2026年浙江省部编版高二数学第三十六章数列知识点巩固习题试卷

2026年浙江省部编版高二数学第三十六章数列知识点巩固习题试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），则c_6的值为（）A.55B.64C.73D.81解析：由递推关系可知该数列为二阶线性递推数列，设特征方程x^2-2x-1=0，解得x_1=1+√2，x_2=1-√2，通项公式c_n=A(x_1)^n+B(x_2)^n，由初始条件c_1=1，c_2=2c_1+c_0=3，解得A=B=1/2，故c_6=1/2[(1+√2)^6+(1-√2)^6]=64。选项B正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2√3C.-3D.±3√2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立解得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_5等于（）A.25B.30C.35D.40解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_5=2×5=10。选项B正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=√(f_n+3)，则该数列的极限为（）A.1B.2C.3D.不存在解析：设极限为L，由f_{n+1}=√(f_n+3)取极限得L=√(L+3)，解得L=3。选项C正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，同理a_5+a_9=2a_7=18+6=24。选项C正确。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则h_6等于（）A.729B.728C.727D.726解析：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=2，当n≥2时h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故h_6=2×3^5=486。选项D正确。9.若数列{p_n}满足p_1=1，p_{n+1}=n(p_n+1)，则p_4等于（）A.24B.30C.36D.42解析：由递推关系可得p_{n+1}=n!，故p_4=4!=24。选项A正确。10.在等比数列{q_n}中，若q_2=4，q_3=8，则该数列的前6项和S_6等于（）A.64B.84C.112D.136解析：由等比数列性质q_3/q_2=q^2=2，得公比q=√2，首项q_1=q_2/q=4/√2=2√2，故S_6=2√2(1-(√2)^6)/(1-√2)=112。选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n=_________。参考答案：5n解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立解得d=5/2，a_1=0，故a_n=5/2(n-1)=5n/2。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则b_3=_________。参考答案：8解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=-1，当n≥2时b_n=4n-5，验证n=1时成立，故b_3=4×3-5=7。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_5=_________。参考答案：35解析：由递推关系可得c_n=2+(n-1)×3/2+3[(n-1)(n-2)/2]=3n^2/2-3n+2，故c_5=3×25/2-15+2=35。4.在等比数列{d_n}中，若d_1=1，d_4=16，则该数列的公比q=_________。参考答案：2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_4=1×q^3=16，解得q=2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_4=_________。参考答案：10解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=1，当n≥2时e_n=2n-1，验证n=1时成立，故e_4=2×4-1=7。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+2n，则f_6=_________。参考答案：39解析：由递推关系可得f_n=3+(n-1)×n=3+n^2-n，故f_6=3+36-6=33。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=5，d=-2，则该数列的前10项和S_10=_________。参考答案：-90解析：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入S_10=10/2[2×5+9×(-2)]=-90。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则h_5=_________。参考答案：242解析：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=2，当n≥2时h_n=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故h_5=2×3^4=162。9.若数列{p_n}满足p_1=1，p_{n+1}=n(p_n+1)，则p_3=_________。参考答案：6解析：由递推关系可得p_n=n!，故p_3=6。10.在等比数列{q_n}中，若q_1=2，q_3=8，则该数列的前5项和S_5=_________。参考答案：62解析：由等比数列性质q_3/q_1=q^2=4，得公比q=2，故S_5=2(1-2^5)/(1-2)=62。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列为等差数列。（×）解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=-1，当n≥2时b_n=4n-5，b_n与n不成线性关系，故不是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，则公比q=±2。（√）解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_4=1×q^3=16，解得q=±2。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+2n，则该数列为等差数列。（×）解析：由递推关系可得c_n=n^2+n，c_{n+1}-(n+1)^2-(n+1)=c_n-n^2-n，与n无关，故不是等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_5=12，则a_3+a_4=12。（√）解析：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，故a_3=6，同理a_3+a_4=2a_3.5=12。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_n=2n。（×）解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=2n，验证n=1时成立，但e_n与n成线性关系，故不是等差数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则公比q=3√2。（×）解析：由等比数列性质f_4/f_2=q^2=9，得公比q=3。7.若数列{g_n}满足g_1=1，g_{n+1}=2g_n+1，则该数列为等比数列。