初中数学七年级上册：列代数式表示数量关系（第二课时）教案

初中数学七年级上册：列代数式表示数量关系（第二课时）教案

一、教学指导思想与理论依据

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，深刻践行“核心素养导向”的课程理念。教学聚焦于发展学生的“抽象能力”与“模型观念”，引导学生在具体情境与数学符号之间进行有效转换与构建。设计融合建构主义学习理论，强调学生在已有“用字母表示数”及初步“列代数式”经验的基础上，通过解决具有层次性和挑战性的真实问题，主动建构对数量关系一般化、符号化的深度理解。同时，借鉴逆向设计（UbD）理念，以“学生能够熟练、准确、富有见解地运用代数式刻画复杂情境中的数量关系”为预期学习成果，反向规划评估证据与学习体验，确保教学环节与目标高度一致，实现“教-学-评”的一体化。

二、教学内容与学情分析

（一）教材内容解析

本节课是“代数式”单元的核心深化课，承接第一课时“认识代数式”及“列简单代数式”的基础。本课时的重点在于引导学生从“被动识别”代数式过渡到“主动构造”代数式，以解决更为复杂的实际问题。教材通常通过行程问题、销售问题、几何问题、规律探究问题等经典模型，训练学生分析多变量、动态变化的数量关系，并熟练运用运算顺序和括号将其表示为代数式。这不仅是后续学习整式加减、方程、函数的逻辑前提，更是培养学生数学建模思想的启蒙关键点。教学难点在于引导学生穿透情境表象，辨析其中蕴含的恒定关系与变化规律，并克服列式过程中因关系交织、语言转译而产生的逻辑错误。

（二）学情现状研判

通过前序学习，七年级学生已具备以下基础：理解字母表示数的概括性意义；熟悉代数式的基本书写规范；能够列出涉及单一基本运算关系的代数式（如和、差、倍、分）。然而，学生普遍存在以下发展区：第一，面对多步骤、多关联的复杂情境时，提取有效数学信息的系统性不足；第二，对“和、差、积、商、方、倍、分、多、少”等关键词语与相应运算符号（特别是括号的使用）之间的对应关系不够敏感，易产生逻辑混淆；第三，习惯于算术思维的顺向、具体计算，对运用代数式进行一般化表达的优越性体会不深，符号意识有待强化。因此，教学设计需搭建“脚手架”，通过问题拆解、思维可视化工具（如线段图、示意图、关系表）和合作探究，帮助学生突破思维瓶颈，体验代数思维的简洁与力量。

