安徽芜湖市第十二中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽芜湖市第十二中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知向量a=1,2,b=3,x，若A．-132 B．1 C．72【答案】C2．若z=2ii-2，其中i为虚数单位，则A．45i B．-45i C．4【答案】D3．已知a+b=a，b=1A．-2b B．-12b C．【答案】B4．若一个圆锥的轴截面是面积为43的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（

A．4π B．8π C．12π【答案】B5．如图所示，在△DEF中，M在线段DF上，DE=3，DM=EM=2，sinF=35，则边EFA．4916 B．15716 C．15【答案】D6．设△ABC的面积为S，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且sinC=2sinB，若A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】D7．如图所示，已知△ABC，点M，N满足AM=12AB，AN=13AC，BN与CM交于点P，AP交A．AP=15C．t=25 D【答案】D8．在直角三角形ABC中，AC=2,BC=1，D为斜边AB上一点，若△ACD与△BCD的内切圆面积相等，则BD的长为（

）A．55 B．255 C．3【答案】B二、多选题9．已知z=x+yi（x，y∈R），若2z=-y+4iA．z=1+2i B．z=5 C．【答案】BD10．点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（

）A．若AO=λABABsinBB．若2OA+OB+3OC=0，S△AOCC．若OA⋅ABAB+CAD．若点O满足OA=OB=OC，AB【答案】ACD11．在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=2bsinC．则（A．△ABC的面积为14a2C．若c=3b，则tanC=2+1【答案】ACD三、填空题12．将一个底面半径为2，高为3的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为__________．【答案】1213．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD=120°，C，D两地相距500m，则电视塔AB的高度是____________m【答案】50014．某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为△ABC），点D，E在△ABC的边上，线段DE把草坪分成面积相等的两部分．如果沿DE铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米．【答案】20四、解答题15．如图所示，O'A'B'C'为四边形OABC(1)求平面四边形OABC的面积；(2)若四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．【答案】解：（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形OABC是直角梯形，其中OA=O'A'=3如图所示：所以平面四边形OABC的面积为2+3×2（2）四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，其中圆柱的底面半径r1=2，高h1=2，圆锥的底面半径为母线长l=OA-BC则旋转体的体积为V=π表面积为S=π16．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=1，若M,N分别是边BC,CD所在直线上的点，且满足BM=kBC,(1)当∠DAB=90∘,k=13(2)当∠DAB=60∘时，求AM【答案】解：（1）当k=13时，可得同理可得AN=因为∠DAB=90∘，所以则AN⋅而AM=所以cos<即向量AM和AN的夹角的余弦值为2737（2）解：由AM=可得AN=k=k+4=-k因为0<k<1，可2<-(k+1)2+6<5所以AM⋅AN的取值范围为17．某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB､BC､CD､DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中(1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？(2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？最大面积分别为多少？【答案】解：（1）由题意得S△BCD解得sinC=2425，因为CBD=B故需要修建6017米的隔离防护栏（2）由题意得S△BCD当且仅当C=π2时取到等号，此时设∠ABD=α,α∈(0,2在△ABD中，ADsin解得AD=200花卉观赏区的面积为S==25000因为α∈0,23故当2α-2π3=0，即α=得到S△ABD当且仅当α=π3时取到等号，此时18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sinC+3cos(1)求角B；(2)若a+c=2，求边AC上的角平分线BD长；(3)若△ABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围.【答案】解：（1）由sinC+3cos因为sinA=所以sinB由sinC≠0，得tanB=3，又0<B<（2）如图：由余弦定理，b2=a2+所以(a+c)2-3ac=3，又a+c=2，所以由S△ABC=S整理得：BD=3（3）因为BE是边AC上的中线，则BE=两边取平方，BE2由（2）已得(a+c)2=3+3ac，代入可得由正弦定理，asin则a=2sin所以ac=4=3因为△ABC为锐角三角形，则有0<A<π解得π6<A<π由正弦函数的图象性质，可得12故得2<ac≤3，从而BE2故边AC上的中线BE的取值范围为7219．在△ABC中，∠A,∠B,∠C对应的边分别为a,b,c，bsin(1)求角A的大小；(2)奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式：(x其中x1,x2,x3①求(a②若P是△ABC内一点，过点P作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D,E,F，设△ABC的面积为S，求T=|AB||PD|【答案】解：（1）在△ABC中，由bsin得sinBsinA+则sinB+sinA整理得sin(B+A)=2sinCcosA于是cosA=12，又A∈(0,（2）①由正弦定理得bsin由柯西不等式得(=(a当且仅当asinA=Bsin所以(a2②T=|AB|又S△PABc|PD|+a|PE|+b|PF|=2S，由三维柯西不等式得：2S⋅T=(c|PD|+a|PE|+b