初中九年级数学《正方形的判定：从探究到严谨证明》教学设计

初中九年级数学《正方形的判定：从探究到严谨证明》教学设计

一、教学背景分析

  本节课的教学内容，在初中数学“图形与几何”领域中占据承上启下的关键枢纽位置。从知识纵向发展脉络审视，学生已经系统学习了平行四边形、矩形、菱形的定义、性质与判定，完成了对特殊平行四边形基础认知结构的初步建构。正方形作为矩形与菱形的“交集”，是特殊平行四边形逻辑链条的最终归宿与最高整合。因此，本节课的核心任务并非孤立地记忆几条新的判定定理，而是引导学生主动将已有的矩形、菱形判定知识进行高阶融合与逻辑重构，在“一般—特殊”的框架下，完成对四边形家族谱系的完整认知闭环。这一过程深度契合数学知识螺旋上升的建构规律，是训练学生逻辑推理能力、提升数学抽象素养的绝佳载体。

  从学情横向诊断角度分析，九年级学生正处于形式运算思维趋于成熟的阶段，具备了一定的观察、猜想、合情推理与演绎证明的能力。他们能够理解矩形、菱形的特殊性源于对平行四边形附加条件的限制。然而，潜在的认知障碍也清晰可见：其一，容易混淆正方形判定的多种条件组合，陷入机械记忆的误区；其二，在综合运用矩形、菱形、正方形知识解决问题时，难以清晰辨识图形间的层级包含关系，导致推理路径混乱；其三，对于判定定理的探索，可能仍停留在对教师演示的被动接受层面，缺乏从定义出发进行主动逻辑推导的深度思维习惯。此外，学生的直观想象能力存在差异，面对复杂图形背景下的判定问题，部分学生可能无法有效提取关键几何特征。

  有鉴于此，本教学设计立意需超越单一的知识传授，转而追求“思维”与“素养”的双重进阶。教学设计的哲学根基在于“再创造”学习观，即模拟数学家发现知识的过程，将课堂构建为一个充满挑战与协作的探究共同体。核心策略是“以定义锚定逻辑起点，以类比贯通知识网络，以证明锤炼思维严谨，以应用实现理解迁移”。通过精心设计的问题链、阶梯式的探究任务和开放性的实践活动，驱动学生亲历“观察特例—提出猜想—多法验证—归纳定理—结构化整合—迁移应用—反思内化”的完整科学探究与数学发现历程。

二、教学目标

  依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对初中阶段“图形与几何”领域的要求，结合本课内容的学科价值与学生发展需求，确立以下三维教学目标。目标表述力求具体、可观测、可评估，并直接指向数学核心素养的培育。

  1.知识与技能目标

  （1）能准确复述正方形的定义，并清晰阐述其作为“特殊的矩形”和“特殊的菱形”的双重属性。

  （2）通过自主探究与协作证明，独立推导并严格表述正方形的四个判定定理：①定义法（一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形）；②矩形法（有一组邻边相等的矩形）；③菱形法（有一个角是直角的菱形）；④对角线法（对角线相等且互相垂直平分的四边形或平行四边形）。

  （3）能熟练辨析正方形、矩形、菱形、平行四边形四者之间的包含关系，并利用韦恩图或结构化板书进行可视化表征。

  （4）能够根据已知条件，灵活、准确地选择恰当的判定定理，完成正方形的判定证明，并解决相关的几何计算与简单实际问题。

  2.过程与方法目标

  （1）经历“从具体情境中抽象出数学问题—提出关于判定的合理猜想—通过演绎推理验证猜想—形成严谨数学结论”的全过程，深度体验数学研究的基本范式。

  （2）在探究多种判定方法的活动中，系统运用类比（类比矩形、菱形的判定探究路径）、转化（将未知的正方形判定转化为已知的矩形或菱形判定）、分类讨论等数学思想方法。

  （3）通过小组合作论证、全班交流辩驳，提升数学语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换能力与规范表达能力，发展有条理、合逻辑的论证习惯。

