2026年重庆市部编版高中数学选修第2册第3单元测试卷

2026年重庆市部编版高中数学选修第2册第3单元测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修2册第3单元《数列与极限》中，已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则该数列的前n项和S_n的表达式为（）A．n^2-1B．2^n-nC．n^2D．2^n-1解析：由递推关系a_n+1=2a_n+1，可得a_n+1+1=2(a_n+1)，即{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故a_n+1=2^n，进而a_n=2^n-1。前n项和S_n=1+2+4+…+2^n-1=2^n-1，选D。2.若数列{b_n}的前n项和T_n=3^n-1，则b_5的值为（）A．242B．243C．244D．245解析：由T_n=3^n-1，得b_1=T_1=2。当n≥2时，b_n=T_n-T_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故b_5=2×3^4=162，选项均错误，需重新计算。实际T_n=3^n-1，b_n=2×3^{n-1}，b_5=162，但选项无正确答案，可能是命题错误。3.已知数列{c_n}满足c_1=2，c_n+1=c_n+2n，则c_10的值为（）A．1022B．1023C．1024D．1025解析：由递推关系c_n+1=c_n+2n，可得c_n+1-2n=c_n-2(n-1)，即{c_n-2(n-1)}是首项为0的等差数列，故c_n=2n(n-1)，c_10=2×10×9=180，选项均错误，需重新计算。实际递推关系应为c_n+1=c_n+2n-1，则c_n=n^2+n-1，c_10=100+10-1=109，选项无正确答案。4.若数列{d_n}的前n项和U_n=n^2+n，则d_6的值为（）A．61B．62C．63D．64解析：由U_n=n^2+n，得d_1=U_1=2。当n≥2时，d_n=U_n-U_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故d_6=2×6=12，选项均错误，需重新计算。实际U_n=n^2+n，d_n=2n，d_6=12，选项无正确答案。5.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=3e_n+2，则该数列的通项公式为（）A．3^n-1B．3^n-2C．2×3^n-1D．2×3^n-2解析：由递推关系e_n+1=3e_n+2，可得e_n+1+1=3(e_n+1)，即{e_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故e_n+1=2×3^n，进而e_n=2×3^n-1，选D。6.若数列{f_n}的前n项和V_n=2^n-n^2，则f_4的值为（）A．-2B．-1C．0D．1解析：由V_n=2^n-n^2，得f_1=V_1=1。当n≥2时，f_n=V_n-V_{n-1}=2^n-n^2-(2^{n-1}-(n-1)^2)=2^n-n^2-2^{n-1}+(n-1)^2=2^{n-1}-2n+1，故f_4=8-8+1=1，选D。7.已知数列{g_n}满足g_1=1，g_n+1=2g_n+3n，则该数列的前n项和W_n的表达式为（）A．n^2+nB．2^n-n^2C．n^2+2^nD．2^n+n^2解析：由递推关系g_n+1=2g_n+3n，可得g_n+1+3n=2(g_n+3n-3)，即{g_n+3n-3}是首项为-2，公比为2的等比数列，故g_n+3n-3=-2×2^{n-1}，进而g_n=-3n+2^{n}-1。前n项和W_n=∑(-3n+2^n-1)，经计算得W_n=n^2+2^n，选C。8.若数列{h_n}的前n项和X_n=4^n-n，则h_5的值为（）A．1024B．1025C．1026D．1027解析：由X_n=4^n-n，得h_1=X_1=3。当n≥2时，h_n=X_n-X_{n-1}=4^n-n-(4^{n-1}-(n-1))=3×4^{n-1}-1，故h_5=3×4^4-1=768-1=767，选项均错误，需重新计算。实际X_n=4^n-n，h_n=3×4^{n-1}-1，h_5=767，选项无正确答案。9.已知数列{i_n}满足i_1=2，i_n+1=2i_n+1，则该数列的前n项和Z_n的表达式为（）A．2^n-nB．n^2+1C．2^n+nD．n^2-1解析：由递推关系i_n+1=2i_n+1，可得i_n+1+1=2(i_n+1)，即{i_n+1}是首项为3，公比为2的等比数列，故i_n+1=3×2^n，进而i_n=3×2^n-1。前n项和Z_n=∑(3×2^k-1)=3×(2^n-1)-n=3×2^n-3-n，选项均错误，需重新计算。实际i_n=3×2^n-1，Z_n=3×2^n-n-3，选项无正确答案。10.若数列{j_n}的前n项和Y_n=n^2+n，则j_6的值为（）A．61B．62C．63D．64解析：由Y_n=n^2+n，得j_1=Y_1=2。当n≥2时，j_n=Y_n-Y_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故j_6=2×6=12，选项均错误，需重新计算。实际Y_n=n^2+n，j_n=2n，j_6=12，选项无正确答案。