2024-2025学年广东深圳高级中学八年级(下)期末数学试卷及答案

数学2024-2025学年广东省深圳高级中学（集团）八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）1.(3分)我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.2.(3分)在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(−4,−1)，B(1,1)，将线段AB平移后得到线段A'B'，若点AA.(−1,−2)B.(−1,4)C.(3,−2)D.(3,4)3.(3分)如图，在▱ABCD中，∠A=2∠D，则∠B的度数为（）A.60B.55C.50D.45∘4.(3分)如图，△DBE是由△ABC绕点B按逆时针方向旋转40∘得到的.若AB⊥DE，则∠AA.50B.45C.40D.305.(3分)如图，直线y=kx+b(k<0)经过点A(3,1)，当kx+b<1A.x<0B.x<3C.x>3D.x<16.(3分)如图，在正六边形ABCDEF中，P，Q分别是边AB，BC的中点，连接PQ，则PQAB的值为（）A.3B.2C.1D.27.(3分)已知关于x的方程ax−2−1=0的解是非负数，则A.a⩽−2B.a⩽−2且a≠−4C.a⩾−2D.a⩾−2且a≠08.(3分)如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变AC的长度（菱形的边长不变)，从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离)，在手柄转动过程中，千斤顶的高度y(cm)随AC的长度x(cm)的变化规律如图2所示，则图2中从点M到点NA.8cmB.4cmC.6cmD.9cm二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）9.(3分)分解因式：x3−x10.(3分)定义一种新运算：a☆b=b+1a−ba−b，若m☆11.(3分)如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3,0)，(−2,0)，点D在y轴上，则点D的坐标是.12.(3分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F分别是AB、CD的中点.若AC=4cm，BD=6cm，则EF=13.(3分)如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将△ABC绕BC边的中点O逆时针旋转得到△DEF，顶点E落在AC边上，DF边交AC边于点G，连接CF，则△CFG的面积为.三、解答题（本大题共7个小题，共61分）14.(5分)解不等式组&3x−1<x+5&15.(6分)下面是小华化简分式(2x−5解：原式=(2x−5=2x−5−x−2=(x−7)(x+2)x−3(1)小华的化简过程从第______步开始出现错误；(2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值.16.(8分)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度.(1)平移△ABC，点A的对应点A1的坐标为(1,−5)，作出平移后对应的△A1(2)将△ABC绕点C逆时针方向旋转90∘得到△(3)若上述△A2B2C17.(8分)老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线AB外一点P作这条直线的平行线.”小亮的作法如下：如图，在直线AB上任取一点C，以点C为圆心，CP的长为半径画弧交AB于点D，再分别以点P，D为圆心，CP的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线PE，则PE∥AB.(1)请判断小亮的作法是否正确，并说明理由.(2)连接PD，CE，交点为O，若PC=5，PD=6，求点P到直线AB的距离.18.(10分)下面是小轩学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并解答相应的问题.题目：某校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书的单价比乙种图书的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同.问甲、乙两种图书的单价各是多少元？