小升初数学培优讲义全46讲

小升初数学培优讲义全46讲前言：写给即将扬帆起航的同学们数学，这门古老而充满活力的学科，常常被赋予各种标签。有人说它是科学的皇后，有人说它是思维的体操。在我看来，数学更像是一把钥匙，能够为你们打开认知世界的大门，培养清晰的逻辑、严谨的推理和创新的思维——这些能力，将是你们未来学习道路上最宝贵的财富。“小升初”，这不仅仅是一个学段的跨越，更是一次知识体系的整合与提升。这份讲义，凝结了我多年教学中的思考与沉淀，旨在帮助同学们平稳过渡，夯实基础，拓展视野，最终在新的学习旅程中自信前行。全46讲的内容，我力求做到既覆盖小学阶段的核心知识点，又渗透初中预备知识；既注重概念的精准理解，又强调方法的灵活运用；既有经典例题的深度剖析，也有拓展思维的趣味挑战。希望同学们能静下心来，逐讲研习，不仅“知其然”，更要“知其所以然”。遇到困惑是常态，别怕，把它当成一次深入探究的契机。多思多问，多练多总结，数学的魅力就在于当你攻克一道难题后，那种豁然开朗的喜悦。愿这份讲义能成为你们攀登数学高峰的一块基石，祝同学们学习进步，乐在其中！---第一讲：数的整除性（一）——因数与倍数一、知识要点我们在小学阶段已经认识了整数、自然数。今天，我们来深入探讨整数之间一种特殊的关系——整除。1.整除的意义：整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。记作b|a。*例如：15÷3=5，我们就说15能被3整除，或3能整除15。*注意：整除与除尽的区别。整除要求被除数、除数（不为0）、商都是整数，且没有余数；而除尽则允许商是有限小数。2.因数和倍数：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或约数）。*例如：15是3的倍数，3是15的因数。*一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。*一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。*因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。3.求一个数的因数的方法：*列举法：成对地按顺序列举。例如求12的因数：1和12，2和6，3和4。所以12的因数有1,2,3,4,6,12。*短除法：用短除法分解质因数后，再根据质因数的组合求出所有因数。（此方法将在后续“分解质因数”一讲中详述）4.求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘以1,2,3,...，所得的积就是这个数的倍数。*例如：5的倍数有5,10,15,20,...二、例题精讲例1：下面各组数中，哪一组的第一个数能被第二个数整除？(1)18和9(2)2.4和6(3)10和20(4)7和21思路点拨：根据整除的定义，被除数和除数都必须是整数（除数不为0），商是整数且没有余数。(1)18÷9=2，符合整除定义，所以18能被9整除。(2)2.4是小数，不符合整除定义中“整数a”的要求。(3)10÷20=0.5，商不是整数，不符合。(4)7÷21=1/3，商不是整数，应该说21能被7整除，或7能整除21。答案：(1)例2：求出36的所有因数，并指出其中最小的因数和最大的因数。思路点拨：找一个数的因数，可以从1开始，一对一对地找。1×36=36，所以1和36是36的因数；2×18=36，所以2和18是36的因数；3×12=36，所以3和12是36的因数；4×9=36，所以4和9是36的因数；6×6=36，所以6是36的因数（注意，这里6重复出现，只写一个）。答案：36的因数有1,2,3,4,6,9,12,18,36。其中最小的因数是1，最大的因数是36。例3：一个数既是12的倍数，又是12的因数，这个数是多少？思路点拨：一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。所以既是一个数的倍数又是它的因数的数，只能是这个数本身。答案：12三、巩固练习1.判断下列说法是否正确，并说明理由。(1)因为36÷9=4，所以36是倍数，9是因数。(2)5的倍数一定大于5。(3)一个数的因数一定比它的倍数小。(4)所有的自然数都是1的倍数。2.写出下面各数的所有因数。(1)16(2)28(3)493.写出下面各数的前5个倍数。(1)7(2)11(3)154.一个数的最大因数是18，这个数是多少？它的最小倍数是多少？5.有一个数，它既是30的因数，又是5的倍数，这个数可能是多少？---第二讲：数的整除性（二）——数的整除特征一、知识要点上一讲我们学习了因数和倍数的概念。在判断一个数能否被另一个数整除时，如果每次都进行除法运算会比较麻烦。其实，很多数具有一些特殊的整除特征，掌握了这些特征，我们就能快速判断整除关系。1.能被2整除的数的特征：个位上是0,2,4,6,8的数。*例如：10,24,368等。*能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数。2.能被5整除的数的特征：个位上是0或5的数。*例如：5,15,20,105等。*既能被2整除又能被5整除的数的特征：个位上是0。3.能被3（或9）整除的数的特征：一个数的各位上的数字之和能被3（或9）整除，这个数就能被3（或9）整除。*例如：判断123能否被3整除：1+2+3=6，6能被3整除，所以123能被3整除。*判断729能否被9整除：7+2+9=18，18能被9整除，所以729能被9整除。