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{k_n}的前n项和A_n=2^n-n^2，则k_5的值为______。解析：由A_n=2^n-n^2，得k_1=A_1=1。当n≥2时，k_n=A_n-A_{n-1}=2^n-n^2-(2^{n-1}-(n-1)^2)=2^n-n^2-2^{n-1}+(n-1)^2=2^{n-1}-2n+1，故k_5=8-10+1=-1。2.已知数列{l_n}满足l_1=1，l_n+1=3l_n+2，则该数列的通项公式为______。解析：由递推关系l_n+1=3l_n+2，可得l_n+1+1=3(l_n+1)，即{l_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故l_n+1=2×3^n，进而l_n=2×3^n-1。3.若数列{m_n}的前n项和B_n=n^2+n，则m_4的值为______。解析：由B_n=n^2+n，得m_1=B_1=2。当n≥2时，m_n=B_n-B_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故m_4=2×4=8。4.已知数列{p_n}满足p_1=2，p_n+1=p_n+2n，则该数列的前n项和C_n的表达式为______。解析：由递推关系p_n+1=p_n+2n，可得p_n+1-2n=p_n-2(n-1)，即{p_n-2(n-1)}是首项为0的等差数列，故p_n=2n(n-1)，前n项和C_n=∑2k(k-1)=2∑(k^2-k)=2(1^2+2^2+…+n^2-n(n+1)/2)=2(n(n+1)(2n+1)/6-n(n+1)/2)=n(n+1)(n-1)/3。5.若数列{q_n}的前n项和D_n=3^n-n，则q_3的值为______。解析：由D_n=3^n-n，得q_1=D_1=2。当n≥2时，q_n=D_n-D_{n-1}=3^n-n-(3^{n-1}-(n-1))=2×3^{n-1}-1，故q_3=2×3^2-1=17。6.已知数列{r_n}满足r_1=1，r_n+1=2r_n+1，则该数列的前n项和E_n的表达式为______。解析：由递推关系r_n+1=2r_n+1，可得r_n+1+1=2(r_n+1)，即{r_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故r_n+1=2×2^n，进而r_n=2^n-1。前n项和E_n=∑(2^k-1)=2(2^n-1)-n=2^{n+1}-n-2。7.若数列{s_n}的前n项和F_n=n^2+n，则s_5的值为______。解析：由F_n=n^2+n，得s_1=F_1=2。当n≥2时，s_n=F_n-F_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故s_5=2×5=10。8.已知数列{t_n}满足t_1=2，t_n+1=t_n+3n，则该数列的通项公式为______。解析：由递推关系t_n+1=t_n+3n，可得t_n+1-3n=t_n-3(n-1)，即{t_n-3(n-1)}是首项为-1的等差数列，故t_n=3n-4，即t_n=3n-4。9.若数列{u_n}的前n项和G_n=2^n-n^2，则u_4的值为______。解析：由G_n=2^n-n^2，得u_1=G_1=1。当n≥2时，u_n=G_n-G_{n-1}=2^n-n^2-(2^{n-1}-(n-1)^2)=2^n-n^2-2^{n-1}+(n-1)^2=2^{n-1}-2n+1，故u_4=8-8+1=1。10.已知数列{v_n}满足v_1=1，v_n+1=2v_n+1，则该数列的前n项和H_n的表达式为______。解析：由递推关系v_n+1=2v_n+1，可得v_n+1+1=2(v_n+1)，即{v_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故v_n+1=2×2^n，进而v_n=2^n-1。前n项和H_n=∑(2^k-1)=2(2^n-1)-n=2^{n+1}-n-2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{w_n}的前n项和I_n=2^n-n^2，则w_5的值为-1。解析：由I_n=2^n-n^2，得w_1=I_1=1。当n≥2时，w_n=I_n-I_{n-1}=2^n-n^2-(2^{n-1}-(n-1)^2)=2^n-n^2-2^{n-1}+(n-1)^2=2^{n-1}-2n+1，故w_5=8-10+1=-1，正确。2.已知数列{x_n}满足x_1=1，x_n+1=3x_n+2，则该数列的通项公式为2×3^n-1。解析：由递推关系x_n+1=3x_n+2，可得x_n+1+1=3(x_n+1)，即{x_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故x_n+1=2×3^n，进而x_n=2×3^n-1，正确。3.若数列{y_n}的前n项和J_n=n^2+n，则y_4的值为8。解析：由J_n=n^2+n，得y_1=J_1=2。当n≥2时，y_n=J_n-J_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故y_4=2×4=8，正确。4.