2026年浙江省人教版高二数学选修四第三章函数应用测试题

2026年浙江省人教版高二数学选修四第三章函数应用测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为（）A.1B.3C.2D.0解析：函数f(x)由两个绝对值函数组成，其图像为折线段，在x=-2和x=1处分别有转折点。通过分段讨论可得，当-2≤x≤1时，f(x)=3-x，此时f(x)取得最小值2；当x<-2或x>1时，f(x)均大于2。因此f(x)的最小值为2，选C。2.若函数g(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(0,1)解析：函数g(x)的导数为g′(x)=1/(x+1)-1，令g′(x)<0，解得x>-1/2。由于题目要求g(x)在(-1,+∞)上单调递减，需满足-1/2≤a<0。因此a的取值范围是(-1,0)，选C。3.已知函数h(x)=x^3-3ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）A.1B.2C.3D.-1解析：函数h(x)的导数为h′(x)=3x^2-3a，由极值条件得h′(1)=0，解得a=1。进一步验证h′(x)在x=1两侧的符号变化，可知x=1处为极大值点。因此a=1，选A。4.函数f(x)=√(x^2+1)-x在区间(0,+∞)上的最大值是（）A.1B.2C.√2D.1/2解析：令t=x^2+1，则f(x)=√t-x，x>0时t>1。函数f(x)等价于f(t)=√t-√(t-1)，在t∈[1,+∞)上单调递减。因此f(x)的最大值为f(1)=1-0=1，选A。5.若函数p(x)=x^2+bx+c在x=1和x=-1处取得相同函数值，则b+c的值为（）A.0B.1C.-1D.2解析：由题意得1+b+c=1-b+c，解得b=0。此时p(x)=x^2+c，在x=1和x=-1处函数值均为1+c。因此b+c=0，选A。6.函数q(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a的值为（）A.1B.eC.-1D.-e解析：函数q(x)的导数为q′(x)=e^x-a，由极值条件得q′(0)=1-a=0，解得a=1。进一步验证q′(x)在x=0两侧的符号变化，可知x=0处为极小值点。因此a=1，选A。7.函数r(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最小值是（）A.-1B.0C.1/2D.-√2/2解析：函数r(x)的导数为r′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))。令r′(x)=0，解得sin(x)=1/4或sin(x)=1/2。计算r(x)在x=0,π/4,π/2处的函数值，最小值为r(π/4)=√2/2-1/2，近似为-1/2。因此最小值为-√2/2，选D。8.若函数s(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值之差为8，则实数k的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：函数s(x)的导数为s′(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令s′(x)=0，解得x=1。计算s(x)在x=-1,1,3处的函数值，最大值为s(-1)=-5，最小值为s(1)=-1。因此最大值与最小值之差为4，与题意不符。重新分析发现题目条件有误，正确答案应为k=3，选C。9.函数t(x)=ln(1+x)-x在区间[0,1]上的最大值是（）A.0B.1C.ln2D.1/2解析：函数t(x)的导数为t′(x)=1/(1+x)-1，令t′(x)=0，解得x=0。计算t(x)在x=0,1处的函数值，最大值为t(0)=0，最小值为t(1)=ln2-1。因此最大值为0，选A。10.若函数u(x)=x^2-2ax+a^2在x=1处取得最小值，则a的取值范围是（）A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析：函数u(x)的导数为u′(x)=2x-2a，由最小值条件得u′(1)=2-2a=0，解得a=1。进一步验证u′(x)在x=1两侧的符号变化，可知x=1处为极小值点。因此a=1，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数v(x)=|x-2|+|x+1|在区间[-3,3]上的最小值是______。参考答案：3解析：函数v(x)由两个绝对值函数组成，其图像为折线段，在x=-1和x=2处分别有转折点。通过分段讨论可得，当-3≤x≤-1时，v(x)=-2x+1；当-1<x<2时，v(x)=3；当2≤x≤3时，v(x)=2x-1。因此v(x)的最小值为3，填3。2.若函数w(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处取得极值，则实数k的值为______。参考答案：1解析：函数w(x)的导数为w′(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令w′(x)=0，解得x=1。进一步验证w′(x)在x=1两侧的符号变化，可知x=1处为极大值点。因此k=1，填1。3.函数z(x)=sin(2x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最大值是______。参考答案：√2解析：函数z(x)=√2sin(2x+π/4)，在区间[0,π/2]上2x∈[0,π]，因此2x+π/4∈[π/4,5π/4]。当2x+π/4=π/2时，函数取得最大值√2，填√2。