安徽省滁州市2026届高三下学期第二次教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省滁州市2026届高三下学期第二次教学质量监测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意得，，所以.2.已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】复数满足，即，化简可得，所以复数的模为.3.若，是方程的一个根，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方程的根为或，因为，所以，即，.4.已知某班8位同学的体重（单位：kg）分别为69，71，67，57，63，53，67，41，则这组数据的（）A.极差为28 B.平均数为60C.第三四分位数是69 D.方差为90【答案】D【解析】将8位同学的体重按照从小到大的顺序排列：41，53，57，63，67，67，69，71，对于A，极差为，错误；对于B，平均数为，错误；对于C，，所以第三四分位数为，错误；对于D，方差为，正确.5.若向量，为单位向量，且，则与夹角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，则，又为单位向量，所以.由可得，，即，所以.，.设与夹角为，则.故.6.试估计（）（精确到0.0001）A.1.1462 B.1.1463 C.1.1045 D.1.1046【答案】D【解析】，因为，所以第五项及之后均可忽略不计，所以.7.已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由为偶函数，得，即关于对称.由为奇函数，得，令可得.所以，，联立得，，周期为.选项A：仅知关于对称，无任何条件可推出，值不确定，A错误.选项B：由为奇函数得，由对称性，未知，故不一定成立，B错误.选项C：由，令，得，即恒成立，C正确.选项D：在中，令，得，由，所以，故，不一定等于，D错误.8.2026年清远全市春运返程车流量已破历史高峰，特别是南下车流占比较大，为缓解南行车流压力，清远市交警在许广高速清远段实施区间“借道通行”交通管制措施，被网友俗称“潮汐车道”．如图为某地0～12时南下车辆的平均速度随时间变化的曲线，表格是北上车辆在部分时刻监测到的车辆平均速度．根据高速流量监控系统设置，当北上车辆平均速度减去南下车辆平均速度的差超过60km/h时，系统将自动开启向北上车道“借道通行”，请选择适当的三角函数模型，并据此判断在0～12时，“借道通行”的总时长约为（）时间（h）036912平均车速（km/h）100602060100A.1h B.2h C.3h D.4h【答案】B【解析】由题意可得南下车辆的平均速度是正弦型函数模型，设其解析式为，根据图象可得,又因为此函数图象为的图象，且函数在处最得最大值100，由正弦函数的对称性和图象可得函数在处取得最小值20，所以，所以，解得，所以，又因为图象过点，所以，，取，则，验证：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，与题干中的图象完全吻合；所以南下的函数的解析式为；从表格中可得北上的车速函数关于对称，且周期为12，振幅为，其图象为余弦函数的图象，设其，则，所以，经检验与表中数据完全吻合，所以北上时，车速函数为，令，即，，整理得：，又因为，所以，所以，解得，所以“借道通行”的总时长约为小时.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知两条直线和交于点，则（）A.直线必过点B.点在圆上C.点到直线距离最小值为D.点的轨迹与圆有三条公切线【答案】ABD【解析】对A：将代入，可得，故直线必过点，故A正确；对B：对，令，则，故过点，又，故与垂直，结合直线过点，可得点在以为直径的圆上，圆心为，半径，故点在圆上，故B正确；对C：由B知，点在圆上，由斜率存在，故的轨迹不过点，故点的轨迹方程为，且不过点，的轨迹所在圆的圆心为，半径，到直线距离，则点到直线距离最小值为，由图可得，此时点不为，故C错误；对D：圆的圆心为，半径，则，，故圆与圆相外切，即有三条公切线，故D正确.10.已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（）A. B.C.，，成等比数列 D.若，则【答案】BC【解析】对于A，当时，无意义，A错误；对于B，，B正确；对于C，若，则，，，因为，所以，，成公比为的等比数列；若，则，，，所以，所以，，成公比为的等比数列，C正确；对于D，当时，,对于任意的都满足，但不一定成立，D错误.11.正方体的棱长为2，点在平面内（含边界），且点到点的距离与到平面的距离相等，点为线段中点，则（）A.三棱锥的体积为定值B.恰有两个点，使得直线平面C.