  3.情感、态度与价值观目标

  （1）在探索正方形判定的多样性与和谐统一性的过程中，感受数学逻辑的严谨之美与结构对称之美，激发对几何学习的持久兴趣与内在动机。

  （2）通过克服探究与证明中的困难，体验数学思维的挑战性与突破后的成就感，培养勇于探究、坚韧不拔的科学精神与理性精神。

  （3）在小组协作与观点分享中，学会倾听、尊重他人见解，形成乐于合作、善于交流的团队意识，建立积极的数学学习共同体观念。

  4.核心素养聚焦

  本课教学的核心素养落点明确：逻辑推理（贯穿于猜想、证明的全过程）、直观想象（借助图形观察猜想、分析关系）、数学抽象（从具体图形和实例中抽象出判定定理的普遍模式）。数学运算（相关计算）与数学模型（解决实际问题）作为辅助素养在应用环节得到渗透。

三、教学重点与难点

  教学重点：正方形判定定理的探究与证明过程，以及对各判定方法适用条件的深刻理解与灵活选择。

  确立依据：判定定理的获得过程，是培养学生逻辑推理能力和数学探究能力的主渠道。理解其逻辑根源（源于定义和矩形、菱形的性质），是灵活应用的前提，也是构建完整知识网络的关键节点。

  教学难点：判定定理的自主生成与严谨证明，特别是如何引导学生自然地想到从“矩形+菱形条件”的角度进行探究，以及如何处理对角线判定定理中条件的充分必要性。

  确立依据：从“是什么”（定义与性质）到“怎么判断”（判定）的思维转换需要较高的抽象与推理能力。对角线判定涉及多个条件的组合，学生容易遗漏或混淆，其证明需要综合运用四边形、平行四边形、矩形、菱形的性质，思维跨度大，综合性强。

  突破策略：针对重点，采用“问题驱动、支架引导”策略，设计环环相扣的探究任务，铺设思维的阶梯。针对难点，利用动态几何软件（如GeoGebra）进行可视化演示，使图形变化过程与条件增减同步，帮助学生直观感知条件与结论的关联；采用“先分后总”的策略，先分别从矩形、菱形的“升级”角度探究，再综合审视对角线特征；对于复杂证明，提供“分析思路指引卡”，引导学生执果索因，分解论证步骤。

四、教学策略与方法

  为达成深度教学目标，有效突破重难点，本课将采用多元融合的教学策略与方法，体现“教师为主导，学生为主体，思维为主线，活动为载体”的现代教学理念。

  1.整体教学策略：基于项目的探究式学习（PBL）与接受式学习有机结合。以“为校园文化广场设计一个标准正方形地砖图案，并论证其确为正方形”为宏观项目情境，将判定定理的探究、证明与应用融入项目的不同阶段。在定理生成环节强调探究发现，在定理明晰与系统化环节辅以必要的讲解归纳。

  2.主要教学方法：

  （1）情境创设法：贯穿始终的真实项目情境，赋予数学学习以现实意义和动力。

  （2）探究发现法：围绕核心问题“除了定义，还能如何判定一个四边形是正方形？”，组织学生进行独立探究与合作学习。

  （3）直观演示法：运用GeoGebra动态几何软件，实时展示四边形在满足不同条件时向正方形演变的过程，化抽象为具体。

  （4）讨论交流法：在小组探究、全班分享环节，鼓励学生阐述观点、质疑辩驳，在思维碰撞中深化理解。

  （5）讲练结合法：在定理应用阶段，通过有梯度的例题、变式练习和项目任务，促进知识向能力的转化。

  3.学习组织方式：采用“个体独立思考—小组合作探究—全班集体建构”的协同学习模式。根据“异质分组”原则组建4人学习小组，确保每组都有不同思维特长的学生，促进互补与互助。

  4.技术融合应用：全程整合信息技术。课前，利用学习平台推送微课，复习矩形、菱形判定；课中，使用GeoGebra进行动态探究与验证，使用希沃白板进行实时批注、思维导图生成与成果投屏分享；课后，通过平台发布分层练习与拓展资源，实现个性化学习。

