小学数学北师大版六年级上册 2 百分数的应用（二）

小学数学北师大版六年级上册2百分数的应用（二）小学数学六年级上册《百分数应用（二）》全景知识清单一、核心概念与数量关系【基础】百分数的应用（二）是在学生已经掌握了“求一个数是另一个数的百分之几”以及“求一个数的百分之几是多少”的基础上，对百分数意义的一次深化与拓展。本单元的核心在于理解和解决“求比一个数增加（或减少）百分之几的数是多少”的实际问题。这不仅是分数乘法应用题的自然延伸，更是培养学生量感、模型意识和应用意识的关键载体。（一）核心概念界定【重要】1.“增加百分之几”：指一个量比作为基准（单位“1”）的另一个量多的部分，占单位“1”的百分之几。例如，“今年的产量比去年增加了20%”，意思是“今年比去年多的产量”是“去年产量”的20%。这里的“去年产量”是标准量。2.“减少百分之几”：指一个量比作为基准（单位“1”）的另一个量少的部分，占单位“1”的百分之几。例如，“现在的成本比原来降低了15%”，意思是“现在比原来少的成本”是“原来成本”的15%。这里的“原来成本”是标准量。3.“成数”：在工农业生产中，常用“成数”来表示产量的增减。几成就表示十分之几，也就是百分之几十。例如，“今年小麦比去年增产二成”，即增产20%。【拓展】4.“折扣”：商品降价出售，叫打折。几折就表示十分之几，也就是百分之几十。例如，“打八折”就是按原价的80%出售。理解折扣与百分数的互化，是解决相关实际问题的基础。【基础】（二）核心数量关系式【★高频考点★】解决此类问题的关键，是找准单位“1”的量，并理解“比较量”与单位“1”之间的关系。无论题目如何变化，其本质都围绕着以下两个核心关系展开：1.【乘法模型一】先求分量，再求总量：变化的量（增加/减少的部分）=单位“1”的量×变化的百分率所求的量=单位“1”的量±变化的量即：所求量=单位“1”的量±单位“1”的量×百分率2.【乘法模型二】先求分率，再求总量：所求量对应的分率=1±变化的百分率所求的量=单位“1”的量×所求量对应的分率即：所求量=单位“1”的量×（1±百分率）二、解题策略与思维建模【难点】（一）图示法——线段图的精准运用【非常重要】线段图是理解百分数应用题数量关系最直观、最有效的工具。它能将抽象的百分率转化为具体的线段长度关系，帮助学生清晰看到哪个量是单位“1”，哪个量是比较量，以及它们之间的“多”或“少”的关系。画图步骤：（1）先画单位“1”的量，在上面标出具体数量（如果已知）和“100%”。（2）根据“增加”或“减少”的描述，画出表示另一个量的线段。如果是“增加”，则线段比单位“1”长；如果是“减少”，则线段比单位“1”短。（3）在延长或缩短的部分，标出具体的百分率。（4）在所求量的线段上标出“？”，表示需要求解的问题。★【易错点警示】线段图必须严格对应，表示具体数量的线段和表示百分率的线段要一一对应，切忌张冠李戴。（二）转化法——统一“单位1”的视角将“比一个数多（少）百分之几的数是多少”巧妙地转化为“求一个数的百分之几是多少”。这是化归思想的具体体现。★【解题关键】找到“所求量”是“单位1”的百分之几。当题目表述为“甲比乙多25%”时，要能立刻反应出“甲是乙的125%”。这种思维的转换是解决复杂问题的金钥匙。（三）分步法与综合法1.分步法：严格按照数量关系，先求“变化的量”，再求“最终的量”。这种方法逻辑清晰，易于理解，适合初学者和解决复杂问题时作为过渡。2.综合法：直接列出综合算式，如单位“1”的量×（1±百分率）。这种方法简洁高效，体现了数学的简洁美，是熟练后的首选。三、典型例题深度剖析与方法归纳（一）求比一个数增加百分之几的数是多少【典型例题1】火车提速问题。