人教版高考数学必修二 题型突破 第41讲 古典概型、概率的基本性质（解析版）

第41讲古典概型、概率的基本性质【知识梳理】一随机事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.二古典概型一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.三古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).四概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).性质5如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).题型一：基本事件【例1】为培养学生的兴趣爱好，丰富学生的课余生活，某校团委开设了70个社团供学生自由选择.现已知甲､乙两位同学均准备从“创客空间”、“春柳文学社”、“舞龙协会”这三个社团中选择一个报名，则这两位同学的不同报名方案种数为（

）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】C【分析】利用列举法即可得解.【详解】不妨记“创客空间”、“春柳文学社”、“舞龙协会”分别为，则这两位同学的报名方案有，共9种.故选：C.【例2】从字母a，b，c，d中任意取出三个不同的字母的试验中，基本事件分别是___________.【答案】，，，【分析】直接列举，即可得出结论.【详解】解：从字母a，b，c，d中任意取出三个不同的字母的试验中，基本事件分别是：，，，，共4个基本事件，故答案为：，，，.【例3】从两名男生（记为和）和两名女生（记为和）这四人中依次选取两名学生．(1)分别写出有放回、不放回选取的样本空间；(2)求有放回地选取一名男生和一名女生的概率．【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）根据题意，列举所有的可能即可；（2）根据（1）中所求，结合古典概型的概率计算公式即可求得结果.(1)有放回选取的样本空间：,．不放回选取的样本空间：(2)根据（1）中所求，有放回选取的可能性有16种，其中满足要求的可能性有如下8种：又有放回的抽取的每种情况都是等概率的，故根据古典概率的概率计算公式可得，满足题意的概率为.【题型专练】1．随机安排甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每天一人值班，写出值班顺序的样本空间为______.【答案】﹛（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）﹜【分析】利用列举法可直接写出样本空间.【详解】解：随机安排甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每天一人值班,则样本空间为故答案为：﹛（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）﹜2．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1、2、3、4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y．用表示一个样本点，则满足条件“为整数”这一事件包含的基本事件的个数为______．【答案】8【分析】根据题意，利用列举法求得试验的样本空间，结合““为整数”，即可求得所求事件中所包含的基本事件的个数，得到答案.【详解】由题意，先后地掷两次正四面体，该试验的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，共16个基本事件，用事件A表示满足条件“为整数”的事件，则，，，，，，共8个基本事件．故答案为：.3．同时投掷两颗质地均匀且大小相同的骰子，用表示结果，其中表示第一颗骰子出现的点数，表示第二颗骰子出现的点数，记为“所得点数之和小于”，则事件包含的样本点个数是______．【答案】6【分析】一一列举即可【详解】事件“所得点数之和小于”所包含的样本点为：，，，，，故答案为：题型二：古典概型【例1】孪生素数猜想是数学家希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个：存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数．那么在不超过12的素数中任意取出不同的两个，则能组成孪生素数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意列出不超过12的素数，结合孪生素数的定义列出组成孪生素数对的个数，进而利用古典概型的概率公式求解.【详解】不超过12的素数有：2,3,5,7,11共5个，任意取出不同的两个素数有：共10对，又素数对为孪生素数，所以不超过12的素数组成的孪生素数有：共2对，所以能够组成孪生素数的概率为.故选：B【例2】将1枚硬币抛2次，恰好出现1次正面的概率是（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】利用列举法得到所有结果和满足要求的结果（基本事件），利用古典概型的概率公式求恰好出现1次正面的概率.【详解】因为每枚硬币都有正、反两种结果，所以将1枚硬币抛2次，一共可能出现4种结果：正正，正反，反正，反反，其中恰好出现1次正面的结果有2种结果：正反，反正；所以恰好出现1次正面的概率为.故选：A.【例3】已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）.现要从甲､乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.则下列说法正确的是（