五、教学准备

  1.教师准备：

  （1）深度研读课标、教材及相关数学教育理论文献，精心设计教案、学习任务单（导学案）、课堂练习与项目评价量规。

  （2）制作多媒体课件，重点包括：知识结构动态演变图、探究问题序列、GeoGebra动态演示文件、例题与变式题、课堂总结思维导图框架。

  （3）准备小组探究工具包（每组一份）：内含印有不同条件组合的四边形图纸、直角三角板、直尺、量角器、剪刀、小组记录单。

  （4）调试教室多媒体设备、希沃白板、无线投屏功能，确保GeoGebra软件运行流畅。

  （5）预设课堂生成性问题及应对策略，规划各环节时间分配。

  2.学生准备：

  （1）课前通过微课或教材，自主复习平行四边形、矩形、菱形的定义、性质与判定定理，完成前置诊断小练习。

  （2）预习本课导学案中的“情境与问题”部分，初步思考项目任务。

  （3）熟悉小组合作学习的基本规则与角色分工（如组长、记录员、汇报员、协作者）。

  3.环境准备：教室桌椅按“岛屿式”分组摆放，方便小组讨论与合作。墙面可预留空间，用于张贴各小组的探究成果。

六、教学过程实施

  本教学过程以“项目引领，问题驱动”为主线，划分为五个连贯的阶段，共计两个标准课时（90分钟）。每个阶段目标明确，活动设计注重学生思维的卷入与进阶。

第一阶段：情境锚定——定义回溯与项目启航（时长：约8分钟）

  核心活动：呈现真实项目，回顾正方形定义与性质，明确学习目标。

  1.情境导入：教师展示校园文化广场的效果图，并提出项目任务：“学校计划在广场中央铺设一个由正方形地砖拼成的图案。施工方送来一批地砖，声称是标准的正方形。作为项目质检员，我们有哪些方法可以科学、严谨地验证这批地砖的形状确实是正方形？仅仅测量四条边相等和四个角是直角（定义法）在实际操作中是否总能高效完成？能否找到其他更便捷或更适应特定情况的检验方案？”

  2.定义与性质回顾：教师引导学生快速回顾正方形的定义（既是特殊的矩形，又是特殊的菱形）及其所有性质（边、角、对角线）。提问：“正方形的这些性质，反过来是否能成为判定它的依据？例如，如果一个四边形的对角线相等且互相垂直，它一定是正方形吗？”以此引发认知冲突，激发探究欲望。

  3.明确学习目标：教师清晰揭示本课核心任务：“今天，我们将化身几何侦探，像数学家一样，从正方形的定义和它‘出身’于矩形与菱形家族这一特性出发，探索并证明更多判定正方形的方法，最终为我们的‘地砖质检项目’制定一套完整的、多角度的检验方案（判定定理集）。”

  设计意图：真实、有意义的项目情境将抽象的数学学习具象化，赋予学习以目的感和使命感。从定义和性质出发，既巩固了旧知，又自然地引出了“判定”这一逆向思维问题，为后续探究确立了逻辑起点。

第二阶段：探究建构——定理的发现与证明（时长：约35分钟）

  核心活动：分组合作，从“矩形+菱形条件”的视角进行猜想与证明，自主构建正方形的判定定理。

  探究任务一：从“矩形”升级为“正方形”需要什么？

  1.问题提出：教师提问：“矩形已经有一个角是直角，实际上四个角都是直角。要使一个矩形进一步变成正方形，还需要在‘边’上附加什么条件？请用几何语言描述你的猜想。”

  2.小组探究：各小组利用工具包中的矩形图纸（标记为矩形ABCD），通过测量、折叠或逻辑推理，探究附加条件。教师巡视指导，重点关注学生是仅考虑“一组邻边相等”还是能论证出“一组邻边相等”足以导致“四边都相等”。

  3.猜想形成与初步验证：小组汇报猜想：“有一个角是直角的矩形是正方形”？（教师引导辨析：所有矩形都有直角，此条件无效）“有一组邻边相等的矩形是正方形”。教师利用GeoGebra动态演示：拖动一个矩形，当其满足“一组邻边相等”时，图形自动变为正方形。学生直观感知猜想的合理性。