的最小值为D.若与平面所成角的正弦值为，则到平面的距离为【答案】ACD【解析】对于A：正方体中，平面平面，又点在平面内（含边界），所以点到平面的距离为定值.又点为线段中点，所以，则.故，为定值，故A正确.对于B：以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，因为点为线段中点，所以.设，则，点到平面的距离为，所以，整理得，即点的轨迹方程为.设平面的法向量为，，，则，即，令，则，，所以.且.若直线平面，则，所以，即.联立，整理得，解得或.因为，所以.故只有1个点，使得直线平面，故B错误；对于C：由选项B可知，，，则.又，，所以.又，所以.令，则.令，则，则，当，即时，取最大值1，此时取最小值，取最小值，故的最小值为，C正确.对于D：已知平面的一个法向量为，.因为与平面所成角的正弦值为，则，整理得，联立，整理得，即，解得或（舍去），故到平面的距离为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数且的图象恒过的定点是_____________.【答案】【解析】因为，所以该函数的图象恒过的定点是，故答案为：.13.已知数列的通项公式是，去掉数列中的后余下的项构成新的数列，则数列的前项和________．【答案】【解析】因为数列的通项公式是，所以，即数列是等差数列，所以数列的前项和为，因为，依然为等差数列，所以的前项和为，所以数列的前项和.14.已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，．若，则的离心率为________．【答案】【解析】设，易知直线的方程为，联立方程，得消去得，故，因为点且斜率为的直线与的右支交于，两点，则，即，因为，所以所以，的中点的横坐标，，所以，又，即，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角，，的对边分别为，，，且，．（1）若，求；（2）若是边上一点，且满足，求的面积．解：（1），由正弦定理得：，，即，，，在中，由正弦定理得：，；（2）记，则，，．在和中，由余弦定理得：，解得：，是边长为6的正三角形，故，的面积．16.某校数学社团设计了一款游戏，满足如下规则：一质点在数轴上从原点开始随机向左或向右移动，每步移动一个单位长度．若每步质点向右移动的概率为，向左移动的概率为．经过5步移动后，质点的位置坐标记为随机变量．（1）当时，若质点只在非负半轴上移动，求在此条件下的值；（2）该数学社团用计算机进行了100次独立实验，记录最终位置的频数分布如下：135频数91623271411①求的平均数；②用该样本的平均数估计随机变量的均值，求的值（保留两位小数）．解：（1）设事件“质点只在非负半轴上移动”，事件“”，，，所以．另解：所以．（2）①样本的均值．②设向右移动次数为，，，所以，所以．又由①知，所以，得．17.如图，在直四棱柱中，下底面为平行四边形，，，，分别是上、下底面所在平面内两点，点在棱上，且点是以为圆心的圆弧上的动点，点是半圆弧上的动点（不包括端点）．（1）若点在上，证明：平面；（2）设三棱锥的外接球的半径为，求的取值范围．（1）证明：如图，作出符合题意的图形，连接，，，是等边三角形，是的中点，又是的中点，，且，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，又，且平面，平面，平面，又，平面，平面平面，又平面，平面．（2）解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，中点坐标为，可设球心，在以为圆心、1为半径的圆弧上，，．则，，由，化简得，，，故，，．18.已知椭圆的离心率为，焦距为，点是椭圆上的一点．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形（为坐标原点）．①求的值；②求四边形的面积．解：（1）已知，又焦距为，，故，，∴椭圆的方程为．（2）把直线方程代入椭圆方程，化简得：．则，设，，则，，因为四边形为平行四边形（为坐标原点），所以，，，，把点的坐标代入椭圆的方程，化简得：．①，，∴点是曲线上的一点，设曲线的左、右焦点分别为，，，由双曲线的定义知：．②记点到直线的距离为，则，，．19.已知函数．（1）讨论的极值；（2）若有两个零点，①求实数的取值范围；②当取得最小值时，求实数的值．解：（1）由题意得：f'当时，恒成立，此时单调递减，无极值；当时，令f'x=a-3x令f'x=故在单调递增，在单调递减．在处取极大值，为fa3=a综上所述：当时，无极值；当时，的极大值为fa3=a（2）①由（1）知：当时，单调递减，此时最多有一个零点，不符合题意；当时，的极大值为fa3=a令Px=xln故在单调递减，在单调递增．∴P(x)min=P又fe-4a=-3e-又由对数函数及幂函数性质，当足够大时，