北京市房山区2025-2026学年高二年级下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市房山区2025-2026学年高二年级下学期期中数学试题一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知等比数列的通项公式为，则数列的首项为（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】等比数列通项公式为，将代入通项公式，故数列的首项为.2.已知数列是等差数列，若，，则的值为（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】C【解析】设数列的公差为，则，所以，所以.3.已知数列的前项和，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为数列的前项和，所以，当时，;当时，，，故，当时，不满足，所以.4.下列求导运算错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】选项A：根据加法求导法则，​，故A正确；选项B：根据商的求导法则，，故B正确；选项C：根据乘积求导法则，，故C正确；选项D：根据复合函数求导，设，则，故D错误.5.已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示.则下列结论中正确的是（）A.函数在上单调递减B.0是函数的极小值点C.2是函数的极大值点D.函数在，上单调递增【答案】D【解析】由导函数的图象可知，当，，当，，当，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以A错误，D正确；因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以0是函数的极大值点，2是函数的极小值点，所以B,C错误.6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第四天走的路程为（）A.12里 B.24里 C.36里 D.48里【答案】B【解析】该人从第一天起每天走得路程记为，则是公比为的等比数列，，解得，.故选:B【『点石成金』】本题以数学文化为背景，考查等比数列前项和以及通项公式的基本运算，属于基础题.7.已知函数在上有3个不同的零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】fx=x3-3x-a=0函数在上有3个不同的零点即函数与直线有三个交点，，当解得，所以时，，时，，时，，即函数在单调递增，在单调递减，在单调递减，且函数在取得极大值，在取得极小值，由此可得函数图象，结合图象可得实数的取值范围为.8.已知等差数列的首项为，公差，则“成等比数列”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据题意，设数列的公差为d，若成等比数列，则，即（a1+2d）2=a1•（a1+8d），变形可得：a1=d，则“成等比数列”是“a1=d”的充分条件；若a1=d，则a3=a1+2d=3d，a9=a1+8d=9d，则有，则“成等比数列”是“a1=d”的必要条件；综合可得：“成等比数列”是“”的充要条件；故选C．9.已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，则，因为定义在上的函数满足，即，所以在上恒成立，所以在上单调递增，因为，所以，因为，即，所以，即不等式的解集为.10.谢尔宾斯基垫片（SierpinskiGasket）是一种分形图形，其构造过程如下：①从一个边长为1的等边三角形开始；②将三角形分成4个全等的等边三角形，去掉中间的三角形，完成一次操作；③对剩下的3个三角形重复步骤②；设第n次操作后，剩下的所有小三角形的周长之和为，面积之和为．下列结论错误的是（）A.经过n次操作，可以使得B.经过n次操作，可以使得C.经过n次操作，可以使得D.经过n次操作，可以使得【答案】C【解析】初始时，大等边三角形边长为1，周长记为，面积记为；第一次操作，将大等边三角形分成4个全等的等边三角形，每个小三角形的边长为，剩下3个三角形，这3个三角形的周长之和为，面积为；第二次操作，对剩下的3个边长为的三角形，每个又分成4个边长为的小三角形，剩下个三角形，这个三角形的周长之和为，面积为；以此类推，第n次操作后，剩下的所有小三角形的周长之和，面积，其中.对于A，要使得，即，因为随着的增大而减小，且时，，所以当足够大时，会有，故A正确；对于B，要使得，即，因为随着的增大而增大，且时，，所以当足够大时，会有，故B正确；对于C，要使得，即，因为随着的增大而增大，且，所以，故C错误；对于D，要使得，即，因为随着的增大而增大，且时，，所以当足够大时，会有，故D正确；故选：C.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11.若函数，则__________.【答案】【解析】因为，所以.故答案为：.12.已知函数，则__________.【答案】【解析】根据导数的定义，极限

​表示函数在处的导数值，因为求导，，所以.13.已知等差数列的前项和为，首项与公差分别为，，则满足的一组，的取值是__________，__________.【答案】①.②.（答案不唯一,只需满足即可）【解析】根据等差数列通项公式，.根据等差数列前项和公式，.由，得方程：.整理得：，即.令，则.故一组取值为，.14.若函数无极值点，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】因为，所以，因为函数无极值点，所以，解得，实数的取值范围是，故答案为：.15.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植x万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕______万千克.【答案】5【解析】由题意，利润且，所以，则，当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，所以万千克，利润最大.故答案为：516.对于数列，令，给出下列四个结论：①若，则；②若，则；③存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立；④若对任意的，都有，则有.其中正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】对于①，，，所以①正确；对于②，，令，则，当时，，则，，因此，所以②正确；对于③，假设存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立，则必有，且都是非负整数，令正整数，于是，，与矛盾，所以③错误；对于④，由，得，当时，，则当时，，因此，，当时，，所以对任意的，都有成立，所以④正确.三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）在（1）的条件下，求函数的单调递减区间.解：（1）因为，所以，因此函数为.所以，，，因此切点为，所以切线方程为，即（2）由（1）知，，函数的定义域为，，当时，，所以函数的单调递减区间为.18.已知等差数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得数列为等比数列，并求此时数列的前项和.条件①：；条件②：；条件③：，.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.解：（1）设等差数列的公差为，首项为.由等差数列性质得：，解得.又，解得.因此通项公式为：

,即.（2）选条件②：，所以​不是常数，不是等比数列，不符合要求.选条件①：，代入得，则，因此是首项，公比的等比数列.由等比数列前项和公式：

，符合要求.选条件③：，即，则不能判断数列是等比数列，故不符合要求.综上所述，选条件①：；选条件②：数列不是等比数列；选条件③：不能判断数列是等比数列.19.已知数列满足，，是常数.（1）当时，求及的值；（2）当时，求数列的通项公式.解：（1），所以，（2）当时，，即,当时，，所以，因为，所以，经检验符合，所以.20.已知函数.（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（2）求的极值；（3）当时，曲线与直线没有公共点，求的取值范围.解：（1），，解得；（2）由（1）知，当时，恒成立，单调递增，无极值，当时，令，解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以有极大值，为，无极小值；综上：当时，无极值，当时，的极大值为，无极小值；（3）当时，，令，当时，方程无解，所以，令，则，所以当且时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，当时，当时，，当时，，当时，，所以的值域为，因为曲线与直线没有公共点，所以，所以的取值范围为.21.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“拓展”.如数列1，2，第1次“拓展”后得到数列1，3，2，第2次“拓展”后得到数列1，4，3，5，2.设数列，，经过第次“拓展”后所得数列的项数记为，所有项的和记为.（1）求，；（2）若，求的最小值；（3）是否存在实数，，，使得数列为等比数列？若存在，求，，满足的关系式；若不存在，说明理由.解：（1）第1次“拓展”后得到数列为，，，，，所以；第2次“拓展”后得到数列为，，，，，