  4.严谨证明：教师引导全班进行演绎证明。写出已知：在矩形ABCD中，AB=BC。求证：四边形ABCD是正方形。师生共同分析：由矩形性质得∠B=90°，AB=CD,BC=AD。结合AB=BC，可推出AB=BC=CD=AD，故四边形ABCD是菱形。既是矩形又是菱形，所以是正方形。完成定理1的规范化表述：“有一组邻边相等的矩形是正方形。”

  探究任务二：从“菱形”升级为“正方形”需要什么？

  1.类比迁移：教师提出：“请类比从矩形升级的思路，思考：菱形已经有什么特征？（四边相等）要使一个菱形变成正方形，还需要附加什么条件？猜想并尝试证明。”

  2.自主探究与证明：学生独立或小组合作进行猜想（“有一个角是直角的菱形是正方形”）与证明。教师请一位学生上台板演证明过程：已知：菱形ABCD中，∠A=90°。求证：四边形ABCD是正方形。证明：∵菱形ABCD，∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD,AD∥BC。∵∠A=90°，∴∠B=180°-∠A=90°，同理∠C=∠D=90°。∴四边形ABCD是矩形。既是菱形又是矩形，所以是正方形。完成定理2的规范化表述：“有一个角是直角的菱形是正方形。”

  探究任务三：从“任意四边形”或“平行四边形”出发，如何直达“正方形”？

  1.对角线特征的猜想：教师引导学生观察正方形对角线特征（相等、互相垂直、互相平分），提问：“能否直接通过对角线的条件来判定正方形？例如，对角线相等且互相垂直的四边形是正方形吗？请利用工具包中的四边形模型（对角线与各种关系）进行探索。”

  2.小组合作探究与反驳：小组通过绘制、测量、尝试反例，发现“对角线相等且互相垂直的四边形”不一定是正方形（例如，可以构造一个等腰梯形但不是正方形）。教师用GeoGebra动态展示反例，强化“四边形”条件太宽泛。进一步引导：“如果加上‘对角线互相平分’呢？即‘对角线相等且互相垂直平分的四边形’？”学生通过推理发现，满足此条件的四边形首先是平行四边形（对角线互相平分），再结合对角线相等（推出矩形）、对角线互相垂直（推出菱形），因此是正方形。由此得到定理3：“对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。”

  3.追问与整合：教师追问：“对于平行四边形，需要什么对角线条件？”学生容易得出：对于平行四边形，只需“对角线相等且互相垂直”即可（因为平行四边形对角线互相平分已具备）。可记为定理3的推论。

  探究任务四：回归定义与系统梳理

  1.定义法再确认：教师强调，最根本的判定仍是定义法：“一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。”引导学生比较，此定义条件实质是同时满足了“菱形条件（邻边相等）”和“矩形条件（一个直角）”，与其他定理内在统一。

  2.结构化整理：师生共同将探究得到的判定方法进行系统化整理，形成知识网络。教师利用希沃白板生成思维导图，核心是“正方形”，分支包括：来源一（定义：平行四边形+邻边相等+一直角）；来源二（矩形+菱形条件：矩形+邻边相等，或菱形+一直角）；来源三（对角线条件：四边形/平行四边形+对角线相等且垂直平分）。

  设计意图：本阶段是课堂的核心与高潮。通过四个层层递进的探究任务，引导学生经历完整的数学发现过程。从熟悉的矩形、菱形入手，降低了猜想难度，体现了“从特殊到一般”的探究路径。对角线判定通过“猜想—反例—修正—证明”的过程，让学生深刻体会数学的严谨性。整个探究过程注重学生的动手操作、直观感知与逻辑推理相结合，是培养数学核心素养的关键环节。

第三阶段：辨析内化——关系明晰与概念辨析（时长：约12分钟）

  核心活动：辨析不同四边形间的包含关系，澄清判定定理的适用条件与逻辑联系。

  1.关系图建构：教师出示空白韦恩图（或集合圈），让学生以小组竞赛形式，将“四边形”、“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“正方形”填入正确的位置，并说明理由。最终形成清晰的结构图：最大集合是四边形，其真子集是平行四边形；平行四边形下有两个并列的真子集：矩形和菱形；矩形和菱形的交集是正方形。