）A．甲参赛的概率大 B．乙参赛的概率大C．这种选取规则公平 D．这种选取规则不公平【答案】BD【分析】列出由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”的所有可能的情况，计算抽取的“三位递增数”是偶数的个数，即可求得甲乙参赛的概率，比较可得答案.【详解】由题意，知由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”有123，124，125，134，135,145，234，235，245，345，共10个.记“甲参加数学竞赛”为事件A，事件A包含的样本点有124，134，234，共3个，所以.记“乙参加数学竞赛”为事件B，则事件B包含的样本点有123，125，135，145，235，245，345，共7个，所以.因为，即乙参赛的概率大，所以该选取规则不公平.故选：BD.【例4】袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为_________【答案】##【分析】利用古典概型概率的求法求解即可.【详解】因为一共有10个球，所以从中任取一球的基本事件有10个，又因为有6个白球，所以取到白球的基本事件有6个，所以取到白球的概率为.故答案为：【例5】某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.(1)求实数的值；(2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的中位数；（精确到0.01）(3)现在要从补贴金额的心理预期值在的已购车消费者中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中补贴金额的心理预期值都在间的概率.【答案】(1)(2)中位数的估计值为万元(3)【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可；（2）首先判断中位数位于内，设中位数为，再根据中位数计算规则得到方程，计算可得；（3）根据分层抽样求出、中抽取的人数，再用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】（1）解：由题意知，，解得.（2）解：因为，则中位数在区间内，设中位数为，则，得，所以中位数的估计值为万元（3）解：从补贴金额的心理预期值在的已购车消费者中用分层抽样的方法抽取6人，则补贴金额的心理预期值在间的有人，记为，，，，补贴金额的心理预期值在间的有人，记为，，则基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况.其中补贴金额的心理预期值都在间有，，，，，，共种情况，所以抽到人中补贴金额的心理预期值都在间的概率.【例6】一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支为一等品（记为，，），2支为二等品（记为，），从中随机抽取2支进行检测.(1)写出这个试验的样本空间；(2)求抽取的2支圆珠笔都是一等品的概率.【答案】(1)，，，，，，，，，.(2)【分析】（1）直接写出样本空间即可；（2）计算2支圆珠笔都是一等品的样本数，得到概率.【详解】（1）试验的样本空间为：，，，，，，，，，.（2）抽取的2支圆珠笔都是一等品有，，3种情况，故概率.3．先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为，，则，，3能够构成等腰三角形的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，先求解基本事件总数，然后再分别列出满足三角形为等腰三角形的情况，然后按照古典概型的计算方法进行计算即可.【详解】由已知，先后两次抛掷同一个骰子，事件总数为，当时，时，符合要求，有种情况；当时，时，符合要求，有种情况；当时，时，符合要求，有种情况；当时，时，符合要求，有种情况；当时，时，符合要求，有种情况；当时，时，符合要求，有种情况；所以能够构成等腰三角形的共有种情况，因此所求概率为：.故选：C.【题型专练】1．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为，掷第二次，将朝上一面的点数记为，则点落在直线上的概率为_____【答案】【分析】根据古典概率模型求解.【详解】由题可得,点所有的可能为:共有36种不同的可能,点落在直线上,即包含:共5种不同可能,所以点落在直线上的概率为.故答案为：.2．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量，，则事件““发生的概率为___________.【答案】【分析】由题意，利用列举法，结合垂直向量的坐标表示，再根据古典概型的概率公式，可得答案.【详解】由题意，的坐标可能是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种情况，若，则，即，符合这一条件的有，，共种，故事件““发生的概率.故答案为：.3．互素数是指两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数.若从小于6的自然数中随机抽取2个数，则被抽到的2个数是互素数的概率是___________.【答案】##【分析】根据题意，利用列举法，结合古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】由题意知，小于6的自然是有0,1,2,3,4,5，抽到的任意两个数的结果为：(0,1)、(0,2)、(0,3)、(0,4)、(0,5)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)，共15种，其中两个数互素数的结果有：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)，共9种，所以两个数互素数的概率为.故答案为：.4．连续3次抛掷一枚硬币，则正、反面交替出现的概率是______．【答案】##【分析】利用列举法得到所有结果和满足要求的结果（基本事件），利用古典概型的概率公式求正、反面交替出现的概率.