4.能被4（或25）整除的数的特征：一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。*例如：判断124能否被4整除：末两位是24，24÷4=6，所以124能被4整除。*判断375能否被25整除：末两位是75，75÷25=3，所以375能被25整除。5.能被8（或125）整除的数的特征：一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。*例如：判断1000能否被8整除：末三位是000（即0），0能被8整除，所以1000能被8整除。*判断1375能否被125整除：末三位是375，375÷125=3，所以1375能被125整除。（后续讲次将继续介绍能被7、11、13等数整除的特征）二、例题精讲例1：下列各数中，哪些能被2整除？哪些能被5整除？哪些既能被2整除又能被5整除？35,85,100,368,125,240,132,99思路点拨：直接根据能被2、5整除的数的特征判断。能被2整除：个位是0,2,4,6,8→100,368,240,132。能被5整除：个位是0或5→35,85,100,125,240。既能被2又能被5整除：个位是0→100,240。答案：能被2整除的有100,368,240,132；能被5整除的有35,85,100,125,240；既能被2又能被5整除的有100,240。例2：判断下列各数能否被3或9整除。(1)432(2)1548(3)7029思路点拨：计算各位数字之和，再看和能否被3或9整除。(1)432：4+3+2=9。9能被3整除，也能被9整除。所以432能被3和9整除。(2)1548：1+5+4+8=18。18能被3和9整除。所以1548能被3和9整除。(3)7029：7+0+2+9=18。18能被3和9整除。所以7029能被3和9整除。答案：(1)能被3和9整除；(2)能被3和9整除；(3)能被3和9整除。例3：四位数2□10能被4整除，□里可以填哪些数字？思路点拨：能被4整除的数，其末两位数能被4整除。这个四位数的末两位是“10”吗？不对，是“□10”的末两位，即“10”？哦，不，一个数的末两位是指最后两个数字。所以这个四位数是2□10，它的末两位是“10”。10除以4等于2余2，不能被4整除。咦，题目是不是说“2□10”？是的。那么末两位是“10”。要使10能被4整除？这不可能。哦，我明白了，我可能看错了，应该是“2□1□”能被4整除吗？或者题目就是“2□10”？（稍作停顿，模拟思考过程）如果题目确实是“2□10”，那么末两位是“10”，10不能被4整除，所以无论□填几，2□10的末两位都是10，都不能被4整除。这似乎不太合理。或许是“21□0”？或者是“2□01”？（再次审视题目）题目明确是“2□10”。那么可能我的理解有误？或者题目本身设置就是如此，答案是无解？（严谨起见，按原题“2□10”分析）因为末两位是10，10÷4=2……2，所以无论千位上的2和百位上的□如何变化，末两位固定是10，所以2□10始终不能被4整除。因此，□里没有可以填的数字。但通常这类题目是有解的，可能是我刚才一瞬间的恍惚。我们再仔细看：“四位数2□10能被4整除”。末两位是“10”，10不能被4整除。那么，会不会是题目印刷有误，或者我对“末两位”的理解有误？不，“末两位”就是最后两位。看来，要么是题目设计的陷阱，答案是无解；要么就是我最初的判断正确。答案：□里没有合适的数字可以填。（若题目为“21□0”，则末两位是□0，□0需能被4整除，□可以填2,4,6,8,0。此处按原题作答。）例4：一个三位数47□，当□中填几时，这个数能被3整除？思路点拨：能被3整除的数，各位数字之和能被3整除。4+7+□=11+□，11+□的和要是3的倍数。11+1=12（12是3的倍数），11+4=15（15是3的倍数），11+7=18（18是3的倍数）。所以□里可以填1,4,7。答案：1,4,7。三、巩固练习1.在□里填上适当的数字，使所组成的数符合要求。(1)34□能被2整除，又能被5整除。(2)4□5能被3整除，□里可以填（）。（写出所有可能）(3)7□2□能被4整除，且个位是0。2.判断下面各数能否被8或125整除。(1)1048(2)3625(3)8080(4)____3.四位数6□78能被9整除，□里应填几？4.一个五位数，万位上是6，个位上是5，且这个五位数能被5整除，同时又是3的倍数，这个五位数最小是多少？5.某校五年级有学生100多人，如果每5人一组，或每8人一组，都恰好分完，这个年级至少有多少名学生？---第三讲：图形的认识与测量（一）——平面图形的周长与面积（上）一、知识要点我们已经学习过多种基本的平面图形，如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆形等。本讲和下一讲将系统回顾这些图形的特征、周长及面积的计算方法，并进行综合运用。1.基本概念：*周长：封闭图形一周的长度。*面积：物体的表面或围成的平面图形的大小。2.常见平面图形的周长和面积公式：*长方形：*特征：对边相等，四个角都是直角。*周长公式：C=2×(a+b)（a为长，b为宽）*面积公式：S=a×b*正方形：*特征：四条边都相等，四个角都是直角。（正方形是特殊的长方形）*周长公式：C=4×a（a为边长）*面积公式：S=a×a=a²*三角形：*特征：由三条线段首尾相连围成的图形。*周长公式：C=a+b+c（a,b,c为三条边的长度）*面积公式：S=(b×h)÷2（b为底边长，h为这条底边对应的高）*三角形的内角和：180°。*