  2.判定条件辨析游戏：教师出示一系列条件组合，学生以“手势判断”（如√、×）快速反应，并说明理由。例如：

  （1）对角线相等的菱形是正方形。（√）

  （2）对角线互相垂直的矩形是正方形。（√）

  （3）四条边都相等的四边形是正方形。（×，可能是菱形）

  （4）四个角都相等的四边形是正方形。（×，可能是矩形）

  （5）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。（×，反例：筝形或等腰梯形）

  （6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。（√）

  3.方法优选讨论：回到项目情境，“测量一组邻边相等的矩形”和“测量一个角是直角的菱形”，哪种质检方案在现实中可能更易操作？引导学生根据实际情况（如地砖的摆放位置、测量工具的限制）灵活选择判定策略，理解数学工具的实用性。

  设计意图：概念辨析是防止知识混淆、深化理解的必要步骤。韦恩图将抽象的包含关系可视化。快速辨析游戏锻炼学生的反应速度和思维的准确性。联系实际的讨论，促使学生思考数学原理的应用情境，实现学以致用。

第四阶段：迁移应用——问题解决与项目实践（时长：约25分钟）

  核心活动：运用判定定理解决分层级的问题，并完成项目任务方案设计。

  层次一：基础巩固与证明规范

  例题：已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。求证：四边形BECF是正方形。

  师生共同分析：首先，由BF∥CE，CF∥BE可证BECF是平行四边形。其次，如何在此平行四边形上附加条件使其成为正方形？可从角（证一直角）或边（证邻边相等）入手。结合矩形性质和角平分线条件，易证∠EBC=∠ECB=45°，从而∠BEC=90°。再通过全等或等角对等边证明EB=EC。故四边形BECF是有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形，从而是正方形。教师板书规范证明过程，强调逻辑链条的完整性。

  层次二：变式拓展与思维深化

  变式1：若将原题中“矩形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，结论还成立吗？为什么？

  变式2：若只保留“四边形ABCD中，BE平分∠ABC...”等条件，去掉“矩形”背景，能否证明四边形BECF是正方形？需要添加什么前提条件？

  学生小组讨论，尝试解决。变式1旨在辨析矩形与菱形性质差异对证明路径的影响。变式2则更具开放性，需要学生逆向思考正方形判定所需的充分条件。

  层次三：项目实践与综合创作

  项目任务：请以学习小组为单位，为“校园文化广场地砖质检”设计一份完整的《正方形地砖检验方案》。

  要求：方案需包含：（1）至少三种不同的检验方法（对应不同的判定定理）；（2）每种方法的操作步骤简述及所需工具；（3）每种方法的理论依据（写明是哪个判定定理）；（4）分析不同方法在实际操作中的优缺点（如效率、精度、场地限制等）。小组形成书面方案，并准备进行2分钟的口头汇报。

  学生分组合作，整合本课所学，结合生活实际，制定方案。教师巡视，提供咨询和指导。

  设计意图：通过“例题—变式—项目”的三层次应用，实现从知识理解到能力迁移的跨越。例题示范规范，变式题促进思维灵活性与深刻性，项目任务则是创造性的综合应用，将数学知识、逻辑推理与实际问题解决能力、团队协作能力融为一体，是检验学习成效的高阶任务。

第五阶段：反思升华——总结评价与延伸思考（时长：约10分钟）

  核心活动：总结学习收获，进行多维评价，布置延伸作业。

  1.总结分享：教师引导学生以“我今天发现...”或“我领悟到...”的句式进行课堂小结。学生分享收获，可能涉及知识（学会了多种判定方法）、方法（类比、探究、证明）、思想（转化、分类）或感悟（数学的严谨与实用）。教师随后用精炼的语言总结本课的知识逻辑脉络与核心思想方法，呈现完整的思维导图。

  2.项目成果展示与评价：随机选取1-2个小组汇报其《正方形地砖检验方案》。师生依据预先制定的评价量规（包含方法的科学性、多样性、可行性、表述清晰度等维度）进行简要评议。其他小组方案课后上交评估。