三、教学目标

（一）知识与技能目标

1.能够准确分析复杂实际情境和数学情境中的数量关系，找出关键变量与常量。

2.能够熟练运用加、减、乘、除、乘方运算以及括号，将多步骤的、隐含的数量关系规范地表示为代数式。

3.能够解释所列代数式中每一步运算所对应的实际意义。

（二）过程与方法目标

1.经历“情境感知—关系分析—符号表达—解释检验”的完整建模过程，提升数学抽象与建模能力。

2.通过小组合作与辨析讨论，掌握分析复杂数量关系的策略与方法，如绘制示意图、列表梳理、分步表述等。

3.学会从不同角度分析同一问题，并能用不同的代数式表达本质上相同的数量关系，培养思维的灵活性与深刻性。

（三）情感态度与价值观目标

1.在解决富有挑战性的实际问题中，增强学习代数式的兴趣和应用意识，体会数学的实用价值。

2.通过克服列式难点，获得成功的体验，逐步建立运用数学符号语言自信表达的信心。

3.在小组交流与互评中，养成严谨、有条理的思维习惯和乐于合作、敢于质疑的科学态度。

四、教学重点与难点

（一）教学重点

引导学生掌握分析复杂问题中数量关系的系统方法，并能正确、规范地列出反映这些关系的代数式。

（二）教学难点

1.准确理解情境描述中关键词语的数学含义，并将其转化为正确的运算顺序，特别是合理使用括号来规定运算次序。

2.从整体上把握变量间的依存关系，克服片段化、错误关联的思维定势。

五、教学策略与方法

采用“情境—问题串”驱动模式，融合讲授启导法、探究发现法与合作学习法。

1.差异化导入策略：基于学生认知起点设计分层情境，确保全体卷入。

2.思维可视化策略：全程鼓励并指导学生运用线段图、框图、表格等工具将抽象关系具体化、可视化。

3.“说数学”策略：要求学生在列式前先用自然语言分步描述关系，在列式后解释代数式的意义，强化语言与符号的互译能力。

4.错误资源化策略：预设典型错误，通过对比辨析、小组辩论等方式，将错误转化为深化理解的宝贵资源。

5.技术融合策略：适时使用动态几何软件或交互式白板演示变化过程，帮助学生理解动态关系。

六、教学准备

（一）教师准备

1.精心设计的多媒体课件，包含渐进式问题情境、动态演示、典型例题与变式训练。

2.设计并印制“学习任务单”，包含探究活动指引、分层练习与自我评价表。

3.准备实物教具或模型（如用于几何问题的小棒、卡片）。

4.预设课堂讨论的关键问题及引导要点。

（二）学生准备

1.复习代数式的概念、书写规范及简单列式。

2.准备课堂练习本、作图工具（直尺、彩笔）。

3.预习教材相关内容，对即将学习的复杂问题有初步思考。

七、教学过程设计

（一）激活旧知，诊断导入（预计用时：8分钟）

教师呈现三个递进层次的预热问题，要求学生在学习任务单上独立完成。

层次一（基础回顾）：某商品原价a元，打八折出售，则售价为______元。

层次二（简单综合）：小明有m元钱，买了3支单价为n元的钢笔，还剩______元。

层次三（初步挑战）：一个三位数，百位数字是x，十位数字是y，个位数字是z，则这个三位数可表示为______。

学生完成后，教师快速巡视，抽取不同答案（包括正确与典型错误）进行投屏展示。

针对层次三，组织简短讨论：“100x+10y+z”这个表达式是如何得到的？它体现了什么数学思想？（数字的位值原理，将整体分解为部分之和）

教师总结：列代数式的核心是将语言文字描述的“关系”，翻译成数学运算符号连接的“式子”。今天我们就要面对更复杂、更具挑战性的“翻译”任务。

（二）核心探究，分层建构（预计用时：25分钟）

探究活动一：行程问题中的关系挖掘

情境：甲、乙两站相距S千米。一列快车从甲站开出，速度为v千米/时；一列慢车从乙站同时开出，速度为u千米/时（u<v）。

问题串设计：

1.（相向而行）若两车相向而行，t小时后两车相距多少千米？请先画线段图表示你的思考过程。

1.2.学生尝试画图、列式。教师引导学生关注“总路程”、“已走路程和”与“剩余路程”的关系。

2.3.关键讨论：式子“S-(v+u)t”中，括号可以省略吗？为什么？（强调运算顺序与实际意义对应）

3.4.变式：若已知t小时后两车相遇，你能得到什么关系式？（S=(v+u)t，为后续方程学习埋下伏笔）

5.（同向而行）若两车均从甲站开往乙站方向（快车在前，慢车在后），t小时后快车比慢车多行多少千米？此时两车相距多少千米？

1.6.此问题涉及两个小问，关系更复杂。引导学生分步思考：先求各自路程vt和ut，再求差。两车相距即是路程差。

2.7.列式：多行路程vt-ut；相距路程vt-ut或(v-u)t。引导学生发现并解释(v-u)t这一简化形式的几何意义（速度差×时间=距离差），感受代数式化简的简洁美。

8.（关系对比）相向而行与同向而行，所列代数式的结构有何不同？其根源是什么？

1.9.引导学生从运动本质（速度和vs.速度差）上理解代数式结构的差异，建立“运动模型—数量关系—代数式结构”的对应认知。

探究活动二：销售利润问题的多元表征

情境：某商店购进一批服装，每件进价为a元。商店期望获得一定的利润。

问题串设计：

1.若商店将每件服装按进价提高20%后标价，则标价是多少元？若在此基础上再打九折出售，则实际售价是多少元？利润（售价-进价）是多少元？

1.2.学生独立完成。重点引导学生厘清两次价格变化的连续过程：先列标价代数式a(1+20%)，再列售价代数式a(1+20%)×90%。最后求利润a(1+20%)×90%-a。

2.3.教师提问：利润率（利润÷进价）的代数式是什么？[a(1+20%)×90%-a]/a，此式可以化简吗？引导学生化简得0.08或8%，发现这是一个与进价a无关的常数，从而理解“打折销售后仍能获利”的具体含义。

4.若商店期望每件服装获利b元，且标价为进价上加30%，为了促销决定打折销售，请问折扣率（如打x折）应如何表示？

1.5.此问题为“关系逆推”，难度提升。引导学生用分析法：目标→售价=进价+利润=a+b；又知售价=标价×折扣=a(1+30%)×(x/10)。从而得到方程a(1+30%)×(x/10)=a+b，进而解出表示折扣率x的代数式：x=10(a+b)/[a(1+30%)]。

2.6.此环节初步触及方程思想，让学生体验代数式不仅是关系的终点，也可以是表达未知关系的工具。

探究活动三：图形与规律探究中的抽象表达

情境一（几何拼接）：用长度相等的火柴棒按如图方式摆正方形。

（教师动态展示摆出1个、2个、3个正方形的图形）

1.摆1个正方形需要4根，摆2个正方形需要7根，摆3个正方形需要10根……摆n个这样的正方形需要多少根火柴棒？

1.2.小组合作探究，鼓励学生从不同角度发现规律。

2.3.方法一（从第一个正方形开始，每多一个多3根）：4+3(n-1)=3n+1。

3.4.方法二（看作由n根横向上棒、n根横向下棒和(n+1)根竖棒组成）：n+n+(n+1)=3n+1。

4.5.方法三（每个正方形看4根，但相邻边重复）：4n-(n-1)=3n+1。

5.6.组织学生比较不同方法的异同，强调尽管思考角度不同，但抽象出的代数式本质相同，证明其正确性，并体会“一题多解”中蕴含的数学统一美。

情境二（数字规律）：观察一列数：2,5,10,17,26,…

1.第10个数是多少？第n个数呢？

1.2.引导学生观察相邻两数的差：3,5,7,9,…为等差数列。进而尝试与序号n建立联系：2=1²+1，5=2²+1，10=3²+1…猜测并验证第n个数为n²+1。