题目：一列火车原来每小时行驶180千米，提速后，现在的高速列车速度比原来提高了50%。现在的高速列车每小时行驶多少千米？【考点分析】本题是“求比一个数多百分之几的数是多少”的经典模型，考查学生对“提高50%”这一核心条件的理解，以及对两种解题方法的掌握。【★高频考点★】【解题思路与步骤】方法一（先求分量）：第一步：求提高了多少千米。原来速度的50%是多少？列式：180×50%=90（千米）第二步：求现在的速度。原来的速度加上提高的部分。列式：180+90=270（千米）方法二（先求分率）：第一步：求现在的速度是原来的百分之几。把原来的速度看作单位“1”，提高了50%，则现在相当于原来的1+50%=150%。第二步：求现在的速度。求原来速度的150%是多少。列式：180×（1+50%）=180×1.5=270（千米）【解答要点】答：现在的高速列车每小时行驶270千米。★【方法归纳】解决此类问题，核心是理解“比原来提高了百分之几”的含义。既可以先求出“增加的具体量”，也可以先求出“现在的量是原来的百分之几”。两种方法殊途同归，可根据个人习惯和题目数据特点灵活选用。（二）求比一个数减少百分之几的数是多少【典型例题2】商品降价问题。题目：一种MP3，原来每台售价80元，现在降价20%，现在每台售价多少元？【考点分析】本题是“求比一个数少百分之几的数是多少”的模型，与例题1形成对比，训练学生逆向思维和迁移能力。【重要】【解题思路与步骤】方法一（先求分量）：第一步：求降价了多少元。原价的20%是多少？列式：80×20%=16（元）第二步：求现在的售价。原价减去降低的部分。列式：8016=64（元）方法二（先求分率）：第一步：求现在的售价是原价的百分之几。把原价看作单位“1”，降价20%，则现在相当于原来的120%=80%。第二步：求现在的售价。求原价的80%是多少。列式：80×（120%）=80×0.8=64（元）【解答要点】答：现在每台售价64元。★【易错点辨析】学生容易混淆“增加”和“减少”，在列式（1±百分率）时容易把符号弄反。必须牢固建立在理解题意基础上的模型认知，而非死记硬背公式。（三）稍复杂的变式问题【典型例题3】连续变化问题。题目：一件商品先涨价10%，然后再降价10%，现在的价格和最初相比，是涨了还是跌了？【★热点★】【难点】【考点分析】本题考查学生对单位“1”的理解是否深刻。两次变化的单位“1”不同，是本题最大的陷阱，也是培养学生缜密思维的好素材。【解题思路与步骤】第一步：设定初值。假设这件商品最初的价格为a元（也可以设为100元，便于计算）。第二步：计算涨价后的价格。涨价10%后，价格变为a×(1+10%)=1.1a元。第三步：计算降价后的价格。注意！第二次降价是在涨价后的价格（1.1a元）基础上进行的，所以单位“1”变了。降价10%后的价格为：1.1a×(110%)=1.1a×0.9=0.99a元。第四步：比较。0.99a＜a，所以现在的价格比最初降低了。【解答要点】答：现在的价格和最初相比，降低了。★【规律总结】对于一个数，先增加a%再减少a%，最后的结果比原数小。这是因为“减少”时的单位“1”比“增加”时的单位“1”要大。同理，先减后增，结果也比原数小。（四）综合应用：成数与折扣【典型例题4】成数问题。题目：一个果园去年产苹果25吨，今年增产二成，今年产苹果多少吨？【解题思路】“增产二成”即增产20%。把去年的产量看作单位“1”，今年的产量是去年的（1+20%）。列式：25×(1+20%)=25×1.2=30（吨）【典型例题5】折扣问题。题目：一套《百科全书》原价200元，书店打八五折出售，这套书现在的价格是多少元？