广东省佛山市新质高中联盟2025-2026学年高一下学期期中联考试题 数学 版含解析

广东佛山市新质高中联盟2025-2026学年第二学期高一年级期中联考试卷数学学科一、单选题1．已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．2．已知向量，，若，则实数（

）A． B． C．4 D．93．已知复数，复数的虚部为（

）A． B．3i C．3 D．4．已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（

）A． B． C． D．5．已知为锐角，且，则的值为（

）A． B． C． D．6．如图所示，中为重心，过点，，，则（

）

A．1 B．2 C． D．37．设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形8．已知，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知向量，，则（

）A．B．与向量平行的一个单位向量为C．若与所成角为锐角，则D．与的夹角为10．下列各式中，计算结果为的是（

）A． B．C． D．11．设函数，若在区间上具有单调性，且，则（

）A．的最小正周期为 B．图象关于直线对称C．图象关于点中心对称 D．存在，使得成立三、填空题12．若复数，则______．13．已知单位向量，满足，则______．14．如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为________．四、解答题15．已知复数，复数在复平面内对应的向量为．(1)若为纯虚数，求的值；(2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．16．如图，在中，已知，，，E，F分别为，上的点，且，．(1)求；(2)用向量方法证明：；(3)若线段上一动点P满足，试确定点P的位置．17．已知函数，．(1)求函数的最小正周期；(2)若，求．18．已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点．(1)求函数的解析式；(2)当，方程有解，求实数的取值范围；(3)若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围．19．在中，角A，B，C对应边为，，，满足(1)求的大小；(2)（i）已知，若在AC上，且，求BD的最大值；（ii）延长BC至点，使得.若求的大小.参考答案1．A【详解】由题意有，所以.故选：A.2．B【详解】由题设及，则，可得.3．D【详解】.所以复数的虚部为.故选：D.4．B【详解】，，，向量在上的投影向量为.5．B【详解】因为为锐角，且，所以，则，所以．6．D【详解】设，根据题意，因为，，三点共线，则存在，使得，即，即，所以，整理得，所以.7．B【详解】因为，所以，因为，故，因为，即，即，化简得，因为，故，可得，则，故，因此，为直角三角形，故选：B.8．A【详解】，所以或，即或.由于，故.9．ABD【详解】，，故，所以A正确；，与平行的单位向量为，为，所以B正确；，，若向量所成角为锐角，则且两向量不共线，即，解得，当时，，不满足夹角为锐角，所以C错误；，，所以，因为，所以，所以D正确.10．ABD【详解】对于A，，所以A正确，对于B，，所以B正确，对于C，，所以C错误，对于D，，所以D正确.11．AB【详解】若在区间上具有单调性，则，则，又，则，因为，所以一条对称轴为，一个对称中心横坐标为，对称中心为，则，所以，，所以对称轴为，对称中心为，对于A，，故A正确；对于B，当时，对称轴为，故B正确；对于C，假设图象关于点中心对称，则，此时，不符合题意，故C错误；对于D，，，则，，若，则则，则，故在，不存在使得成立，故D错误，故选：AB.12．【详解】，则．13．【详解】因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：.14．/【详解】因为，所以取最大同时在上投影最大，则取得最大值，如图所示，当分别是最大的正三角形底边的端点，B点是C点上方且紧靠C的一点时，最大，且在向量上的投影也达到最大值,所以此时取得最大值，最大值为；因为，取最大同时在上投影最小，则取得最小值，当分别是最大的正三角形的底边的端点，且A点是之间的一点时，，此时达到最小值．综上所述的最大值与最小值的和为.故答案为：.15．(1)(2)【详解】（1）因为复数在复平面内对应的向量为，则，又，则，由题有，解得，所以的值为.（2）因为，由题有，解得，所以的取值范围为.16．(1)(2)证明见解析(3)是线段的中点【详解】（1）依题意，记，因为，所以，，因为，所以，则，故.（2）因为，所以，所以，则，即.（3）因为，所以是的中点，故，因为，所以，即，所以是线段的中点.17．(1)(2)【详解】（1）由题意得，所以函数的最小正周期为.（2）由（1）得，，则，即，所以.18．(1)(2)(3)【详解】（1）设的最小正周期为，由题意得，得周期，所以，得，因为，所以，所以，因为的图象过点，所以，得，因为，所以，故．（2），即有解，由，得，所以，所以，所以，即．（3），设，则，由“方程在区间上恰有三个实数根”，得“方程在区间上恰有三个实数根”，则的图象如下：即，由图得，，，即，综上．19．(1)(2)（i）的最大值为；（ii）或【详解】（1）在中，，所以．因为，所以，即化简得．因为，所以，．因为，所以．