2026年研究生入学考试数学二历年真题

2026年研究生入学考试数学二历年真题一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）1.limA.0B.1C.1D.1答案C2.当x→A.1B.0C.eD.x答案B3.函数y=A.(B.(C.(D.(答案A4.0A.eB.eC.eD.e答案A5.设z=eA.0B.1C.2D.e答案B6.设D={A.1B.2C.1D.4答案B7.微分方程y″A.yB.yC.yD.y答案A8.设A为3阶矩阵，|A|A.−B.−C.4D.16答案A9.设齐次线性方程组$$\begin{cases}

x_1+x_2+x_3=0,\\

2x_1+2x_2+2x_3=0,

\end{cases}$$则其基础解系所含向量个数为（）A.0B.1C.2D.3答案：C10.设A=11A.1B.−C.1D.1答案A二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分。）11.lim答案112.曲线y=答案(13.∫答案arctan14.设z=ln答案215.微分方程dy(0)=1$的特解为答案y16.设A=1答案1三、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.（本题满分10分）求极限lim答案：−解析：$$\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sin^2x}

=\frac{\sin^2x-x^2}{x^2\sin^2x}.$$由sinxsin于是$$\sin^2x-x^2=-\frac{x^4}{3}+o(x^4),\qquad

x^2\sin^2x=x^4+o(x^4).$$所以$$\lim_{x\to0}\frac{\sin^2x-x^2}{x^2\sin^2x}

=-\frac13.$$18.（本题满分12分）设函数y=e所确定，求dydx答案：y′(解析：当x=0时，ey对方程ey+xe代入x=e再对eye代入x=$$e\cdot\frac1{e^2}+ey''(0)-\frac2e=0

\Rightarrowy''(0)=\frac1{e^2}.$$19.（本题满分12分）计算定积分0答案：2解析：$$\int_0^2|x-1|e^x\,dx

=\int_0^1(1-x)e^x\,dx+\int_1^2(x-1)e^x\,dx.$$因为∫∫所以$$\int_0^2|x-1|e^x\,dx

=\big[(2-x)e^x\big]_0^1+\big[(x-2)e^x\big]_1^2

=(e-2)+e=2e-2.$$20.（本题满分12分）设z其中f具有二阶连续偏导数，求∂2答案：$$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}

=-4xyf_{11}''+(2x^2-2y^2)f_{12}''+xyf_{22}''+f_2'$$解析：令u=x2$$\frac{\partialz}{\partialx}

=2xf_1'(u,v)+yf_2'(u,v).$$再对y求偏导：$$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}

=2x\big[f_{11}''(-2y)+f_{12}''x\big]

+f_2'

+y\big[f_{21}''(-2y)+f_{22}''x\big].$$由于f具有二阶连续偏导数，f12$$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}

=-4xyf_{11}''+(2x^2-2y^2)f_{12}''+xyf_{22}''+f_2'.$$21.（本题满分12分）设矩阵$$A=\begin{pmatrix}

1&2&2\\

2&1&2\\

2&2&1

\end{pmatrix}.$$求A的全部特征值与特征向量，并判断A能否对角化。答案：A的特征值为5,−1解析：令J为3阶全1矩阵，则A=2J−I。J2即A的特征值为5,对于λ=5，解x故属于5的全部特征向量为k对于λ=−1$$A+I=\begin{pmatrix}

2&2&2\\

2&2&2\\

2&2&2

\end{pmatrix},$$得x1α故属于−1k因为A有3个线性无关的特征向量，所以A能对角化。22.（本题满分12分）设线性方程组$$\begin{cases}

x_1+x_2+x_3=1,\\

x_1+2x_2+ax_3=2,\\

x_1+ax_2+2x_3=2.

\end{cases}$$问a为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。答案：当a≠0,2时，方程组有唯一解；当(解析：对方程组的增广矩阵作初等行变换：$$\left[\begin{array}{ccc|c}

1&1&1&1\\

1&2&a&2\\

1&a&2&2

\end{array}\right]

\xrightarrow[r_3-r_1]{r_2-r_1}

\left[\begin{array}{ccc|c}

1&1&1&1\\

0&1&a-1&1\\

0&a-1&1&1

\end{array}\right].$$再令第3行减去(a$$\left[\begin{array}{ccc|c}

1&1&1&1\\

0&1&a-1&1\\

0&0&a(2-a)&2-a

\en