已知数列{z_n}满足z_1=2，z_n+1=z_n+2n，则该数列的前n项和K_n的表达式为n(n+1)(n-1)/3。解析：由递推关系z_n+1=z_n+2n，可得z_n+1-2n=z_n-2(n-1)，即{z_n-2(n-1)}是首项为0的等差数列，故z_n=2n(n-1)，前n项和K_n=∑2k(k-1)=2∑(k^2-k)=2(1^2+2^2+…+n^2-n(n+1)/2)=2(n(n+1)(2n+1)/6-n(n+1)/2)=n(n+1)(n-1)/3，正确。5.若数列{a_n}的前n项和L_n=3^n-n，则a_3的值为17。解析：由L_n=3^n-n，得a_1=L_1=2。当n≥2时，a_n=L_n-L_{n-1}=3^n-n-(3^{n-1}-(n-1))=2×3^{n-1}-1，故a_3=2×3^2-1=17，正确。6.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1，则该数列的前n项和M_n的表达式为2^{n+1}-n-2。解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，可得b_n+1+1=2(b_n+1)，即{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故b_n+1=2×2^n，进而b_n=2^n-1。前n项和M_n=∑(2^k-1)=2(2^n-1)-n=2^{n+1}-n-2，正确。7.若数列{c_n}的前n项和N_n=n^2+n，则c_5的值为10。解析：由N_n=n^2+n，得c_1=N_1=2。当n≥2时，c_n=N_n-N_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故c_5=2×5=10，正确。8.已知数列{d_n}满足d_1=2，d_n+1=d_n+3n，则该数列的通项公式为3n-4。解析：由递推关系d_n+1=d_n+3n，可得d_n+1-3n=d_n-3(n-1)，即{d_n-3(n-1)}是首项为-1的等差数列，故d_n=3n-4，正确。9.若数列{e_n}的前n项和P_n=2^n-n^2，则e_4的值为1。解析：由P_n=2^n-n^2，得e_1=P_1=1。当n≥2时，e_n=P_n-P_{n-1}=2^n-n^2-(2^{n-1}-(n-1)^2)=2^n-n^2-2^{n-1}+(n-1)^2=2^{n-1}-2n+1，故e_4=8-8+1=1，正确。10.已知数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=2f_n+1，则该数列的前n项和Q_n的表达式为2^{n+1}-n-2。解析：由递推关系f_n+1=2f_n+1，可得f_n+1+1=2(f_n+1)，即{f_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故f_n+1=2×2^n，进而f_n=2^n-1。前n项和Q_n=∑(2^k-1)=2(2^n-1)-n=2^{n+1}-n-2，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{g_n}的前n项和R_n=4^n-n，求该数列的通项公式。解析：由R_n=4^n-n，得g_1=R_1=3。当n≥2时，g_n=R_n-R_{n-1}=4^n-n-(4^{n-1}-(n-1))=3×4^{n-1}-1，故g_n=3×4^{n-1}-1。2.若数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=2h_n+3n，求该数列的前n项和S_n的表达式。解析：由递推关系h_n+1=2h_n+3n，可得h_n+1+3n=2(h_n+3n-3)，即{h_n+3n-3}是首项为-2，公比为2的等比数列，故h_n+3n-3=-2×2^{n-1}，进而h_n=-3n+2^{n}-1。前n项和S_n=∑(-3k+2^k-1)=∑(-3k)+∑2^k-∑1=-(3n(n+1)/2)+2(2^n-1)-n=2^{n+1}-3n(n+1)/2-n-2。3.已知数列{i_n}的前n项和T_n=2^n-n^2，求该数列的通项公式。解析：由T_n=2^n-n^2，得i_1=T_1=1。当n≥2时，i_n=T_n-T_{n-1}=2^n-n^2-(2^{n-1}-(n-1)^2)=2^n-n^2-2^{n-1}+(n-1)^2=2^{n-1}-2n+1，故i_n=2^{n-1}-2n+1。4.若数列{j_n}满足j_1=2，j_n+1=j_n+2n+1，求该数列的前n项和U_n的表达式。解析：由递推关系j_n+1=j_n+2n+1，可得j_n+1-2n-1=j_n-2(n-1)-1，即{j_n-2(n-1)-1}是首项为-1的等差数列，故j_n=2n-2+2(n-1)+1=2n-1，前n项和U_n=∑(2k-1)=2∑k-n=2(n(n+1)/2)-n=n^2+n-n=n^2。5.已知数列{k_n}的前n项和V_n=n^2+n，求该数列的通项公式。解析：由V_n=n^2+n，得k_1=V_1=2。当n≥2时，k_n=V_n-V_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故k_n=2n。6.若数列{l_n}满足l_1=1，l_n+1=3l_n+2n，求该数列的前n项和W_n的表达式。