比原价便宜了多少元？【解题思路】“八五折”即原价的85%。现价=原价×折扣=200×85%=170（元）便宜的钱=原价现价==30（元）或原价×(185%)=200×15%=30（元）四、考点、考向与解题全攻略（一）常见考查方式1.【基础计算题】直接给出单位“1”和增减幅度，求另一个量。2.【看图列式计算】根据线段图，找出数量关系并列式。3.【解决实际问题】结合购物（折扣）、旅游（降价）、农业（成数）、交通（提速）等生活情境，考查学生提取信息、分析模型、解决问题的能力。【★高频考点★】4.【判断与选择】考查对关键概念的理解，如“甲比乙多20%，则乙比甲少20%”这类判断题。5.【综合应用】与统计图、方程、分数应用题等知识结合，考查综合素养。（二）解题三步法（审、找、算）第一步：审题（圈画关键信息）。仔细读题，圈出题目中表示“增加/减少百分之几”、“几成”、“几折”的关键词，以及对应的具体数量。第二步：分析（找单位“1”）。确定把谁看作单位“1”，判断单位“1”是已知还是未知。本单元单位“1”通常是已知的，用乘法。第三步：列式解答（模型套用）。根据“单位‘1’的量×（1±百分率）=所求量”的模型列式计算。最后要写答语。（三）五大易错点预警【非常重要】1.【单位“1”张冠李戴】在连续变化问题或比较复杂的句子中，找错单位“1”。\t例如：甲比乙多25%，乙比丙少10%。在比较甲和丙时，单位“1”不断变化，需分步转化。2.【百分数与百分点的混淆】“提高了10%”和“提高10个百分点”含义不同。前者是在原有基础上乘以（1+10%），后者是在原有百分率上直接加10%。【拓展】3.【计算错误】百分数与小数的互化要熟练，如0.8%=0.008，切不可写成0.8。4.【解题模型僵化】看到“多”就用加，看到“少”就用减，而忽略了题目问的具体是什么。\t例如：“一种商品降价15%后是170元”，这个问题虽属本单元知识基础，但实际是逆向求单位“1”，需用方程或除法解决，不能直接用170×（115%）。这是后续学习的重点，但在此处可作为思维拓展点，提醒学生注意区分。5.【忽略“1”的隐藏含义】在计算“成数”或“折扣”时，忘记（1±百分率）中的“1”代表单位“1”本身，导致漏加或漏减。五、跨学科视野与深度学习【拓展】（一）与统计的融合在条形统计图或折线统计图中，经常出现“比去年同比增长百分之几”的字样。这正是百分数应用（二）在现实数据展示中的体现。学会看懂统计图中的百分数变化，并能根据数据进行简单的预测或说明，是数据意识的重要表现。（二）与科学的融合在科学课中学习“溶液的浓度”、“种子的发芽率”、“动物的增长率”等，都需要用到百分数。例如，“某种农作物经过改良后，产量比原来提高了35%”，这不仅是数学题，也是生物学上品种改良的价值体现。（三）与经济的融合理解“CPI（居民消费价格指数）同比上涨2.3%”这类经济新闻，需要扎实的百分数基础。通过学习，学生能够初步理解通货膨胀、增长率等宏观经济学的基本概念，用数学的眼光观察经济世界。（四）数学史话早在两千多年前，我国古代数学著作《九章算术》中就有“衰分”（按比例分配）问题，其中就蕴含了百分比思想的萌芽。古人在计算利息、税收时，已经会用到类似“百分之几”的算法，这是中华文明智慧的结晶。六、综合素养提升与思维训练（一）自编题目训练鼓励学生根据生活中的素材，如“妈妈的工资”、“商场的促销广告”、“家庭水电费的变化”等，自编一道“求比一个数增加（减少）百分之几”的数学问题，并解答。这不仅加深了理解，更让学生体会到数学源于生活、服务于生活。（二）一题多解与对比对于同一道题，不仅要求学生能用两种方法解，还要引导学生比较哪种方法