方法分析问题列出方程解法一设…，等量关系：甲图书数量=乙图书数量2000解法二设…，等量关系：甲图书单价−乙图书单价=202000(1)解法一所列方程中的x表示______,解法二所列方程中的x表示______.(填序号）①甲种图书的单价；②乙种图书的单价；③甲种图书购买的数量.(2)请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价.(3)若该校用不超过2500元钱购买甲、乙两种图书共60本且进行销售，甲种图书的售价为65元一本，乙种图书的售价为40元一本，那么甲乙两种图书各购进多少本时获利最多？最大利润是多少元？19.(12分)定义：对于平面直角坐标系xOy中的点P(a,b)和直线y=ax+b，我们称点P(a,b)是直线y=ax+b的“友谊点”，直线y=ax+b是点P(a,b)的“友谊直线”.特别地，当a=0时，直线y=b(b(1)已知点A(−2,−2)，B(4,−2)，则点A的“友谊直线”的解析式为______；直线(2)P,Q两点关于x轴对称，且点P的“友谊直线”y=kx+b(k≠0)经过点Q和点M(3)直线l:y=(m−1)x+2m−5(m≠1)不经过第二象限，P为直线l①若m为整数，求点P的坐标；②直线l与x轴，y轴分别相交于A，B两点，OA=4，N为平面内一点，当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点N的坐标.20.(12分)四边形ABCD是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏.【探究发现】(1)如图1，小明将△ABE沿AE翻折得到△AB'E，点B的对应点B'，将纸片展平后，连接BB'并延长交边CD于点F，小明发现折痕【类比探究】(2)如图2，小明继续折纸，将四边形ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形A'B'EG，点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'，将纸片展平后，连接BB'交边CD于点F【拓展延伸】(3)在(2)的翻折过程中，正方形ABCD的边长为9.①如图3，若线段A'B'恰好经过点D，CF=3②如图4，若F为CD中点，连接BG，EF，直接写出BG+EF的最小值.数学2024-2025学年广东省深圳高级中学（集团）八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）1、【答案】B【知识点】轴对称图形,中心对称图形2、【答案】D【知识点】点的坐标,坐标与图形变化-平移3、【答案】A【知识点】平行四边形的性质4、【答案】A【知识点】旋转的性质5、【答案】C【知识点】一次函数的性质,一次函数与一元一次不等式6、【答案】A【知识点】正多边形和圆7、【答案】D【知识点】分式方程的解,解一元一次不等式8、【答案】A【知识点】解直角三角形的应用二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）9、【答案】x【知识点】提公因式法与公式法的综合运用10、【答案】6【知识点】规律型：数字的变化类11、【答案】(0,4)【知识点】坐标与图形性质,菱形的性质12、【答案】13【知识点】勾股定理,三角形中位线定理13、【答案】21【知识点】旋转的性质三、解答题（本大题共7个小题，共61分）14、【解答】解：&3x−1<x+5①解不等式①得：x<3，解不等式②得：x⩾−1，∴不等式组的解集为−1⩽x<3，解集在数轴上表示为：.【知识点】在数轴上表示不等式的解集,解一元一次不等式组15、【解答】解：(1)由解题过程可知，第二步出现错误，故答案为：二；(2)原式=(===x+2.∵x−2≠0，x−3≠0，∴x≠2，3，∴当x=4时，原式=4+2=6；当x=5时，原式=5+2=7.【知识点】分式的化简求值16、【解答】解：（1）由图可知，A(−5,1)，B(−4,4)，∵点A1的坐标为(1,−5)∴B1(2,−2)将A1，B1(2,−2)，CAA1的长为故答案为：62(2)先将AC逆时针旋转90∘后线段画出，再将BC逆时针旋转90∘后线段画出，连接A2(3)依次连接△A2B2C∴旋转中心P的坐标为(−1,−5)，故答案为：(−1,−5).【知识点】点的坐标,作图-旋转变换17、【解答】解：（1）作法正确.理由：由作图可知CP=CD=PE=DE，∴四边形CPED是菱形，∴PE∥AB.(2)连接PD，CE交于点O.设点P到AB的距离为ℎ.