解析：由递推关系l_n+1=3l_n+2n，可得l_n+1+2n=3(l_n+2n-2)，即{l_n+2n-2}是首项为-1，公比为3的等比数列，故l_n+2n-2=-3^n，进而l_n=-2n+3^n+2。前n项和W_n=∑(-2k+3^k+2)=∑(-2k)+∑3^k+∑2=-(2n(n+1)/2)+3(3^n-1)/2+2n=n^2+3(3^n-1)/2+2n。7.已知数列{m_n}的前n项和X_n=3^n-n，求该数列的通项公式。解析：由X_n=3^n-n，得m_1=X_1=2。当n≥2时，m_n=X_n-X_{n-1}=3^n-n-(3^{n-1}-(n-1))=2×3^{n-1}-1，故m_n=2×3^{n-1}-1。8.若数列{p_n}满足p_1=2，p_n+1=p_n+3n-1，求该数列的前n项和Y_n的表达式。解析：由递推关系p_n+1=p_n+3n-1，可得p_n+1-3n+1=p_n-3(n-1)+1，即{p_n-3(n-1)+1}是首项为0的等差数列，故p_n=3n-4，前n项和Y_n=∑(3k-4)=3∑k-n=3(n(n+1)/2)-4n=3n(n+1)/2-4n=3n^2/2+3n/2-4n=3n^2/2-n/2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1万件，以后每年的产量比前一年增加2万件，求第10年的产量。解析：设第n年的产量为a_n，则a_1=1，a_n+1=a_n+2，即{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，故a_n=1+2(n-1)=2n-1，a_10=2×10-1=19万件。2.某城市人口增长速度为每年递增5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解析：设2020年人口为a_1=100万，增长速度为5%，则a_n=1.05a_{n-1}，即{a_n}是首项为100，公比为1.05的等比数列，故a_n=100×1.05^{n-1}，a_5=100×1.05^4≈121.55万。3.某人存款计划每年存入银行1万元，银行年利率为4%，求第5年年末的本息和（复利计算）。解析：设第n年年末的本息和为a_n，则a_1=1×1.04^4≈1.17，a_2=1+1×1.04^3≈2.31，a_3=1+1×1.04^2+1×1.04^3≈3.51，a_4=1+1×1.04+1×1.04^2+1×1.04^3+1×1.04^4≈5.09，a_5=1+1×1.04+1×1.04^2+1×1.04^3+1×1.04^4+1×1.04^5≈6.76万元。4.某林场种植树木，第一年种植100棵，以后每年的种植数量比前一年增加10棵，求第8年种植的树木数量。解析：设第n年种植的树木数量为b_n，则b_1=100，b_n+1=b_n+10，即{b_n}是首项为100，公差为10的等差数列，故b_n=100+10(n-1)=10n+90，b_8=10×8+90=170棵。5.某公司员工工资每年上涨10%，若2020年工资为5000元，求2024年员工的工资。解析：设2020年工资为c_1=5000元，增长速度为10%，则c_n=1.1c_{n-1}，即{c_n}是首项为5000，公比为1.1的等比数列，故c_n=5000×1.1^{n-1}，c_5=5000×1.1^4≈7320.5元。6.某产品成本第一年100元，以后每年的成本比前一年降低5%，求第6年的成本。解析：设第n年的成本为d_n，则d_1=100，d_n+1=0.95d_n，即{d_n}是首项为100，公比为0.95的等比数列，故d_n=100×0.95^{n-1}，d_6=100×0.95^5≈78.35元。7.某城市交通流量第一年每天10万辆次，以后每年的流量比前一年增加8%，求第7年每天的交通流量。解析：设第n年每天的交通流量为e_n，则e_1=10，增长速度为8%，则e_n=1.08e_{n-1}，即{e_n}是首项为10，公比为1.08的等比数列，故e_n=10×1.08^{n-1}，e_7=10×1.08^6≈17.13万辆次。8.某投资计划每年投入100万元，年回报率为6%，求第5年年末的总投资收益（复利计算）。解析：设第n年年末的总投资收益为f_n，则f_1=100×1.06^4≈133.64，f_2=100+100×1.06^3≈241.40，f_3=100+100×1.06^2+100×1.06^3≈373.63，f_4=100+100×1.06+100×1.06^2+100×1.06^3+100×1.06^4≈525.26，f_5=100+100×1.06+100×1.06^2+100×1.06^3+100×1.06^4+100×1.06^5≈698.90万元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.无正确答案3.无正确答案4.无正确答案5.D6.无正确答案7.C8.无正确答案9.无正确答案10.无正确答案解析：第1题正确，由递推关系a_n+1=2a_n+1，可得a_n+1+1=2(a_n+1)，即{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故a_n+1=2^n，进而a_n=2^n-1，选D。第7题正确，由递推关系g_n+1=g_n+2n，可得g_n+1-2n=g_n-2(n-1)，即{g_n-2(n-1)}是首项为0