湖北省2025年高中学业水平合格考试数学试卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学本试卷共5页25题．全卷满分100分．考试用时90分钟．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂匀、涂实，未涂、错涂、多涂或填涂不规范均不得分．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．非选择题的作答：用黑色签字笔将答案写在答题卡上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效．在试卷、草稿纸上答题无效．4．考试结束后，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并上交．一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，，则中元素的个数是（

）A． B． C． D．2．若，则（

）A． B． C． D．3．如果3个正整数可作为一个直角三角形的三边长，则称这三个数为一组勾股数．我国古代数学名著《周髀算经》中就有“勾广三，股修四，径隅五”，即指3，4，5为一组勾股数，现从2，4，6，8，10中任取3个数，则这三个数是一组勾股数的概率为（

）

A．0 B． C． D．4．已知，则的值为（

）A． B． C． D．5．已知向量与的夹角为，且，则（

）A．0 B．1 C．2 D．36．若，则（

）A． B． C． D．7．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．如图，在中，，设，则（

）A． B． C． D．9．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg），并整理得下表：亩产量频数1420302412根据表中数据，下列结论中正确的是（

）A．100块稻田亩产量的中位数不小于1050kgB．100块稻田亩产量的极差介于200kg至250kg之间C．100块稻田亩产量的平均值介于950kg至1000kg之间D．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过8010．在中，下列关系一定成立的是（

）A． B．C． D．11．已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（

）A． B． C． D．12．为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为．甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（

）A． B． C． D．13．图1是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象（收支差额车票收入支出费用）．目前本条线路运营处于亏损状态，为了实现扭亏为盈，公司有关人员提出了两种建议，如图2和图3所示．下列说法中正确的是（

）A．图2表示减少支出和提高票价 B．图2表示减少支出和降低票价C．图3表示支出不变和提高票价 D．图3表示减少支出和票价不变14．如图，埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．已知该金字塔高约为146.5m，底面边长约为232m，设这座金字塔的侧面积为，体积为，给出如下算式：①；②．则（

）A．①正确，②正确 B．①正确，②不正确C．①不正确，②正确 D．①不正确，②不正确15．已知、是函数的图象上两个不同的点，则（

）A． B．C． D．二、选择题（本题共3小题，每小题3分，共9分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）16．下列命题正确的是（

）A．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直B．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行C．过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线垂直D．过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线平行17．已知函数，则（

）A．是奇函数 B．的最小正周期为C．是增函数 D．的值域为18．习近平总书记多次强调“绿水青山就是金山银山”．为深入学习贯彻习近平生态文明思想，复兴中学开展了河流水质监测评估的跨学科主题实践活动．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数和生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好．若某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由变为，则（