∵四边形CPED是菱形，∴PD⊥CE，∴OP=OD=3，OC=OE，∴OC=P∴EC=2OC=8，∵菱形CPED的面积=1∴ℎ=24∴点P到AB的距离为245【知识点】平行线之间的距离,作图—复杂作图18、【解答】解：(1)∵解法一所用等量关系为甲图书数量=乙图书数量，且所列方程为2000x∴解法一所列方程中的x表示甲种图书的单价；解法二所用等量关系为甲图书单价−乙图书单价=20，且所列方程为2000x∴解法二所列方程中的x表示甲种图书购买的数量.故答案为：①，③；(2)解法一：2000x解得：x=50，经检验，x=50是所列方程的解，且符合题意，∴x−20=50−20=30(元)。答：甲种图书的单价是50元，乙种图书的单价是30元；解法二：2000x解得：x=40，经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，∴20001200x答：甲种图书的单价是50元，乙种图书的单价是30元；(3)设甲种图书购进m本，则乙种图书购进(60−m)本，根据题意得：50m+30(60−m)⩽2500解得：m⩽35，设购进的两种图书全部售出后获得的总利润为w元，则w=(65−50)m+(40−30)(60−m)=5m+600∵5>0，∴w随m的增大而增大，∴当m=35时，w取得最大值，最大值为5×35+600=775(元)，此时60−m=60−35=25(本)。答：甲种图书购进35本，乙种图书购进25本时，获利最多，最大利润是775元.【知识点】一次函数的应用-方案问题19、【解答】解：（1）已知点A(−2,−2)，B由题意得，点A(−2,−2)的“友谊直线”的解析式为y=−2x−2，直线AB的解析式为y=−2∴直线AB的“友谊点”的坐标为(0,−2)，故答案为：y=−2x−2，(0,−2)；(2)P,Q两点关于x轴对称，且点P的“友谊直线”y=kx+b(k≠0)经过点Q和点M(1,2+b)，将点2+b=k+b，解得k=2，∴直线解析式为y=2x+b，根据定义，y=2x+b的“友谊点”P的坐标为(2,b)，∵P，Q两点关于x轴对称，∴点Q的坐标为(2,−b)，将(2,−b)代入y=2x+b，得：−b=2×2+b，解得b=−2，∴直线的解析式为y=2x−2；(3)①∵直线l不经过第二象限，依题意得：&m−1>02m−5<0解得1<m<又∵m为整数，∴m的值为2，根据题意，直线l的“友谊点”P的坐标为(m−1,2m−5)，∴点P的坐标为(1,−1)；②点N的坐标为(92，0)或(当x=0时，y=2m−5，∴点B的坐标为(0,2m−5)，当y=0时，即(m−1)x+2m−5=0解得x=5−2m∴点A的坐标为(5−2m∵直线l不经过第二象限，∴&∴5−2m∵OA=4，∴5−2m解得m=3∴y=1∴A(4，0)，B(0，−2)，P(1当AB为对角线时，依题意得：&x解得：&x∴点N的坐标为(7当AP为对角线时，依题意得：&x解得：&x∴点N的坐标为(9当AN为对角线时，依题意得：&x解得：&x∴点N的坐标为(−7综上所述，点N的坐标为(92，0)或(【知识点】点的坐标,一次函数综合题20、【解答】解：(1)如图，由题可知AE垂直平分BB'∴∠AMB=90在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C=90∴∠BAE=∠CBF=90∴△ABE≅△BCF(ASA)∴AE=BF；故答案为：AE=BF.(2)AG+CE=DF；证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ABC=∠C=90∘，∵翻折，∴GE⊥BF，∴∠BME=90过点G作GN⊥BC，垂足为点N，∴∠GNB=∠GNE=90∴∠NGE+∠GEN=90∘，∴∠NGE=∠MBE，∵∠A=∠ABC=∠GNB=90∴四边形ABNG是矩形，∴AG=BN，AB=GN，∴BC=GN，又∵∠NGE=∠MBE，∠C=∠GNE=90∴△BCF≅△GNE(ASA)∴NE=CF，∴BC−NE=CD−CF，即BN+CE=DF，∴AG+CE=DF.(3)①设CE=x，∵正方形ABCD的边长为9，CF=3，∴CD=9，DF=CD−FC=6，BE=BC−CE=9−x，过点D作DP⊥GE，垂足为H，交线段AB于点P，连接PE，DE.∵四边形ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形A'B'EG，线段∴D，P关于直线GE对称，∠PHE=90∴GE垂直平分DP，∴PE=DE，∵由(2)得∠BME=90∘，∴∠PHE=∠BME=90∴PD∥BF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴四边形PBFD是平行四边形，∴PB=DF=6，在Rt△PBE中，∠PBE=90∴根据勾股定理，PB在Rt△DCE中，∠C=90∴根据勾股定理，DC又∵PE=DE，∴6解得x=2，答：CE的长为2.②如图，过A