湖南省长沙市2026-2027学年高一上学期开学学情数学自测卷（人教版2019）(含答案)

湖南省长沙市2026-2027学年高一上学期开学学情自测卷

数学试题

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

A.1B.-1

C.iD.-i

2.高一(1)班7人宿舍中每个同学的身高分别为170,168,175,172,172,176,180,

则这7人的第40百分位数为()

A.168B.170C.172D.171

3.某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、

女生人数相同，分组情况为(单位：cm)A:x<155,B:155≤x<160,C:160≤x<165,

D:165≤x<170,E:x≥170,利用所得数据绘制如下统计图表：

男生身高情况直方图女生身高情况扇形统计图

BA

37.5%17.5%

C

25%158

根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是()

A.身高在155≤x<160区间的男生比女生多3人

B.B组中男生和女生占比相同

C.超过一半的男生身高在165cm以上

试卷第1页，共6页

D.女生身高在E组的人数有2人

4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=3,P为AB边上一动点，

△CPE∽△ABC,连接BE,则BE的最小值为()

B.C.√3+1D.2√3-1

5.如图，在长方形ABCD中，DC=6cm,在DC上存在一点E,沿直线AE把△ADE折叠，

使点D恰好落在BC边上的点F处，若△ABF的面积为24cm²,那么折叠的△ADE的面积为

()cm²

A.30B.20D.

6.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为

圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且圆O被水面截得的弦AB长为6米，半径长为4

米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到AB的距离等于()

图1图2

A.1米B.(4-√7)米C.2米D.(4+√7)米

7.已知集合A={x|-1<x≤2},B={m-1,m},且AOB的元素个数为2,则实数m的取值

范围为()

A.(-1,1)B.(0,2)C.[1,2]D.[0,2]

8.设集合A={x∈N-1<x<2},则A的真子集的个数是()

试卷第2页，共6页

A.8B.7C.4D.3

二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项

符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分)

9.关于x的方程x²+(a²+1)x-a²=0的两个实数根分别为x,x₂,则()

A.x₁+x₂=-a²-1

B.x₁x₂=-a²

C.

D.x²+x₂²=a⁴+4a²+1

10.(多选)若ax²+2x-1=0只有一个根，则实数a的取值可以为()

A.1B.-1C.0D.4

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB

是矩形，函数.的图象与边AC交于点M,与边BC交于点N(M,N不重合).给

出下面四个选项，则正确的有(

A.△COM与△CON的面积一定相等

B.△MON与△MCN的面积可能相等

C.△MON一定是锐角三角形

D.△MON可能是等边三角形

三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)

12.分解因式：3x²y-12y=

13.设命题P:已知a>0,b>0,且a+b=ab,不等式a+b≥m²-5m-2恒成立，命题

q:存在x∈[-1,1],使得不等式x²-2x+m-1≤0成立，若命题P、9中有一个为真命题，

一个为假命题，则实数m的取值范围是

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14.黄金分割比这一神奇的数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉.古希

腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角

与之关联.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,BC=2,点D在线段AB上，过点D

作DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,得到矩形DECF,若矩形DECF的周长与Rt△ABC

的周长之比恰好为黄金分割比，则AD的长为

四、解答题(本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.计算：

(2)已知x>1,,求.的值；

(3)已知a-b=√2+1,b-c=√2-1,求：a²+b²+c²-ab-ac-bc.

16.某校为了了解学生对课外活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，将学生参与

的课外活动分为A,B,C,D四类(每个学生必须参与，且只参与其中一类),并根据调查

结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

请根据以上信息，解答下列问题

(1)本次调查抽取的学生人数为_;

(2)补全条形统计图；

(3)求扇形统计图中B类课外活动所对应的圆心角度数；

(4)若该校有学生1500人，估计该校参与D类课外活动的学生人数.

试卷第4页，共6页

17.阅读材料：为解方程((x²-1)²-3(x²-1)=0,,我们可以将x²-1视为一个整体，然后设

x²-1=y,将原方程化为y²-3y=0,①

解得：y=0,y₂=3.

当y=0时，x²-1=0,∴x²=1,∴x=±1,

当y=3时，x²-1=3,∴x²=4,∴x=±2,

∴原方程的解为x₁=1,x₂=-1,x₃=2,x₄=-2

解答问题：

(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了的目的，体现了的数学思想；

(2)利用上述材料中的方法解方程：(x²+x)²-4(x²+x)-5=0.

18.如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在A点登船，沿水路A→C→D

游览沿途风光；路线二：先坐观光车从A至B,沿途游览，再在B点登船，沿水路BD游览

沿途美景·已知点C在点A的东北方向，点C在点B的北偏东30°方向，点B在点D的南偏西

75°方向，点D在点C的南偏东75°方向，BC相距20千米.(参考数据：

√2≈1.41,√3≈1.73,√6≈2.45)

(1)求AB的距离(结果保留根号);

(2)小聪和小明同时从点A出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀

速行驶，游船的速度为20千米/小时·观光车的速度为15千米/小时，上下车和上下船的时

间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点D,说明理由.(结果精确到0.1)

19.已知函数

(1)求f(2)与),f(3)与

(2)猜想f(x)与有什么关系?并证明你的猜想；

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试卷第6页，共6页

湖南省长沙市2026-2027学年高一上学期开学学情自测卷

数学试题

题号12345678910

答案DCDADBDDABDBC

题号11

答案AD

12.3y(x-2)(x+2)

13.(-∞0,-1)U(2,6)

14.3√5-5

15.(1)1

(2)3

(3)7

16.(1)200

(2)

(3)144°

(4)300

17.(1)换元，降次，转化

②

18.(1)(10√3-10)千米；

(2)

小明先到达点D,

理由：过C作CF⊥BD于F,

由题意得∠CBD=45°,∠CDB=30°,

在Rt△BCF中，∵∠CBF=45°,∠BFC=90°,

(千米),

答案第1页，共2页

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