4.函数y(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是______。参考答案：(-1,0)解析：函数y(x)的导数为y′(x)=1/(x+1)-1，令y′(x)<0，解得x>-1/2。由于题目要求y(x)在(-1,+∞)上单调递减，需满足-1/2≤a<-1。因此a的取值范围是(-1,0)，填(-1,0)。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值点是______。参考答案：-2解析：函数f(x)由两个绝对值函数组成，其图像为折线段，在x=-2和x=1处分别有转折点。通过分段讨论可得，当x<-2时，f(x)=-2x-1；当-2≤x≤1时，f(x)=3；当x>1时，f(x)=2x+1。因此f(x)的最小值点为x=-2，填-2。6.函数g(x)=x^3-3ax+1在x=1处取得极值，则a的值为______。参考答案：1解析：函数g(x)的导数为g′(x)=3x^2-3a，由极值条件得g′(1)=0，解得a=1。进一步验证g′(x)在x=1两侧的符号变化，可知x=1处为极大值点。因此a=1，填1。7.函数h(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值是______。参考答案：5解析：函数h(x)的导数为h′(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令h′(x)=0，解得x=1。计算h(x)在x=-1,1,3处的函数值，最大值为h(-1)=-5，最小值为h(1)=-1。因此最大值为5，填5。8.函数q(x)=ln(x+1)-x在x=0处取得极值，则a的值为______。参考答案：1解析：函数q(x)的导数为q′(x)=1/(x+1)-1，由极值条件得q′(0)=1-a=0，解得a=1。进一步验证q′(x)在x=0两侧的符号变化，可知x=0处为极小值点。因此a=1，填1。9.函数r(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最小值是______。参考答案：-1/2解析：函数r(x)的导数为r′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))。令r′(x)=0，解得sin(x)=1/4或sin(x)=1/2。计算r(x)在x=0,π/4,π/2处的函数值，最小值为r(π/4)=√2/2-1/2，近似为-1/2，填-1/2。10.函数s(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最小值是______。参考答案：-1解析：函数s(x)的导数为s′(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令s′(x)=0，解得x=1。计算s(x)在x=-1,1,3处的函数值，最大值为s(-1)=-5，最小值为s(1)=-1。因此最小值为-1，填-1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值是3。（√）解析：函数f(x)由两个绝对值函数组成，其图像为折线段，在x=-2和x=1处分别有转折点。通过分段讨论可得，当-3≤x≤-2时，f(x)=-2x-1；当-2<x≤1时，f(x)=3；当x>1时，f(x)=2x+1。因此f(x)的最小值为3，正确。2.函数g(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处取得极值。（√）解析：函数g(x)的导数为g′(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令g′(x)=0，解得x=1。进一步验证g′(x)在x=1两侧的符号变化，可知x=1处为极大值点，正确。3.函数h(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最大值是√2。（×）解析：函数h(x)=√2sin(2x+π/4)，在区间[0,π/2]上2x∈[0,π]，因此2x+π/4∈[π/4,5π/4]。当2x+π/4=5π/4时，函数取得最小值-√2/2；当2x+π/4=π/2时，函数取得最大值√2，正确。4.函数q(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(-1,0)。（√）解析：函数q(x)的导数为q′(x)=1/(x+1)-1，令q′(x)<0，解得x>-1/2。由于题目要求q(x)在(-1,+∞)上单调递减，需满足-1/2≤a<-1。因此a的取值范围是(-1,0)，正确。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值点是-2。（√）解析：函数f(x)由两个绝对值函数组成，其图像为折线段，在x=-2和x=1处分别有转折点。通过分段讨论可得，当x<-2时，f(x)=-2x-1；当-2≤x≤1时，f(x)=3；当x>1时，f(x)=2x+1。因此f(x)的最小值点为x=-2，正确。6.函数g(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处取得极值，则a的值为1。（√）解析：函数g(x)的导数为g′(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。由极值条件得g′(1)=0，解得a=1。进一步验证g′(x)在x=1两侧的符号变化，可知x=1处为极大值点，正确。7.函数h(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值是5。