（×）解析：由递推关系可得g_n=2^n-1，g_{n+1}/g_n=2，故不是等比数列。8.在等差数列{h_n}中，若a_1=3，d=2，则该数列的前n项和S_n=3n+n^2。（√）解析：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入S_n=n/2[6+2(n-1)]=3n+n^2。9.若数列{p_n}的前n项和S_n=2^n-1，则p_n=2^{n-1}。（×）解析：由数列前n项和与通项关系p_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时p_1=S_1=1，当n≥2时p_n=2^{n-1}，验证n=1时成立，但p_n与n成指数关系，故不是等比数列。10.在等比数列{q_n}中，若q_1=2，q_3=8，则该数列的前6项和S_6=126。（√）解析：由等比数列性质q_3/q_1=q^2=4，得公比q=2，故S_6=2(1-2^6)/(1-2)=126。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_3=7，a_5=11，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_3=a_1+2d=7，a_5=a_1+4d=11，联立解得d=2，a_1=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，求b_4的值。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_n=2n，验证n=1时成立，故b_4=2×4=8。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列性质c_4/c_2=q^2=9，得公比q=3。4.若数列{d_n}满足d_1=2，d_{n+1}=3d_n+d_{n-1}（n≥2），求d_5的值。解：由递推关系可知该数列为二阶线性递推数列，设特征方程x^2-3x-1=0，解得x_1=3+2√2，x_2=3-2√2，通项公式d_n=A(x_1)^n+B(x_2)^n，由初始条件d_1=2，d_2=3d_1+d_0=6，解得A=B=1/2，故d_5=1/2[(3+2√2)^5+(3-2√2)^5]=2187。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，求e_3的值。解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=1，当n≥2时e_n=2^{n-1}，验证n=1时成立，故e_3=2^2=4。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=5，d=-3，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入S_10=10/2[2×5+9×(-3)]=-90。7.若数列{g_n}满足g_1=1，g_{n+1}=n(g_n+1)，求g_4的值。解：由递推关系可得g_n=n!，故g_4=24。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=3，h_3=12，求该数列的前5项和S_5。解：由等比数列性质h_3/h_1=q^2=4，得公比q=2，故S_5=3(1-2^5)/(1-2)=93。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，计划每年比上一年增产200件，求第10年的产量。解：由等差数列{a_n}中，a_1=1000，d=200，求a_{10}，由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_{10}=1000+9×200=2800，故第10年产量为2800件。2.某城市人口增长率为每年10%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列{b_n}中，b_1=100，q=1.1，求b_5，由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_5=100×1.1^4≈146.41，故2025年人口约为146.41万。3.某投资账户初始金额为10000元，每年复利利率为5%，求第5年末的账户金额。解：由等比数列{c_n}中，c_1=10000，q=1.05，求c_5，由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_5=10000×1.05^4≈12762.82，故第5年末账户金额约为12762.82元。4.某林场种植树木，第一年种植100棵，以后每年比上一年多种植50棵，求第8年种植的树木数量。解：由等差数列{d_n}中，d_1=100，d=50，求d_8，由等差数列通项公式d_n=d_1+(n-1)d，代入d_8=100+7×50=450，故第8年种植450棵。5.某产品成本第一年为100元，每年成本下降2%，求第6年的产品成本。解：由等比数列{e_n}中，e_1=100，q=0.98，求e_6，由等比数列通项公式e_n=e_1q^{n-1}，代入e_6=100×0.98^5≈85.76，故第6年产品成本约为85.76元。6.某工厂生产一种零件，第一年生产1000件，以后每年比上一年多生产10%，求第7年的生产数量。解：由等比数列{f_n}中，f_1=1000，q=1.1，求f_7，由等比数列通项公式f_n=f_1q^{n-1}，代入f_7=1000×1.1^6≈1771.56，故第7年生产数量约为1771.56件。7.某城市道路建设，第一年修建道路20公里，以后每年比上一年多修建5公里，求第10年修建的道路长度。解：由等差数列{g_n}中，g_1=20，d=5，求g_{10}，由等差数列通项公式g_n=g_1+(n-1)d，代入g_{10}=20+9×5=65，故第10年修建道路65公里。8.某公司股票价格第一年为10元，每年上涨8%，求第5年的股票价格。解：由等比数列{h_n}中，h_1=10，q=1.08，求h_5，由等比数列通项公式h_n=h_1q^{n-1}，代入h_5=10×1.08^4≈14.67，故第5年股票价格约为14.67元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.A4.A5.B6.C7.C8.D9.A10.C二、填空题1.5n2.73.354.25.76.397.-908.1629.610.62三、判断题1.×2.√3.×4.√5.×6.×7.×8.√9.×10.√四、简答题1.解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_3=a_1+2d=7，a_5=a_1+4d=11，联立解得d=2，a_1=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_n=2n，验证n=1时成立，故b_4=2×4=8。3.解：由等比数列性质c_4/c_2=q^2=9，得公比q=3。4.解：由递推关系可知该数列为二阶线性递推数列，设特征方程x^2-3x-1=0，解得x_1=3+2√2，x_2=3-2√2，通项公式d_n=A(x_1)^n+B(x_2)^n，由初始条件d_1=2，d_2=3d_1+d_0=6，解得A=B=1/2，故d_5=1/2[(3+2√2)^5+(3-2√2)^5]=2187。5.解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=1，当n≥2时e_n=2^{n-1}，验证n=1时成立，故e_3=2^2=4。6.解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入S_10=10/2[2×5+9×(-3)]=-90。7.解：由递推关系可得g_n=n!，故g_4=24。8.解：由等比数列性质h_3/h_1=q^2=4，得公比q=2，故S_5=3(1-2^5)/(1-2)=93。五、