【详解】因为每枚硬币都有正、反两种结果，所以先后3次抛掷一枚硬币，一共可能出现8种结果：正正正，正反正，正正反，反正正，反反正，反正反，正反反，反反反，其中正、反面交替出现的结果有2种结果：正反正，反正反；所以正、反面交替出现的概率为.故答案为：.5．现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．(1)设第一次接球人为，第二次接球人为，通过次传接球后，列举出的所有可能的结果；(2)完成第三次传接球后，计算球正好在乙处的概率．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）由题意直接列举出基本事件即可；（2）利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可【详解】（1）通过次传接球后，的结果：（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙）；（2）三次传接球，接球的结果：（乙，甲，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（乙，丙，乙），（丙，甲，乙），（丙，甲，丙），（丙，乙，甲），（丙，乙，丙），共8种，它们是等可能的，其中球正好在乙处的结果有：（乙，甲，乙），（乙，丙，乙），（丙，甲，乙），共3种，所以第3次传接球后，球正好在乙处的概率为6．在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为m，将球放回盆子中，然后再从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为n．(1)列出试验的样本空间；(2)求“”的概率．【答案】(1)详见解析；(2).【分析】（1）利用列举法列出试验的样本空间，（2）利用古典概型的概率公式即得.【详解】（1）由题意可知试验的样本点可用表示，所以试验的样本空间为：；（2）由题可知共有16个样本点，其中满足的有，共6个，所以“”的概率为.7．从2名男生（记为,）和2名女生（记为,）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.(1)请写出该试验的样本空间;(2)设事件为“选到1名男生和1名女生”,求事件发生的概率;(3)若2名男生,所处年级分别为高一、高二,2名女生,所处年级分别为高一、高二,设事件为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件发生的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)根据题意把所有的可能结果列出即可;(2)由(1)知在所有得可能结果中数出事件发生的结果,求出概率即可;(3)由(1)知在所有得可能结果中数出事件发生的结果,求出概率即可.【详解】（1）解:由题知,样本空间为;（2）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件得结果数有4个,故;（3）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件得结果数有3个,故.8．袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为的2个黑球和编号为的3个红球，从中任意摸出2个球．(1)写出该试验的样本空间；(2)用集合表示事件：恰好摸出1个黑球和1个红球，事件：至少摸出1个黑球．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】根据实验样本空间与事件的概念即可得解.（1）记“”表示取出编号为的两个球，其余类同，则该试验的样本空间为：.（2）事件：恰好摸出1个黑球和1个红球，即摸出的一个编号为中的一个，另一个编号为中的一个，故；事件：至少摸出1个黑球，即摸出的两个编号中一定含有中的至少一个，.9．一只口袋里有形状、大小、质地都相同的4个小球，这4个小球上分别标记着数字1，2，3，4．甲、乙、丙三名学生约定：（i）每人不放回地随机摸取一个球；（ii）按照甲、乙、丙的次序依次摸取；（iii）谁摸取的球的数字最大，谁就获胜．用有序数组表示这个试验的基本事件，例如：表示在一次试验中，甲摸取的球的数字是1，乙摸取的球的数字是4，丙摸取的球的数字是3．(1)列出样本空间，并指出样本空间中样本点的总数；(2)求甲获胜的概率；(3)写出乙获胜的概率，并指出甲、乙、丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序是否有关．【答案】(1)样本空间见解析，24(2)(3)，甲、乙、丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序无关【分析】（1）一一列举出所有的基本事件即可，（2）找到事件“甲获胜”所包含的基本事件，根据古典概型的概率公式计算即可，（3）求出乙、丙获胜的概率，即可判断．（1）解：样本空间．样本点的总数是．（2）解：记“乙获胜”为事件，则，共8个，故甲获胜的概率为．（3）解：记“甲获胜”为事件，则，共个，故乙获胜的概率为．同理可得丙获胜的概率也为，所以甲、乙、丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序无关.题型三：互斥、对立事件与古典概型的性质及应用【例1】设为两个互斥的事件，且，则下列各式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据互斥事件的含义可知，判断;根据题意可知，从而，判断C;根据互斥事件的概率加法公式可判断D.【详解】∵为两个互斥事件，,∴，即，故A正确，B选项错误，∵为两个互斥事件,则，∴故C选项正确，∵为两个互斥事件，∴，故D选项正确．故选∶．【例2】某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01．若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为（

