小学五年级数学（下册）核心素养知识清单

小学五年级数学（下册）核心素养知识清单一、数与代数：数的奥秘与运算定律（一）因数和倍数【基础】【核心概念】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，或者余数为0，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。例如，在算式12÷3=4中，12是3和4的倍数，3和4是12的因数。因数和倍数是相互依存的，绝不能单独存在，不能说12是倍数，也不能说3是因数，必须表述为“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”【非常重要】。一个数的因数的个数是有限的。其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例如，18的因数有1、2、3、6、9、18，共6个。求一个数的因数时，通常采用配对法，从1开始逐对查找，直到找到中间接近的一对为止。一个数的倍数的个数是无限的。最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。例如，7的倍数有7、14、21、28……无限多个。（二）2、3、5的倍数的特征【高频考点】【重点】2的倍数的特征是个位上是0、2、4、6、8。5的倍数的特征是个位上是0或5。3的倍数的特征则较为特殊，是一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。例如，判断327是否是3的倍数，计算3+2+7=12，12是3的倍数，所以327是3的倍数。一个数如果同时是2和5的倍数，那么它的个位数字必须是0，这样的数也就是10的倍数。一个数如果同时是2、3、5的倍数，那么它必须满足个位是0，且各位数字之和是3的倍数，这样的数实际上是30的倍数。（三）奇数和偶数【基础】自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。最小的奇数是1，最小的偶数是0。在运算性质上，奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数【重要】。这一性质在解决一些数字谜题和简便计算中有着广泛应用。（四）质数和合数【难点】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。1既不是质数，也不是合数，这是分类时的关键点【非常重要】。最小的质数是2，它也是唯一的偶质数；最小的合数是4。在100以内的质数表中，共有25个质数，常用的有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。在自然数的分类上，可以按因数的个数分为质数、合数和1；也可以按是否是2的倍数分为奇数和偶数。这两套分类系统是交叉的，例如2既是质数又是偶数，9既是奇数又是合数。（五）最大公因数和最小公倍数【核心考点】【必考】几个数公有的因数，叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数。用符号表示为（a，b）。当两个数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数；当两个数互质时，最大公因数是1。求最大公因数的方法通常有列举法、筛选法和短除法，其中短除法是最快捷、最常用的方法【推荐】。几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数。用符号表示为[a，b]。当两个数成倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数；当两个数互质时，它们的最小公倍数是这两个数的乘积。在约分时，要用到分子和分母的最大公因数；在通分时，要用到异分母的最小公倍数作为公分母。（六）分数的意义和性质【核心】【根基】把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。表示其中一份的数叫做分数单位。例如，5/8的分数单位是1/8，它有5个这样的分数单位。分数与除法的关系密切，被除数÷除数=被除数/除数，用字母表示为a÷b=a/b（b≠0）【基础】。真分数是分子比分母小的分数，真分数小于1。假分数是分子大于或等于分母的分数，假分数大于或等于1。带分数由整数和真分数合成，是假分数的另一种表现形式。分数的基本性质是分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这是约分和通分的理论依据【非常重要】。（七）约分和通分【高频考点】约分是把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数。约分时通常要约成最简分数，即分子和分母只有公因数1的分数。例如，把12/18约分，分子分母同时除以最大公因数6，得到2/3。通分是把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数。通分时，一般用原来几个分母的最小公倍数作公分母。例如，把2/3和3/4通分，用3和4的最小公倍数12作公分母，2/3=8/12，3/4=9/12。（八）分数与小数的互化【基础】小数化分数，原来是几位小数，就在1后面写几个0作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。例如，0.75=75/100=3/4。分数化小数，用分子除以分母（除不尽时，通常按“四舍五入”法保留三位小数）。例如，3/8=3÷8=0.375。（九）分数的加法和减法【运算核心】同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减，计算结果能约分的要约成最简分数。例如，1/5+2/5=3/5。异分母分数相加减，先通分，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算。例如，1/2+1/3=3/6+2/6=5/6。分数加减混合运算的运算顺序与整数相同。没有括号的，从左往右依次计算；有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用，可以利用这些运算定律进行简便计算【难点】。（十）分数加减法的实际应用【综合运用】在解决实际问题时，要仔细审题，找准单位“1”，理解题目中的数量关系。常见的题型包括求剩余、求总和、比较多少等。例如，修路队修一条路，第一天修了全长的2/9，第二天修了全长的1/6，还剩全长的几分之几没修？解答时要把全长看作单位“1”，用1减去两天修的分率之和。二、图形与几何：空间观念的建立与深化（一）观察物体（三）【基础】【空间观念】从不同方向观察同一个立体图形，看到的形状可能是不同的。根据从一个方向看到的形状图，可以摆出不同的立体图形，这意味着摆法可能不止一种。但是，根据从正面、上面和左面（或右面）三个不同方向看到的形状图摆立体图形，通常只能确定一种摆法。在摆小正方体时，有一个实用的口诀：“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章。”【方法技巧】即先用俯视图确定底层小正方体的位置和数量，然后根据正视图在每一列上往上摆，最后根据左视图调整或移除多余的小正方体。（二）长方体和正方体的认识【根基】长方体有6个面，每个面一般都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面完全相同【重要】。