2.3.强调从特殊到一般的归纳思维，以及用代数式刻画无限规律的威力。

（三）辨析归纳，凝练升华（预计用时：7分钟）

教师呈现一组易错或具有辨析价值的列式题，组织学生进行“快速判断与说理”。

1.a与b的平方的和。（a+b²还是(a+b)²？）

2.a与b的和的平方。（(a+b)²）

3.比x的2倍小5的数。（2x-5）

4.比x的2倍与5的和小3的数。（(2x+5)-3或2x+5-3，括号必要吗？）

5.一个两位数，个位与十位数字之和为9，若个位数字为m，则此两位数为？（10(9-m)+m）

通过集体辨析，师生共同归纳列代数式表示复杂数量关系的“三步法”与“三注意”：

三步法：

一读：细读题目，明确已知量、未知量（变量）。

二析：分析关键词，厘清运算顺序和数量间的和、差、积、商、倍、分、方、多、少等关系。善用图表辅助。

三列：依据运算顺序，先用自然语言分步表述关系，再转化为规范的代数式，必要时使用括号。

三注意：

注意单位统一；注意语言叙述的层次与运算次序的对应；注意检验代数式是否符合实际意义（如人数、物品数为非负整数等）。

（四）分层巩固，拓展应用（预计用时：12分钟）

学生在学习任务单上完成分层练习。

A组（基础巩固，面向全体）：

1.用代数式表示：

(1)比a的倒数大3的数。

(2)一个工程，甲独做需x天完成，乙独做需y天完成，两人合作一天完成的工作量。

2.某公园门票成人每张p元，儿童每张q元。一个旅行团有成人m人，儿童n人，该团应付门票总费用为______元。

B组（能力提升，面向大多数）：

3.如图，大圆的半径为R，小圆的半径为r，阴影部分的面积是______。

4.某公司去年的年产值为a亿元，预计今后两年年产值平均增长率为x%，则明年的年产值预计为______亿元。

C组（拓展挑战，供学有余力者）：

5.观察下列图形与等式的关系，用含有n（n为正整数）的等式表示你发现的规律，并证明。

（图形示例：第1个图：1=1²；第2个图：1+3=2²；第3个图：1+3+5=3²……）

教师巡视，个别辅导。完成后，通过投影展示A、B组优秀答案，C组请学生上台讲解思路。重点反馈练习中暴露的普遍性问题，即时纠正。

（五）课堂小结，反思评价（预计用时：3分钟）

引导学生从知识、方法、体验三个维度进行自主小结：

“本节课，我学会了如何分析______等复杂情境中的数量关系，掌握了列式的‘三步法’。在探究______问题时，我遇到了困难，后来通过______方法解决了。我感受到代数式在______方面比算术方法更有优势。”

教师最后进行画龙点睛式的总结：列代数式是将实际问题数学化、模型化的第一步，是通向方程、函数等更高级数学世界的桥梁。希望大家能像今天一样，乐于分析，善于表达，敢于挑战更复杂的“关系翻译官”任务。

八、板书设计

（左侧主板书区域）

主题：精准分析，符号表达——列代数式（二）

核心方法：“三步法”

1.读：辨已知、未知

2.析：析关键词，明关系（借助图表）

1.3.和、差、积、商、倍、分、方、多、少…

2.4.例：比x的2倍与5的和小3→(2x+5)-3

5.列：分步转译，规范书写（括号保序）

典型模型与代数式：

1.行程（相向）：S-(v+u)t

2.行程（同向）：(v-u)t

3.销售利润：售价=标价×折扣率，利润=售价-进价

4.图形规律（n个正方形）：3n+1（多角度）

5.数字规律（第n项）：n²+1

关键点提醒：

括号定序，意义对应，检验实际。

（右侧副板书区域）

用于课堂生成内容展示，如学生探究的不同列式方法、典型错误剖析、课堂练习的即时演算过程等。保持清晰、分区，与主板书形成呼应。

九、作业设计

（一）必做作业（巩固双基）

1.教材对应章节习题：完成基础题和部分综合题。

2.根据“三步法”，整理课堂笔记，将今天探究的几类问题各选一例，写出详细的分析过程。

（二）选做作业（发展素养）

1.自编一道生活中涉及复杂数量关系的应用题，并写出其代数式表达。要求情境合理，关系清晰。

2.（跨学科联系）