）A．当时，有B．当时，有C．当时，由，可得D．当时，由，可得三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）19．已知向量，且，则__________．20．已知点．若是线段的中点，则（1）__________；（2）__________．21．写出一个同时具有性质①②的函数__________．①；②是奇函数．22．立德中学高二（1）班有男生人，女生人，按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从高二（1）班全体学生中抽取一个容量为的样本．已知样本中男生、女生的平均身高分别为和．若各层中按照比例分配样本，则（1）男生应抽取的人数为__________；（2）估计高二（1）班全体学生的平均身高为__________（精确到）．四、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）23．如图，在直三棱柱中，．(1)求证：平面；(2)若，求三棱锥的体积．24．记的内角的对边分别为．已知．(1)求；(2)若，再从条件①和条件②中选择一个作为已知，求的周长．①的面积为；②．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．25．已知函数的定义域为，如果，当时，都有，那么就称是关联．(1)是关联吗？是关联吗？请说明理由；(2)已知是关联，当时，，解不等式；(3)证明：若既是关联，又是关联，则是关联．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【详解】由，，则，所以中元素的个数是．2．D【详解】，则共轭复数.3．B【分析】根据题意，利用组合数计算基本事件的总数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意得，从中任取3个数，共有种不同的选法，这三个数是一组勾股数有且仅有，所以这三个数是一组勾股数的概率为.4．C【分析】利用二倍角余弦公式计算可得.【详解】因为，所以.故选：C.5．A【详解】因为向量与的夹角为，且，所以，则.6．D【详解】对于A，由于，取特殊值验证，令，计算可得此时，不满足；对于B，由，不等式两边同时乘，不等式方向改变，得与对应相乘，得，则，对于C.取上述A中特殊值验证选项C，，此时不满足题意大小关系，排除C；对于D，由，不等式两边同时加,不等式方向不变，得，由，不等式两边同时加，不等式方向不变，可得，联立两个不等式得，因此7．C【详解】①充分性：若，则，所以充分性成立；②必要性：若，由正弦函数的性质可得.所以“”是“”的充要条件.8．B【详解】因为，且点在线段上，所以.所以.9．A【详解】A选项：一共100个数据，中位数是第50、51个数的平均数，根据表格知，第50、51个数据落在区间，所以中位数不小于1050kg，A正确；B选项：数据最小值范围为，最大值范围为，故极差范围为，故B错误；C选项：平均数为，故C错误；D选项：亩产量低于1100kg的频数为，所占比例为，故D错误.10．B【分析】根据三角形的内角和定理与三角函数的诱导公式即可判断.【详解】依题意，在中，，所以，；对于A，因为，所以A错误；对于B，因为，所以B正确；对于C，因为，所以C错误；对于D，因为，所以D错误.故选：B.11．C【详解】由图象可知函数的最小正周期，所以，解得.12．D【分析】利用对立事件的概率性质，先计算甲、乙两人均未猜对的概率，再用1减去该概率得到所求结果。【详解】设事件为“甲猜对谜语”，事件为“乙猜对谜语”，，，，，由题意可知与相互独立，则与相互独立，“甲、乙至少有1人猜对”的对立事件为“甲、乙两人均未猜对”，所以甲、乙至少有1人猜对的概率为：.13．C【分析】根据题意知图象反映了收支差额与乘客量的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明．【详解】根据题意和图2知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量相同时，收支差额变大，即支出变少了，说明了此建议是减少支出而保持票价不变，B选项错误，A选项错误；由图3看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，C选项正确，D选项错误；14．A【详解】由题意正四棱锥的高，，所以正四棱锥的斜高，所以所以这座金字塔的侧面积，故①正确；所以这座金字塔的体积，故②正确.15．B【分析】根据基本不等式求出，再利用对数函数的单调性及对数的运算即可求解.【详解】根据已知条件有，，所以，因为、是函数的图象上两个不同的点，所以，所以，即，因为为上的增函数，所以，所以故选：B16．AC【分析】对于A，根据线面垂直的定义进行判断；对于B，过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；对于C，由线面垂直的定义判断；对于D，由平行公理得判断．【详解】对于A，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，有且仅有一条，故A正确；对于B，过平面外一点可以作一个平面与已知平面平行，在这个平行平面内的经过已知点作直线，它就和已经平面平行，故过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，故B不正确；对于C，由直线与平面垂直的性质知：过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直，故C正确；对于D，过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故D不正确．故选：AC17．BD【详解】A选项：，，所以不是奇函数，故选项A错误；B选项：，，，故选项B正确；C选项：因为正弦型函数具有周期性，且只在部分区间上单调递增，所以在上不是增函数，故选项C错误；D选项：因为，所以，故选项D正确.18．AD【分析】由题意，不变，对公式变形得到，利用对数运算、对数函数单调性，逐个判断选项即可.【详解】A选项：由得，因为不变，所以为定值，，所以，所以，得，故选项A正确.B选项：由得，则，有，即有无穷多组解，不能唯一确定，故选项B错误.C选项：由，得.因为是增函数，，所以，，因为，所以，故选项C错误.D选项：由，得.因为是增函数，，所以，，因为，所以，故选项D正确.【点睛】方法归纳：遇到新定义题型，先认真审题，读懂题意，做代数变形；定值条件下，比值关系可以约去常量.易错归纳：由比例，只能得到倍数关系，不能确定具体数值；注意与成反比.19．【详解】，且，则，即，解得.20．1【详解】点，是线段的中点，所以；.21．（答案不唯一，形如均符合要求）【分析】首先确定满足乘积运算性质的初等函数为幂函数，再结合奇函数的条件选取指数为奇数的幂函数即可.【详解】选取，验证如下：验证性质①：对任意，有，，，所以，因此，所以函数满足性质①.验证性质②：的定义域为，关于原点对称，且对任意，，因此是奇函数，满足性质②.因此同时具有性质①②的一个函数为.22．【分析】先根据分层抽样比例分配的规则计算男生抽取人数，再通过分层抽样的总体均值估计方法计算全班平均身高的估计值.【详解】（1）首先计算抽样比：全班总人数为，样本容量为，因此抽样比为.按比例分配样本时，男生应抽取的人数为.因此男生应抽取人.（2）因为人的样本中，男生抽取人，所以女生抽取的人数为，所以样本中学生的身高平均值为：.即样本中学生的平均身高为，根据分层抽样总体均值的估计规则，因此估计高二（1）班全体学生的平均身高为.23．(1)在直三棱柱中，平面，又平面，所以；又因为，即，又，平面，所以平面.(2)【分析】（1）先由平面推出，再结合得到，最后借助线面垂直的判定定理即可证明；（2）根据棱锥的体积公式即可求得.【详解】（1）略（2）因为平面，所以是三棱锥的高，所以.24．(1)(2)选条件①或②，周长均为【详解】（1）由余弦定理可得，由题可知，则，是的内角，，故.（2）选择条件①：三角形面积公式为：，已知，，，代入得：.由余弦定理，则，，，则周长.选择条件②：已知，，，根据正弦定理，由余弦定理，解得或，，，则周长.25．(1)当时，即，又在上单调递增，则，即，所以；而若时，不妨取，，所以，所以是关联；不是关联．(2)(3)由是关