福建省2026-2027学年高三秋季开学学情数学自测卷（人教版A）（试卷及参考答案）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）福建省2026-2027学年高三秋季开学学情自测卷数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（

）．A．R B． C． D．2．设，则=（

）A． B． C． D．23．已知角与的终边关于轴对称，且，则的最大值是（

）A． B． C． D．4．曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．5．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（

）A． B． C．7 D．96．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得.已知函数，，，那么实数的最大值为（

）A． B． C． D．7．已知圆台的上､下底面面积分别为，且，圆台的高为3，轴截面面积为9，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．8．定义在上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为（

）A．8 B．6 C．4 D．2选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．下列式子正确的是（

）A．B．C．D．10．已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（

）A． B．的周期为C．的图象关于中心对称 D．11．如图，在平面四边形中，，，，将沿对角线翻折至，在翻折过程中（

）A．存在某个位置，使得B．存在某个位置，使得平面平面C．存在某个位置，使得点B到直线的距离为1D．当三棱锥体积最大时，该三棱锥的外接球表面积为三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．双曲线的焦距为________．13．在中，，，，则的面积为________．14．已知函数，若对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．元宵节是中国的传统节日，为庆祝元宵节，某大学开展吃元宵、吃酒圆、猜灯谜等一系列活动．(1)为探究元宵节吃汤圆和吃元宵的地域差异，某小组开展调研，得到如下列联表，已知，是否有的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关？北方南方汤圆1636元宵2424(2)在猜灯谜活动中共有10道标有序号的各不相同的题目，甲同学随机抽取其中的5道回答．（i）求抽取的5道题中恰有5道题序号均相邻的概率；（ii）已知：若是两点分布，且，则，若甲抽取的题目中有对相邻序号的题目，计算的数学期望．附：16．已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点．（ⅰ）求证：点在定直线上；（ⅱ）设和的面积分别为，，求的取值范围．17．四棱锥中，底面是正方形，是棱上一个点，平面平面．(1)若，求证：；(2)若，是中点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四棱锥存在且唯一确定．求直线与平面成角的正弦值．条件①：；条件②：；条件③：．18．已知数列的前项和为，向量，，且与共线.（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.19．给定函数，若存在实数使得，则称为函数的不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点.(1)求函数的不动点和稳定点；(2)已知函数.（ⅰ）讨论函数的稳定点个数情况；（ⅱ）若函数恰有两个稳定点和，且，，求实数的取值范围.答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）福建省2026-2027学年高三秋季开学学情自测卷数学试题（参考答案）题号12345678910答案BBBDBCBABCDAD题号11答案BCD12．13．14．15．(1)有的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关；(2)（i）；（ii）16．(1)(2)设过点且斜率不为的直线的方程为，设，由椭圆方程可知，联立，整理得，由根与系数的关系得，设直线的方程为，直线的方程为，设，则，将代入得，所以，即，又由可得，化简整理得，因为直线的斜率不为，不能同时为，且若假设，代入到，得；代入到，得，将代入到中，整理得，即矛盾，故假设不成立，即，故只能，即，因此点在定直线上.（ii）17．(1)证明：因为底面是正方形，所以；因为平面平面，且平面平面；故平面，因为平面，则；又