）A．0.09 B．0.96 C．0.97 D．0.98【答案】B【分析】根据互斥事件概率公式即得.【详解】记事件A={甲级品}，B={乙级品}，C={丙级品}，则A与是对立事件，所以．故选：B.【例3】甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A：抽取的两个小球标号之和大于5，事件：抽取的两个小球标号之积大于8，则（

）A．事件A与事件是对立事件 B．事件与事件是互斥事件C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为【答案】BC【分析】求得从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含个基本事件；再写出事件A,B包含的基本事件，即可判断A,B；写出事件以及包含的事件，即可以求得其概率，判断C,D.【详解】由题意知：从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含个基本事件；事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共11个基本事件；事件包含的基本事件有：，，，，，，，，共8个基本事件，可以看出，事件是事件的子事件，故错；事件包括：，，，，，，，，共9个事件，每个事件中两小球标号之积都小于8，故与事件是互斥事件，故正确；事件包含的基本事件为：，，，，，，，，，，，共11个，所以事件发生的概率为，故正确；事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共12个，所以事件包含的基本事件为：，，，共3个基本事件，所以事件发生的概率为，故不正确，故选：．【例4】在一次随机试验中，其中3个事件的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法中正确的是（

）A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件C． D．【答案】D【分析】结合已知条件可知，事件不一定是互斥事件，然后逐项求解即可.【详解】由已知条件可知，一次随机试验中产生的事件可能不止事件这三个事件，故，从而AB错误；，故C错误；，故D正确.故选：D.【例5】已知，，如果，那么（

）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3【答案】A【分析】由可知，，互斥，由概率的加法公式即可得出结果.【详解】∵，∴，互斥，∴.故选：A.【例6】已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（

）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8【答案】C【分析】由对立事件概率关系得到发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式求P(A+B).【详解】因为，事件与对立，所以，又，与互斥，所以.故选：C.【例7】某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用互斥事件有一个发生的概率加法公式求得结果；（2）利用对立事件的概率公式进行求解即可得结果.【详解】（1）设事件“电话响第声时被接”为，那么事件彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件，根据互斥事件概率加法公式，得.（2）事件“打进的电话响4声而不被接”是事件“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为.根据对立事件的概率公式，得.【点睛】该题考查的是有关互斥事件有一个发生的概率以及对立事件发生的概率的求解公式，属于简单题目.【例8】在某次数学考试中，小江的成绩在90分以上的概率是0.25，在的概率是0.48，在的概率是0.11，在的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.计算：（1）小江在此次数学考试中取得80分及以上的概率；（2）小江考试及格（成绩不低于60分）的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，运用互斥事件的概率加法公式计算，即可求解.（2）方法一：根据互斥事件概率加法公式可计算；方法二：根据对立事件的概率公式，计算可求解.【详解】（1）分别记小江的成绩在90分以上，在，，为事件，，，，这四个事件彼此互斥.小江的成绩在80分及以上的概率.（2）方法一：小江考试及格（成绩不低于60分）的概率.方法二：小江考试不及格（成绩在60分以下）的概率是0.07，根据对立事件的概率公式，得小江考试及格（成绩不低于60分）的概率是.【点睛】本题考查（1）互斥事件的概率加法公式；（2）对立事件的概率公式，考查计算能力，属于基础题.【题型专练】1．若，则互斥事件和B的关系是（

）A． B．A，B是对立事件C．A，B不是对立事件 D．A=B【答案】B【分析】根据概率性质，，即可判断与的关系.【详解】由题意，事件与是互斥事件，则，则，是对立事件.故选：B2．口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件A为“取到的小球的编号为②”，事件B为“取到的小球是黑球”，则______．【答案】【分析】根据古典概型的概率公式求得，，及事件同时发生的概率，利用概率的加法公式即可求解.【详解】由古典概型得：，，，于是得．故答案为：.3．一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为___________.【答案】0.9##【分析】利用概率加法公式直接求解.【详解】一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，∴他的数学和物理至少有一门超过90的概率为：.故答案为：0.9.4．已知，，，则___