长方体有12条棱，相对的棱长度相等，可以按长、宽、高分成三组，每组4条。长方体有8个顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。正方体是长、宽、高都相等的长方体，因此它是一种特殊的长方体。正方体有6个面，每个面都是完全相同的正方形；有12条棱，每条棱的长度都相等；有8个顶点。长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，用字母表示为C=4（a+b+h）。正方体的棱长总和=棱长×12，用字母表示为C=12a。（三）长方体和正方体的表面积【高频考点】【应用广泛】长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，比如鱼缸、游泳池只有5个面，通风管、烟囱只有4个面，解题时一定要根据实际情况具体分析【易错提醒】。长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，用字母表示为S=2（ab+ah+bh）。正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。在计算时，要注意单位统一。如果题目中给出的长度单位不一致，必须先换算成相同单位再进行计算。（四）体积和体积单位【基础概念】物体所占空间的大小叫做物体的体积。常用的体积单位有立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³）。棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，大约是一个手指尖的大小；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，大约是一个粉笔盒的大小；棱长1米的正方体，体积是1立方米。相邻两个体积单位之间的进率是1000，即1dm³=1000cm³，1m³=1000dm³。（五）长方体和正方体的体积【核心公式】【必考】长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh。正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示为V=a³，a³读作“a的立方”，表示三个a相乘。长方体和正方体体积计算的统一公式是：体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh【重要】。在计算时，如果长、宽、高同时扩大n倍，体积就扩大n³倍。例如，长、宽、高各扩大2倍，体积就扩大到原来的8倍。（六）容积和容积单位【实际应用】容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。计量容积，一般就用体积单位，但计量液体的体积时，常用容积单位升（L）和毫升（mL）。1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米，1升=1000毫升。长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从容器里面量长、宽、高，因为容器壁有厚度。物体的体积一定大于它的容积（不计容器壁厚度时除外）。（七）求不规则物体的体积【难点】【方法】求不规则物体的体积，常用排水法。放入物体后的总体积减去放入物体前水的体积，就等于物体的体积；或者用水和物体的总体积减去水的体积。也可以用底面积乘水面上升的高度来计算：V=S×(h₂h₁)。需要注意的是，物体必须完全浸没在水中，且水未溢出【易错提醒】。（八）图形的运动（三）【基础】【审美】旋转是图形运动的一种方式。旋转有三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度。在描述旋转现象时，一定要说清楚“图形绕某点按什么方向旋转了多少度”。例如，三角形绕点O顺时针旋转90°。图形旋转后，形状和大小都不变，只是位置发生了变化。利用旋转、平移和对称，可以在方格纸上设计出美丽的图案。三、统计与概率：数据的整理与分析（一）单式折线统计图【基础】折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况【重要特点】。绘制折线统计图时，要先画出横轴和纵轴，确定单位长度，然后根据数据描点，最后连线。（二）复式折线统计图【核心考点】复式折线统计图可以同时表示两组或两组以上的数据，便于比较不同组数据的变化趋势。绘制复式折线统计图时，要用不同的图例（如实线和虚线，或不同颜色的线）来区分不同的数据组，并要在图中标明图例【非常重要】。从复式折线统计图中，不仅可以看出每组数据的变化趋势，还能看出两组数据之间的差距变化情况。（三）读图与数据分析【综合能力】在读统计图时，要先看标题，明确统计图反映的是什么内容；再看横轴和纵轴，弄清楚每个单位表示多少；然后观察折线的变化趋势，上升表示增加，下降表示减少，折线越陡变化越大。根据统计图，可以进行简单的预测和决策。例如，根据某商场一年中空调销售量的折线统计图，可以预测下一年哪几个月应该多进货。四、数学广角——优化思想（一）找次品问题【逻辑思维】【难点】找次品问题的核心思想是把待测物品尽量平均分成3份。如果不能平均分，也要使多的一份与少的一份相差1。这样称一次，就能排除掉最多数量的物品，从而尽快找到次品【核心策略】。用天平找次品时，要懂得利用推理。称一次后，无论天平是否平衡，都能将次品的范围缩小到原来的1/3左右。例如，在9个物品中找1个次品（次品轻一些或重一些），只需要称2次。在27个物品中找次品，最多称3次。常见的考法是给出物品总数，问至少称几次能保证找到次品。解题时要熟记规律：23个物品称1次，49个物品称2次，1027个物品称3次，2881个物品称4次，以此类推【快速判断】。（二）打电话问题【拓展思维】在“打电话”问题中，每增加1分钟，新接到通知的人数倍增，这是倍增思想的体现。最优方案是让所有知道消息的人同时去通知新人，这样效率最高。n分钟最多可以通知的人数是2ⁿ1人。例如，5分钟最多可以通知2⁵1=31人。这类问题培养的是优化意识和数学模型构建能力。五、易错点与解题技巧归纳（一）因数与倍数中的易错点在判断因数和倍数时，必须说清谁是谁的因数，谁是谁的倍数，不能单独说某数是因数或倍数。在判断质数与合数时，容易忘记1的特殊性，1既不是质数也不是合数。另外，2是最小的质数，也是唯一的偶质数，这一点要牢记。在应用3的倍数特征时，容易只看个位，而忽略各位数字之和，这是常见错误【重要易错】。（二）分数中的易错点在分数应用题中，要分清“量”与“率”。带单位的分数（如1/2米）表示具体数量，不带单位的分数（如1/2）表示分率。在比较分数大小时，如果分子相同，分母大的反而小，这一点容易混淆。在异分母分数加减法中，最后结果必须约成最简分数，不能把分子分母直接相加减【关键提醒】。（三）长方体和正方体中的易错点在计算表面积时，要看清题目要求计算几个面的面积，特别是无盖的鱼缸、水池，或贴瓷砖的墙壁、烟囱等。在单位换算时，长度单位、面积单位、体积单位之间的进率容易混淆，要记牢：长度单位进率是10，面积单位进率是100，体积单位进率是1000。在计算容积时，如果从外部测量数据，必须考虑容器壁的厚度，除非题目明确说“忽略厚度”【高频易错】。（四）解题技巧提炼对于因数和倍数问题，可以借助短除法来分解质因数，从而快速求出最大公因数和最小公倍数。对于分数应用题，画线段图是分析数量关系的有效方法。对于立