北京市丰台区2025-2026学年高一第二学期期中练习数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市丰台区2025-2026学年高一第二学期期中练习数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.复数的虚部为（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】，其中实数叫做实部,实数叫做虚部.，对比可得.因此复数的虚部为.2.如图所示，观察四个几何体，下列选项中，错误的是（）A.①是棱台 B.②不是圆台 C.③是棱锥 D.④是棱柱【答案】A【解析】图①不是由棱锥截到的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥．图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱．3.已知向量，.若，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，解得.4.若，其中i是虚数单位，则（）A. B.1 C. D.3【答案】B【解析】由题设，故，所以.故选：B.5.下列说法不正确的是（）A.底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 B.底面是正多边形的棱锥是正棱锥C.棱柱的侧棱相互平行 D.正棱柱的高与侧棱长相等【答案】B【解析】A选项：底面是正多边形的直棱柱，侧棱垂直底面，符合正棱柱定义，说法正确；B选项：正棱锥要求底面是正多边形，且顶点在底面的投影为底面中心，仅底面是正多边形不能判定为正棱锥，说法不正确；C选项：棱柱的侧棱相互平行且相等，是棱柱基本性质，说法正确；D选项：正棱柱属于直棱柱，侧棱垂直底面，高与侧棱长相等，说法正确.6.在复平面内，复数对应的点关于实轴对称，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】复数对应的点关于实轴对称，则是的共轭复数.由，得.7.在中，已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，由余弦定理得，，由解得.故选：D.8.“、、、四点共线”是“与共线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若四点共线，则向量与一定在同一直线上，,充分性成立.若与共线,只能说明两向量平行,可以是两条平行直线,四点不一定共线,必要性不成立.所以“、、、四点共线”是“与共线”的充分不必要条件.9.在中，，，，D为AB的中点，点P在线段CD上，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以为坐标原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系，所以，因为D为AB的中点，所以，，设，所以，所以，可得，，所以，因为，所以.10.在中，内角对应的边分别为，若，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，由正弦定理得,为三角形外接圆半径.代入，，得.因此，.因为，，所以，且.则.由，得，所以.故，即的取值范围是.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.如图所示，已知正方形网格中每个小正方形边长为1，则向量与夹角的余弦值为______.【答案】【解析】建立如图平面直角坐标系，则，所以，所以，即向量夹角的余弦值为.12.在中，，，，则______.【答案】或【解析】在中，，，，由正弦定理得，所以，则或.13.如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则=______；等于______.【答案】；【解析】如图所示，.则，，则.14.如图所示，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，若，，则四边形的面积为______.【答案】【解析】如图，运用斜二测画法画出原图，原图为平行四边形.由，得，所以，所以平行四边形的面积为.15.如图正八边形，为正八边形中心，已知，为正八边形边上的动点，给出下列结论：①与夹角为②在上的投影向量为③的最大值为④存在点，使得.其中正确结论的序号是______.【答案】①②④【解析】正八边形中心角为，.①与的夹角为正八边形中心角，故①正确.②与夹角为，在上的投影向量为，故②正确.③以为原点，建立平面直角坐标系：，，，则..为在上的投影.由图可知在上运动时，可取最大值，即在处时，，最大值为所以最大值为，③错误.④设到中心的距离为，利用公式.所以.由正八边形对称性可知，所以.令，得，则，，..得.又，故.由图可知正八边形边上的点到中心距离最短为中点到的距离，最长为，所以正八边形边上的点到中心距离介于和之间，在此范围内.因此存在这样的点，故④正确.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知平面向量，.（1）若，求实数的值；（2）设，若三点共线，求m的值.解：（1）因为，，所以，因为，所以，整理得，解得或.（2）法一：因为A，B，C三点共线，所以，因为，，所以，所以.法二：因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使得，即，所以即.17.已知的周长为18，，.（1）求；（2）求的面积.解：（1）因为周长为，.所以，即.由余弦定理可得.所以，，解得.（2）因为，，所以.由（1）可知，所以.18.如图，在菱形中，，，点为边的中点，点为线段上靠近的三等分点（即），设，.（1）用基底表示向量，，；（2）若点为线段上的动点，求的最小值.解：（1），，.（2）设，，则，，所以.当时，取得最小值为3.19.在中，内角对应的边分别为，且.（1）求角；（2）已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上中线的长.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.解：（1）方法一：由正弦定理，为三角形外接圆半径，代入，得，即.由，，故.因为，所以，又，所以.方法二：因为，由余弦定理得，化简得即.又，所以.（2）选条件①：，，，因为，所以，.则.三角形内角正弦值必为正，故不存在.选条件②：，，.由余弦定理，得，即，整理得，解得或（舍去）.故，三角形唯一确定.因为为边上中线，由向量关系得，两边平方得，代入，，，得，所以.选择条件③：，，，为边上中线，所以，，代入，，，得，所以，三角形存在且唯一.20.在中，内角对应的边分别为，是的角平分线.（1）证明：；（2）已知，，，，求的最小值.解：（1）在中，，即，在中，，即，因为是的角平分线，所以，，因为，所以，即.（2）因为，，，所以，又，所以，所以.因为，所以在直线上，当时，有最小值.在中，，由解得.由（1）得，所以，在中，，所以，在中，，所以的最小值为.21.设n是给定的正整数，，(其中，定义.已知集合.若集合满足下列两个条件，则称集合具有性质.条件①：对于集合中任意一个元素，都有为奇数；条件②：对于集合中任意两个不同元素，，都有为偶数.（1）判断集合和是否具有性质；（2）若，且集合具有性质，求集合中元素个数的最大值；（3）若集合具有性质，求集合中元素个数的最大值.解：（1）集合A具有性质P，集合B不具有性质P.（2）集合S中的每个元素含奇数个1，所有含有奇数个1的元素共有8个，将所有含有奇数个1的元素分成如下4组：，，，一方面若集合中有5个元素，由抽屉原理中至少有两个元素来自，因为每个集合中的元素不能同属于集合，所以集合中元素个数不超过4；另一方面，，具有性质P；所以集合中元素个数最大值是4.（3）设集合