【认识图形】（1）求证:直线AB是⊙O的切线;【探索关系】（2）若,探求BC与CD的数量关系;【解决问题】（3）在（2）的条件下,作的平分线AP交于P,交CD于E,连接PC、PD,若,求PA和PE的值.参考答案1．答案：A解析：实数的相反数是.故选:A2．答案：B解析：因为.故选:B.3．答案：C解析：对于A,当时,,,,A错误,对于B,当时,,,,B错误,对于D,当时,,,,D错误,对于C,,C正确,故选:C.4．答案：C解析：观察几何体,知该几何体绕竖直的轴线任意旋转,图形不变,因此该几何体主视图和左视图相同,而俯视图是几个同心圆构成,与主视图、左视图都不相同,ABD错误,C正确.故选:C5．答案：C解析：的平方根是.故选:C.6．答案：C解析：①两条直线被第三条直线所截,只有这两条直线相互平行时,同位角才相等,故①是假命题;②在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线垂直,那么这两条直线互相平行,故②是假命题;③过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行,故③是假命题;④在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故④是真命题;综上①②③是假命题,故选:C7．答案：B解析：根据题意和圆的性质知点C为的中点,连接交于D,则,,在中,,,,即点C到弦所在直线的距离是米,故选:B8．答案：C解析：由题意知,祖冲之、刘徽、赵爽是中国数学家,欧几里得不是中国数学家,从4位数学家中随机选取2位是中国数学家的情况有:(祖冲之,刘徽)、(祖冲之,赵爽)、(赵爽,刘徽),共3种,从4位数学家中随机选取2位数学家的总情况有:(祖冲之,刘徽)、(祖冲之,赵爽)、(赵爽,刘徽)、(祖冲之,欧几里得)、(刘徽,欧几里得)、(赵爽,欧几里得),共6种,所以从4位数学家中随机选取其中2位是中国数学家的概率是.故选:C9．答案：D解析：在等边中,,则是等边三角形,,作交于点F,则边上的高,因此的面积是,所以y与x的函数图象是开口向下,对称轴为的抛物线的一部分,D正确.故选:D10．答案：A解析：对于①,由新定义,即,解得,故①正确;对于②,当时,则,所以,解得,所以不等式的解集为,故②错误;对于③,,当时,,当时,,当时,,当时,,所以代数式取得最小值时,,故③错误;对于④,,,当时,,令,则,所以与在第二象限必有一个交点,则在第一象限只有一个交点,联立得,则,,解得,且此时交点为,当时,,则与有且只有两个交点,当时,,对称轴为,开口向上,如图,必有两个交点,综上,函数的图象与有且仅有两个交点,则或,故④错误.综上,正确的个数有1个.故选:A.11．答案：解析：根据被开方数非负可得,即,所以代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围是.故答案为:.12．答案：解析：.故答案为:13．答案：解析：从8个卦中任取一卦，基本事件总数，其中由2根和1根构成的基本事件个数，所以从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率是.故答案为：.14．答案：解析：设,,,由轴,得,解得,,而边上的高,所以的面积.故答案为:15．答案：解析：由题意可得,化简可得,解得或,当时,点不是整点,舍去,故,故答案为:16．答案：解析：由已知,圆锥的底面圆的半径为,所以底面圆的周长为,设圆锥的侧面展开后的扇形的圆心角为,根据底面周长等于展开后扇形的弧长得,解得:,所以展开图中,由勾股定理可得,所以该蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D的最短路径长是,故答案为:17．答案：解析：如图,设圆心为O,连接OA,OB,因为,分别与所在圆相切于点A,B.所以,因为,所以,优弧对应的圆心角为,所以优弧的长是故答案为:18．答案：解析：过P作,交的延长线于,,四边形ABCD为平行四边形,,又,所以,当B,P,Q三点共线时取得最小值,此时,所以得最小值为.故答案为:.19．答案：解析：原式.20．答案：;解析：由,当时,原式.21．答案：（1）1（2）作图见解析（3）1.18小时.解析：（1）由题意可得:0.5小时的人数为:100人,所占比例为:,,本次调查共抽样了500名学生;由条形统计图得:第250名、第251名学生的运动时间均为1小时,中位数小时,故答案为:1;（2）1.5小时的人数为:（人）.补全条形统计图,如图所示:（3）根据题意得:,即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约小时.22．答案：（1）证明见解析;（2）四边形是菱形,理由见解析.解析：（1）由点F是的中点,得,由,得,则,因此,又,所以四边形是平行四边形.（2）由,得,由,得是等边三角形,则,又四边形是平行四边形,则四边形是菱形,所以当时,四边形是菱形.23．答案：（1）（2）解析：（1）如图,过点E作,垂足为M,依题意,,,在中,,所以坐垫到地面的距离为.（2）如图,过作于,当时,人骑行最舒服,在中,,所以.24．答案：（1）购进1件甲种农机具万元,1件乙种农机具万元.（2）答案见解析（3）购买甲种农机具5件,乙种农机具5件需要的资金最少,最少资金是万元.解析：（1）设购进1件甲种农机具x万元,1件乙种农机具y万元.根据题意得,解得答:购进1件甲种农机具1.5万元,1件乙种农机具0.5万元.（2）设购进甲种农机具m件,购进乙种农机具件,根据题意得,解得.因为m为整数,所以m可取5、6、7.故有三种方案:方案一:购买甲种农机具5件,乙种农机具5件;方案二:购买甲种农机具6件,乙种农机具4件;方案三:购买甲种农机具7件,乙种农机具3件.（3）设需要的资金为w万元.则,因为,所以w随m的增大而增大,所以时,w最小,此时.答:购买甲种农机具5件,乙种农机具5件需要的资金最少,最少资金是5.5万元.25．答案：（1）（2）最大值为,此时点P的坐标为（3）存在,Q的坐标为或解析：（1）把,代入得,,解得,抛物线的解析式为;（2）由可得,,设直线的解析式为,把,代入得,,解得,直线的解析式为,,,,轴,轴,,,为等腰直角三角形,,设,则,,当时,即,取最大值,此时的面积最大,则;（3）存在.当点Q在上方时,作点关于y轴的对称点,过点B作交抛物线于点