  3.多维评价：教师对全班在本课中的探究精神、合作表现、思维深度给予积极评价。同时，引导学生进行自我评价和小组互评（利用学习单上的评价栏）。

  4.延伸作业布置：

  （1）必做题：教材课后习题中关于正方形判定的基础题和综合题；整理本课笔记，用自己擅长的方式（思维导图、图表、口诀等）归纳正方形的所有判定方法。

  （2）选做题/探究题：①“正方形判定的故事”：查阅数学史，了解正方形概念的历史发展与判定思想的演变，写一篇小短文。②“生活中的正方形判定”：寻找生活中需要判定正方形的实例（如木工、裁剪、机械加工等），并分析其使用的判定原理。③“我是命题人”：尝试自主编拟一道涉及正方形判定的几何综合证明题，并给出解答。

  5.预告与衔接：简要预告下节课内容：正方形的性质与判定的综合应用，以及特殊平行四边形知识的整合复习。鼓励学生带着本课的基础和疑问进入后续学习。

  设计意图：反思总结是知识内化的重要环节。学生自主小结促进元认知发展。项目成果展示提供了学以致用的展示平台，并获得反馈。分层作业兼顾巩固与拓展，满足不同学生的需求。探究性作业和跨学科联系作业，为学有余力的学生打开更广阔的视野，将数学学习延伸到课堂之外。

七、板书设计

  板书设计力求体现教学内容的逻辑结构、重点难点和发展过程，做到简明、系统、美观，成为引导学生思维的“导航图”。

  主板书区域（左侧/中心）：

  课题：正方形的判定

  一、定义（根本）：

    一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

  二、判定定理（探究所得）：

    1.矩形法：有一组邻边相等的矩形是正方形。

      （已知：矩形ABCD，AB=BC；求证：正方形ABCD）

    2.菱形法：有一个角是直角的菱形是正方形。

      （已知：菱形ABCD，∠A=90°；求证：正方形ABCD）

    3.对角线法：

      （1）对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。

      （2）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。

  三、知识结构（韦恩图/集合关系）：

    [绘制清晰的包含关系图：四边形⊃平行四边形⊃{矩形，菱形}⊃正方形（矩形∩菱形）]

  副板书区域（右侧）：

    用于呈现：

    1.关键证明步骤的书写。

    2.例题的分析思路与图示。

    3.学生探究中生成的典型问题或精彩观点。

    4.课堂练习的要点提示。

    5.核心数学思想方法提炼（如：类比、转化、从特殊到一般）。

八、作业设计

  作业设计遵循“基础性、层次性、实践性、发展性”原则，旨在巩固知识、提升能力、拓展视野。

  A层：基础巩固题（面向全体，巩固双基）

  1.判断题（说明理由）：

  （1）对角线相等的四边形是正方形。（）

  （2）对角线互相垂直的矩形是正方形。（）

  （3）有一个角是直角的四边形是正方形。（）

  （4）四边相等且对角线相等的四边形是正方形。（）

  2.填空题：

  （1）要使一个矩形成为正方形，需添加的条件是______。

  （2）要使一个菱形成为正方形，需添加的条件是______。

  （3）已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AC=BD，AC⊥BD，且OA=OB=OC=OD，则四边形ABCD是______。

  3.解答题：如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH。求证：四边形EFGH是正方形。（至少用两种不同的判定方法证明）

  B层：能力提升题（面向大多数，发展思维）

  4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F。求证：四边形CFDE是正方形。

  5.已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O。再添加一个条件：___________，使得平行四边形ABCD是正方形。试写出所有可能添加的条件，并选择其中一个给出证明。

  C层：拓展探究题（面向学有余力者，鼓励创新）

  6.（数学史探究）查阅资料，了解古埃及人如何利用“3-4-5”绳索构造直角，进而确定正方形。思考这与正方形的判定有何间接联系？写一篇300字左右的小报告。

  7.（跨学科应用）在计算机图形学或平面设计中，正方形是基本元素。尝试使用Scratch、GeoGebra或Python（turtle库）编程，实现一个程序：输入一个四边形的顶点坐标