安徽合肥八中教育集团蜀山分校2025-2026学年高一第二学期期中测试数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽合肥八中教育集团蜀山分校2025-2026学年第二学期期中测试高一数学试卷一、单选题1．已知复数z=21-i，其中i是虚数单位，则zA．1 B．2 C．2 D．2【答案】B2．对于非零向量a, b，下列命题正确的是（A．若a⊥bB．若a⋅cC．若a//b，则aD．若a//b，则a在b上的投影向量为ae（e【答案】A3．已知向量e1, e2不共线，且AB=e1A．λ=2, μ=-1 B．λ=-2, μ=-4C．λ=2, μ=3 D．λ=-1, μ=2【答案】B4．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1CA．8 B．4 C．43 D．【答案】C5．在△ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，若a=2, b=3, A=45°，则A．45° B．60° C．120° D．60°或120°【答案】D6．在△ABC中，若cosA=b2cA．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】C7．在△ABC中，D为BC边上的中点，E在AD上且AE=2ED，若CE=λAB+μAC则A．13 B．-13 C．-1【答案】D8．在△ABC中，BC=2, ∠BAC=π4，点O在△ABC所在平面内且满足OA2A．1 B．2 C．2 D．2【答案】C二、多选题9．已知向量a=1, 2, A．a与b能作为一组基底 B．aC．3a-b=7 D．a【答案】ABD10．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b=2a, sinB=2sinAcosA．C=135° B．C=45°C．c=2 D．△ABC【答案】BCD11．已知在△ABC中，G为重心，直线l过点G交边AB于点D，交边AC于点E，且D, E两点不与△ABC的顶点重合，若AD=xAB, A．AG=13AB+13C．1x+1y=【答案】ABD三、填空题12．在△ABC中，已知3bc=b2+c【答案】π13．如图，在矩形ABCD中，AB=3, BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AE⋅BF=【答案】314．已知四面体ABCD中，AB=CD=5, BC=AD=25, AC=BD=13，且A, B, C, D四点都在球O的球面上，则球O【答案】29四、解答题15．已知复数z=1+mim∈R(1)若z-m2-(2)若复数z2+i在复平面内所对应的点在第二象限，求实数【答案】解：（1）若z-(m则1-m2=0所以z=1+i（2）z(2+i在复平面内所对应的点为(2-m,1+2m)，位于第二象限，所以2-m<01+2m>0，解得m>2即实数m的取值范围为(2,+∞).16．已知向量a=4x, 1, (1)求a-2(2)求与a垂直的单位向量e的坐标；(3)若c=3, 0，当t∈0, 2【答案】解：（1）由a=(4x,1),得-4x2=1-4x，即4所以a=(2,1),b=(-1,-（2）由（1）知a=(2,1)，设与a垂直的单位向量e的坐标为(x,y)则2x+y=0x2+y2所以与a垂直的单位向量e的坐标为(55,-（3）由（1）知a=(2,1)，又c所以a-t又t∈[0,2]，则(3t-2)2所以a-t即a-tc的取值范围为17．某工件是一个组合体，如图所示，它由两个半球和一个圆柱组成．已知球的直径是4cm，圆柱的高是2cm．(1)求这种工件的体积；(2)现要在这种工件的表面电镀一层防锈金属膜，每平方厘米需要花费20元，共需多少费用？【答案】解：（1）由题意知，球的直径为4cm，所以球的半径为r=2cm则圆柱的体积为V1上下两个半球的体积之和为V2所以该几何体的体积为V=V（2）根据题意，中间圆柱的侧面积为S1上下两个半球的表面积之和为S2所以该几何体的表面积为S=S因为电镀一层防锈金属膜每平方厘米需要花费20元，所以共花费24π×20=48018．在△ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c；且3b=(1)求角C；(2)若△ABC角平分线CD=3，求△ABC的面积S【答案】解：（1）因为3b=由正弦定理得3sin3sin3sin3sin由sinA>0，得3cosC=-又C∈(0,π)，所以（2）如图，CD为∠ACB的角平分线，S△ABC=S得ab=3解得ab≥12（当且仅当a=b=23所以S△ABC即△ABC的面积的最小值为3319．如图所示，设Ox, Oy是平面内相交成θ0<θ<π, θ≠π2角的两条数轴，e1, e2分别是与x, y轴正方向同向的单位向量，若OM=xe(1)在此坐标系下，求向量2OA(2)当θ=π3时，求(3)设∠AOB=α，若OA-tOB≥3对【答案】解：（1）由OA=3,1,所以2OAOA⃗（2）当θ=π3时，e1→=1所以OA⃗OA⃗OB⃗所以co