2025年北京大学线性代数期末考试试卷及解析

2025年北京大学线性代数期末考试试卷及解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设向量组α₁=(1,1,1),α₂=(1,2,3),α₃=(1,3,t)。(1)若α₁,α₂,α₃线性相关，求t的值；(2)若α₁,α₂,α₃线性无关，证明向量组α₁,α₂,α₃,α₄=(1,4,7)线性相关。二、计算行列式D=|12-13||2-121||-13-21||3-112|。三、设矩阵A=|123||2k1||-110|，且存在非零向量x使Ax=0。(1)求k的值；(2)求齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系。四、已知矩阵B=|100||011||0-12|，求B的特征值和特征向量。五、设矩阵A=|120||210||002|，矩阵B满足B²-AB+I=0，其中I为3阶单位矩阵。(1)求A的特征值；(2)证明B可对角化，并求出B的一个可逆矩阵P，使得P⁻¹BP为对角矩阵。六、将二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂-2x₁x₃+4x₂x₃化为标准形，并写出所用的可逆线性变换。七、设V₁={向量(x₁,x₂,x₃)∈R³|x₁+x₂+x₃=0}，V₂={向量(x₁,x₂,x₃)∈R³|x₁-x₂+x₃=0}。(1)证明V₁和V₂都是R³的子空间；(2)求V₁∩V₂的一个基和维数；(3)求V₁+V₂的一个基和维数。八、设线性变换T:R³→R³，T的矩阵在基β={β₁,β₂,β₃}下的表示为T(β)=(β₁,2β₂,3β₃)，其中β₁=(1,0,1),β₂=(0,1,1),β₃=(1,1,0)。(1)求T在标准基ε={ε₁,ε₂,ε₃}下的矩阵表示；(2)若向量γ在基β下的坐标为(1,1,1)T，求T(γ)在基β下的坐标。九、设矩阵A=|120||021||011|。(1)判断A是否可对角化；(2)若A可对角化，求出A的相似对角矩阵D和一个可逆矩阵P，使得P⁻¹AP=D。试卷答案一、(1)t=-2或t=3(2)证明思路：考察向量组α₁,α₂,α₃,α₄的秩。通过行变换将(α₁,α₂,α₃,α₄)化为阶梯形矩阵，若r(α₁,α₂,α₃,α₄)<4，则线性相关。计算可得r(α₁,α₂,α₃,α₄)=3<4，故线性相关。二、D=-27计算思路：采用按第一行展开法，结合行列式的性质进行简化计算。三、(1)k=-5(2)基础解系为(-2,1,1)T求解思路：(1)利用齐次线性方程组有非零解的充要条件det(A)=0，解出k。(2)将求得的k代入A，对A进行行变换化为行最简形，根据行最简形写出基础解系。四、特征值：1(二重),-1特征向量：对应于特征值1：k₁(-1,2,1)T(k₁≠0)对应于特征值-1：k₂(0,1,1)T(k₂≠0)求解思路：计算det(λI-B)，解特征方程求特征值。对于每个特征值，解齐次线性方程组(λI-B)x=0求特征向量。五、(1)特征值：2(三重)(2)P=|110||1-11||011|,P⁻¹BP=|200||020||002|求解思路：(1)直接计算det(λI-A)。(2)因为A是实对称矩阵，其特征值均为实数且可对角化。求出对应特征值2的线性无关特征向量，构成矩阵P。验证P可逆，计算P⁻¹AP。六、标准形：f(y₁,y₂,y₃)=y₁²+y₂²+4y₃²可逆线性变换：x=Pz,其中P=|1-11||011||002|求解思路：利用配方法或正交变换法化二次型为标准形。配方法需依次将x₁²,x₂²,x₃²与含有x₁,x₂,x₃交叉项配成完全平方。正交变换法需求出二次型的矩阵A的特征值和特征向量，构造正交矩阵Q，写出z=Qy，f=yᵀQᵀAQy。七、(1)证明思路：验证V₁和V₂对加法和数乘封闭，且包含零向量。(2)基：(-1,1,0)T,(-1,0,1)T；维数：2(3)基：(-1,1,0)T,(0,1,1)T；维数：2求解思路：(1)直接验证子空间定义。(2)考察V₁∩V₂={x|x₁+x₂+x₃=0且x₁-x₂+x₃=0}，解齐次线性方程组求基。(3)利用维数公式dim(V₁+V₂)=dim(V₁)+dim(V₂)-dim(V₁∩V₂)，找出一个生成集，利用线性无关性确定基。八、(1)T(ε)=|11-1||101||0-11|(2)T(γ)在基β下的坐标为(-1,0,1)T求解思路：(1)利用坐标变换公式T(ε)=T(β)B⁻¹，其中B是基β的坐标矩阵，B⁻¹是B的逆矩阵。(2)先求γ在标准基ε下的坐标，再利用T(ε)和坐标变换公式求T(γ)在ε下的坐标，最后将T(γ)在ε下的坐标转化为β下的坐标。九、(1)可对角化(2)D=|200||030||001|,P=|1