（×）解析：函数h(x)的导数为h′(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令h′(x)=0，解得x=1。计算h(x)在x=-1,1,3处的函数值，最大值为h(3)=5，最小值为h(1)=-1。因此最大值为5，正确。8.函数q(x)=ln(x+1)-x在x=0处取得极值，则a的值为1。（√）解析：函数q(x)的导数为q′(x)=1/(x+1)-1，由极值条件得q′(0)=1-a=0，解得a=1。进一步验证q′(x)在x=0两侧的符号变化，可知x=0处为极小值点，正确。9.函数r(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最小值是-1/2。（√）解析：函数r(x)的导数为r′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))。令r′(x)=0，解得sin(x)=1/4或sin(x)=1/2。计算r(x)在x=0,π/4,π/2处的函数值，最小值为r(π/4)=√2/2-1/2，近似为-1/2，正确。10.函数s(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最小值是-1。（√）解析：函数s(x)的导数为s′(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令s′(x)=0，解得x=1。计算s(x)在x=-1,1,3处的函数值，最大值为s(-1)=-5，最小值为s(1)=-1。因此最小值为-1，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是多少？如何求解？参考答案：最小值为3，求解方法：（1）分段讨论：当x<-2时，f(x)=-2x-1；当-2≤x≤1时，f(x)=3；当x>1时，f(x)=2x+1。（2）比较各段函数值，可得最小值为3，最小值点为x=-2。2.函数g(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处取得极值，求a的值。参考答案：a=1，求解方法：（1）求导：g′(x)=3x^2-6x+2。（2）令g′(1)=0，解得a=1。（3）验证g′(x)在x=1两侧的符号变化，可知x=1处为极大值点。3.函数h(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最大值是多少？如何求解？参考答案：最大值为√2，求解方法：（1）求导：h′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))。（2）令h′(x)=0，解得sin(x)=1/4或sin(x)=1/2。（3）计算h(x)在x=0,π/4,π/2处的函数值，最大值为√2。4.函数q(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,+∞)上单调递减，求a的取值范围。参考答案：a∈(-1,0)，求解方法：（1）求导：q′(x)=1/(x+1)-1。（2）令q′(x)<0，解得x>-1/2。（3）由于题目要求q(x)在(-1,+∞)上单调递减，需满足-1/2≤a<-1。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值点是哪里？如何求解？参考答案：最小值点为x=-2，求解方法：（1）分段讨论：当x<-2时，f(x)=-2x-1；当-2≤x≤1时，f(x)=3；当x>1时，f(x)=2x+1。（2）比较各段函数值，可得最小值为3，最小值点为x=-2。6.函数g(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处取得极值，求a的值。参考答案：a=1，求解方法：（1）求导：g′(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。（2）令g′(1)=0，解得a=1。（3）验证g′(x)在x=1两侧的符号变化，可知x=1处为极大值点。7.函数h(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最小值是多少？如何求解？参考答案：最小值为-√2/2，求解方法：（1）求导：h′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))。（2）令h′(x)=0，解得sin(x)=1/4或sin(x)=1/2。（3）计算h(x)在x=0,π/4,π/2处的函数值，最小值为-√2/2。8.函数s(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最小值是多少？如何求解？参考答案：最小值为-1，求解方法：（1）求导：s′(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。（2）令s′(x)=0，解得x=1。（3）计算s(x)在x=-1,1,3处的函数值，最小值为-1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x^2-4x+5，其中x为产量。求产量为多少时，成本最小？最小成本是多少？解：（1）求导：C′(x)=2x-4。（2）令C′(x)=0，解得x=2。（3）验证C′(x)在x=2两侧的符号变化，可知x=2处为极小值点。（4）计算最小成本：C(2)=2^2-4×2+5=1。参考答案：产量为2时，成本最小，最小成本为1。2.某商品的需求函数为p=10-0.5x，其中p为价格，x为需求量。求需求量为多少时，总收入最大？最大收入是多少？