湖南省衡阳市2026-2027学年高二上学期开学学情数学自测卷（人教版A）（原卷版）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页湖南省衡阳市2026-2027学年高二上学期开学学情自测卷数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数，则z的虚部为（

）A．3 B． C． D．2．（

）A． B． C． D．3．已知平面内四个不同的点满足，则（

）A． B． C．2 D．34．若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（

）A．2 B．4 C．6 D．185．已知，，，则的大小关系是（

）A． B． C． D．6．在中，若，且的面积，则（

）A． B． C． D．7．已知椭圆的左、右焦点为，，上顶点为，右准线为，上存在点满足，则椭圆的离心率的最小值为（

）A． B． C． D．8．如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则和所成的角等于（

）A． B．45° C．60° D．90°二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．已知复数，下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．已知的内角的对边分别为，以下判断正确的是（

）A．若，则B．若，则是钝角三角形C．若，则符合条件的有两个D．若，则为等腰直角三角形11．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，P为的中点，点满足，则下列结论正确的是（

）A．若，则四面体的体积为定值B．若，则点的轨迹为一段圆弧C．若的外心为O，则为定值2D．若且，则存在点E在线段上，使得的最小值为三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．某汽车4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿．已知这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人，若总样本量为100人，则应从小区抽取_________人．13．如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则__________.14．已知点在直线上，则的最小值为__________四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数．(1)求的值；(2)求证：是定值；(3)求的值．16．如图，在正四棱柱中，，，E，M，N分别是BC，，的中点.

(1)证明:.(2)求异面直线MN与所成角的余弦值.(3)求三棱锥的体积.17．足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方.(1)若，求此时的外接圆的圆心坐标(2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标18．为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人成绩在的概率．