解：（1）收入函数：R(x)=px=(10-0.5x)x=10x-0.5x^2。（2）求导：R′(x)=10-x。（3）令R′(x)=0，解得x=10。（4）验证R′(x)在x=10两侧的符号变化，可知x=10处为极大值点。（5）计算最大收入：R(10)=10×10-0.5×10^2=50。参考答案：需求量为10时，总收入最大，最大收入为50。3.某公司生产某种产品，成本函数为C(x)=x^2-6x+10，其中x为产量。求产量为多少时，平均成本最小？最小平均成本是多少？解：（1）平均成本函数：AC(x)=C(x)/x=x-6+10/x。（2）求导：AC′(x)=1-10/x^2。（3）令AC′(x)=0，解得x=√10。（4）验证AC′(x)在x=√10两侧的符号变化，可知x=√10处为极小值点。（5）计算最小平均成本：AC(√10)=√10-6+10/√10=2√10-6。参考答案：产量为√10时，平均成本最小，最小平均成本为2√10-6。4.某商品的需求函数为p=20-2x，其中p为价格，x为需求量。求需求量为多少时，利润最大？最大利润是多少？解：（1）收入函数：R(x)=px=(20-2x)x=20x-2x^2。（2）成本函数：C(x)=x^2+x。（3）利润函数：L(x)=R(x)-C(x)=20x-2x^2-x^2-x=19x-3x^2-x。（4）求导：L′(x)=19-6x-1=18-6x。（5）令L′(x)=0，解得x=3。（6）验证L′(x)在x=3两侧的符号变化，可知x=3处为极大值点。（7）计算最大利润：L(3)=19×3-3×3^2-3=48。参考答案：需求量为3时，利润最大，最大利润为48。5.某公司生产某种产品，成本函数为C(x)=x^2-4x+5，其中x为产量。求产量为多少时，边际成本最小？最小边际成本是多少？解：（1）边际成本函数：MC(x)=C′(x)=2x-4。（2）令MC′(x)=0，解得x=2。（3）验证MC′(x)在x=2两侧的符号变化，可知x=2处为极小值点。（4）计算最小边际成本：MC(2)=2×2-4=0。参考答案：产量为2时，边际成本最小，最小边际成本为0。6.某商品的需求函数为p=15-3x，其中p为价格，x为需求量。求需求量为多少时，总收入最大？最大收入是多少？解：（1）收入函数：R(x)=px=(15-3x)x=15x-3x^2。（2）求导：R′(x)=15-6x。（3）令R′(x)=0，解得x=2.5。（4）验证R′(x)在x=2.5两侧的符号变化，可知x=2.5处为极大值点。（5）计算最大收入：R(2.5)=15×2.5-3×2.5^2=37.5。参考答案：需求量为2.5时，总收入最大，最大收入为37.5。7.某公司生产某种产品，成本函数为C(x)=x^2-6x+10，其中x为产量。求产量为多少时，边际成本最小？最小边际成本是多少？解：（1）边际成本函数：MC(x)=C′(x)=2x-6。（2）令MC′(x)=0，解得x=3。（3）验证MC′(x)在x=3两侧的符号变化，可知x=3处为极小值点。（4）计算最小边际成本：MC(3)=2×3-6=0。参考答案：产量为3时，边际成本最小，最小边际成本为0。8.某商品的需求函数为p=25-4x，其中p为价格，x为需求量。求需求量为多少时，利润最大？最大利润是多少？解：（1）收入函数：R(x)=px=(25-4x)x=25x-4x^2。（2）成本函数：C(x)=x^2+5x。（3）利润函数：L(x)=R(x)-C(x)=25x-4x^2-x^2-5x=20x-5x^2-x。（4）求导：L′(x)=20-10x-1=19-10x。（5）令L′(x)=0，解得x=1.9。（6）验证L′(x)在x=1.9两侧的符号变化，可知x=1.9处为极大值点。（7）计算最大利润：L(1.9)=20×1.9-5×1.9^2-1.9=19.05。参考答案：需求量为1.9时，利润最大，最大利润为19.05。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.C3.A4.A5.A6.A7.D8.C9.A10.A二、填空题1.32.13.√24.(-1,0)5.-26.17.58.19.-1/210.-1三、判断题1.√2.√3.×4.√5.√6.√7.×8.√9.√10.√四、简答题1.最小值为3，求解方法：分段讨论f(x)在不同区间的表达式，比较各段函数值，可得最小值为3，最小值点为x=-2。2.a=1，求解方法：求导g′(x)=3x^2-6x+2，令g′(1)=0，解得a=1。验证g′(x)在x=1两侧的符号变化，可知x=1处为极大值点。3.最大值为√2，求解方法：求导h′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令h′(x)=0，解得sin(x)=1/4或sin(x)=1/2。计算h(x)在x=0,π/4,π/2处的函数值，最大值为√2。4.a∈(-1,0)，求解方法：求导q′(x)=1/(x+1)-1，令q′(x)<0，解得x>-1/2。由于题目要求q(x)在(-1,+∞)上单调递减，需满足-1/2≤a<-1。5.最小值点为x=-2，求解方法：分段讨论f(x)在不同区间的表达式，比较各段函数值，可得最小值为3，最小值点为x=-2。6.a=1，求解方法：求导g′(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1，令g′(1)=0，解得a=1。验证g′(x)在x=1两侧的符号变化，可知x=1处为极大值点。7.最小值为-√2/2，求解方法：求导h′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令h′(x)=0，解得sin(x)=1/4或sin(x)=1/2。计算h(x)在x=0,π/4,π/2处的函数值，最小值为-√2/2。8.最小值为-1，求解方法：求导s′(x)=3x^